課時跟蹤訓(xùn)練(二) 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用(時間45分鐘)題型對點練(時間20分鐘)題組一選(抽)取與分配問題1某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方法有()A6種 B7種 C8種 D9種解析可按女生人數(shù)分類：若選派一名女生，有236種不同的選派方法；若選派2名女生，則有3種不同的選派方法由分類加法計數(shù)原理，共有9種不同的選派方法答案D2把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少1個，至多5個，則不同的分法共有()A4種 B5種C6種 D7種解析共有4種方法列舉如下：1,4,5；2,4,4；2,3,5；3,3,4.答案A3有4位教師在同一年級的4個班中各教1個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()A8種 B9種C10種 D11種解析設(shè)4位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D,4個班級分別為a，b，c，d，假設(shè)A監(jiān)考b，則余下3人監(jiān)考剩下的3個班，共有3種不同方法同理A監(jiān)考c或d時，也分別有3種不同方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，監(jiān)考的方法共有3339(種)答案B題組二用計數(shù)原理解決組數(shù)問題4由數(shù)字1,2,3,4組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增(如“134”)或嚴格遞減(如“421”)順序排列的數(shù)的個數(shù)是()A4 B8 C16 D24解析由題意分析知，嚴格遞增的三位數(shù)只要從4個數(shù)中任取3個，共有4種取法；同理嚴格遞減的三位數(shù)也有4個，所以符合條件的數(shù)的個數(shù)為448.答案B5現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_解析因為正整數(shù)m，n滿足m7，n9，所以(m，n)所有可能的取值有7963(種)，其中m，n都取到奇數(shù)的情況有4520(種)，因此所求概率為.答案6用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字回答)解析用數(shù)字2,3可以組成2416個四位數(shù)其中，只由2可構(gòu)成1個四位數(shù)，只由3可構(gòu)成1個四位數(shù)，故數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次的四位數(shù)的個數(shù)為161114.答案14題組三用計數(shù)原理解決涂色(種植)問題7如圖所示，花壇內(nèi)有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案最多有()A180種 B240種C360種 D420種解析區(qū)域2,3,4,5地位相同(都與其他4個區(qū)域中的3個區(qū)域相鄰)，故應(yīng)先種區(qū)域1，有5種種法，再種區(qū)域2，有4種種法，接著種區(qū)域3，有3種種法，種區(qū)域4時應(yīng)注意：區(qū)域4與區(qū)域2同色時區(qū)域4有1種種法，此時區(qū)域5有3種種法；區(qū)域4與區(qū)域2不同色時區(qū)域4有2種種法，此時區(qū)域5有2種種法，故共有543(322)420種栽種方案故選D.答案D8湖北省(鄂)分別與湖南(湘)、安徽(皖)、陜西(陜)三省交界(如圖)，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有五種不同顏色可供選用，則不同的涂色方法有_種解析由題意知本題是一個分步乘法計數(shù)問題，第一步涂陜西，有5種結(jié)果，再涂湖北，有4種結(jié)果，第二步涂安徽，有4種結(jié)果，再涂湖南有4種，即5444320(種)答案3209用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報，板報設(shè)計如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆問：該板報有多少種書寫方案？ 解第一步，選英語角用的彩色粉筆，有6種不同的選法；第二步，選語文學(xué)苑用的彩色粉筆，不能與英語角用的顏色相同，有5種不同的選法；第三步，選理綜視界用的彩色粉筆，與英語角和語文學(xué)苑用的顏色都不能相同，有4種不同的選法；第四步，選數(shù)學(xué)天地用的彩色粉筆，只需與理綜視界的顏色不同即可，有5種不同的選法，共有6545600種不同的書寫方案綜合提升練(時間25分鐘)一、選擇題1已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A40 B16 C13 D10解析分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面故可以確定8513個不同的平面答案C2一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風(fēng)景，則不重復(fù)(除交匯點O外)的不同游覽線路有()A6種 B8種C12種 D48種解析每個景區(qū)都有2條線路，所以游覽第一個景點有6種選法，游覽第二個景點有4種選法，游覽第三個景點有2種選法，故共有64248種不同的游覽線路答案D3用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，比3542大的四位數(shù)的個數(shù)是()A360 B240 C120 D60解析因為3542是能排出的四位數(shù)中千位為3的最大的數(shù)，所以比3542大的四位數(shù)的千位只能是4或5，所以共有2543120個比3542大的四位數(shù)答案C二、填空題45只不同的球，放入2個不同的箱子中，每箱不空，共有_種不同的放法解析第1只球有2種放法，第2只球有2種放法，第5只球有2種放法，總共有2532種放法，但要每箱不空，故有2種情況不合要求，因此，符合要求的共有25230種不同的放法答案305直線方程AxBy0，若從0,1,2,3,5,7這六個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為系數(shù)A、B的值，則方程表示不同直線的條數(shù)是_解析若A0，則B從1、2、3、5、7中任取一個，均表示直線y0；同理，當B0時，表示直線x0；當A0且B0時，能表示5420條不同的直線故方程表示直線的條數(shù)是112022.答案22三、解答題6如圖所示，將四棱錐SABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù) 解解法一：由題意，四棱錐SABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有54360(種)染色方法當S，A，B染色確定時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法由分類加法計數(shù)原理，當S，A，B已染確定時，C，D有7種染法由分步乘法計數(shù)原理得，不同的染色方法有607420(種)解法二：第一步，S點染色，有5種方法第二步，A點染色，由于A與S在同一條棱上，所以有4種方法第三步，B點染色，由于B與S，A分別在同一條棱上，所以有3種方法第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類當A與C同色時，D點有3種染色方法，由分步乘法計數(shù)原理，有54313180(種)方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法，再由分步乘法計數(shù)原理，有54322240(種)方法由分類加法計數(shù)原理得，不同的染色方法共有180240420(種)解法三：第一類，5種顏色全用，有54321120(種)不同的染色方法；第二類，只有4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C或B與D)，共有54325432240(種)不同的染色方法；第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，有54360(種)不同的染色方法由分類加法計數(shù)原理得，不同的染色方法共有12024060420(種)7用1,2,3,4四個數(shù)字組成可有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列an(1)這個數(shù)列共有多少項？(2)若an341，求n的值解(1)由題意，知這個數(shù)列的項數(shù)就是由1,2,3,4四個數(shù)字組成的可有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)由于每個數(shù)位上的數(shù)都有4種取法，由分步乘法計數(shù)原理，得滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為44464，即數(shù)列an共有64項(2)比341小的數(shù)分為兩類：第一類，百位上的數(shù)是1或2，有24432個三位數(shù)；第二類，百位上的數(shù)是3，十位上的數(shù)可以是1,2,3中的任一個，個位上的數(shù)可以是1,2,3,4中的任一個，有3412個三位數(shù)所以比341小的三位數(shù)的個數(shù)為321244，因此341是這個數(shù)列的第45項，即n45.