專題三導數(shù)命題觀察·高考定位(對應學生用書第9頁)1(20xx·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)x32xex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)若f (a1)f (2a2)0，則實數(shù)a的取值范圍是_因為f (x)(x)32(x)exx32xexf (x)，所以f (x)x32xex是奇函數(shù)因為f (a1)f (2a2)0，所以f (2a2)f (a1)，即f (2a2)f (1a)因為f (x)3x22exex3x2223x20，所以f (x)在R上單調(diào)遞增，所以2a21a，即2a2a10，所以1a.2(20xx·江蘇高考)本在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_3yax2的導數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.3(20xx·江蘇高考)拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部與邊界)若點P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x2y的取值范圍是_由于y2x，所以拋物線在x1處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.畫出可行域(如圖)設x2yz，則yxz，可知當直線yxz經(jīng)過點A，B(0，1)時，z分別取到最大值和最小值，此時最大值zmax，最小值zmin2，故取值范圍是.4(20xx·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)x3ax2b(a，bR)(1)試討論f (x)的單調(diào)性；(2)若bca(實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當函數(shù)f (x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值. 【導學號：56394014】解(1)f (x)3x22ax，令f (x)0，解得x10，x2.當a0時，因為f (x)3x20，所以函數(shù)f (x)在(，)上單調(diào)遞增；當a0時，x(0，)時，f (x)0，x時，f (x)0，所以函數(shù)f (x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當a0時，x(，0)時，f (x)0，x時，f (x)0，所以函數(shù)f (x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，函數(shù)f (x)的兩個極值為f (0)b，f a3b，則函數(shù)f (x)有三個零點等價于f (0)·f b0，從而或又bca，所以當a0時，a3ac0或當a0時，a3ac0.設g(a)a3ac，因為函數(shù)f (x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(，3)，則在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立，從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時，f (x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因為函數(shù)有三個零點，則x2(a1)x1a0有兩個異于1的不等實根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.5(20xx·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)axbx(a>0，b>0，a1，b1)(1)設a2，b.求方程f (x)2的根；若對于任意xR，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求實數(shù)m的最大值(2)若0<a<1，b>1，函數(shù)g(x)f (x)2有且只有1個零點，求ab的值解(1)因為a2，b，所以f (x)2x2x.方程f (x)2，即2x2x2，亦即(2x)22×2x10，所以(2x1)20，于是2x1，解得x0.由條件知f (2x)22x22x(2x2x)22(f (x)22.因為f (2x)mf (x)6對于xR恒成立，且f (x)>0，所以m對于xR恒成立而f (x)24，且4，所以m4，故實數(shù)m的最大值為4.(2)因為函數(shù)g(x)f (x)2有且只有1個零點，而g(0)f (0)2a0b020，所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點因為g(x)axln abxln b，又由0<a<1，b>1知ln a<0，ln b>0，所以g(x)0有唯一解x0log.令h(x)g(x)，則h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，從而對任意xR，h(x)>0，所以g(x)h(x)是(，)上的單調(diào)增函數(shù)于是當x(，x0)時，g(x)<g(x0)0；當x(x0，)時，g(x)>g(x0)0.因而函數(shù)g(x)在(，x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0，)上是單調(diào)增函數(shù)下證x00.若x0<0則x0<<0，于是g<g(0)0.又g(loga2)aloga2bloga22>aloga220，且函數(shù)g(x)在以和loga2為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和loga2之間存在g(x)的零點，記為x1.因為0<a<1，所以loga2<0.又<0，所以x1<0，與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點”矛盾若x0>0，同理可得，在和loga2之間存在g(x)的非0的零點，與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點”矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.命題規(guī)律(1)在小題中以考查導數(shù)的幾何意義為主(求切線方程)(2)在大題中以導數(shù)為工具研究討論函數(shù)的性質(zhì)、不等式求解等綜合問題主干整合·歸納拓展(對應學生用書第9頁)第1步 核心知識再整合1導數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf (x)在點x0處的導數(shù)就是曲線yf (x)在點P(x0，f (x0)處的切線的斜率，則kf (x0)(2)函數(shù)yf (x)在點P(x0，f (x0)處的切線方程為yf (x0)f (x0)(xx0)(3)在關(guān)于函數(shù)圖象的切線問題中，如果涉及確定參數(shù)值的問題，首先設切點，然后注意三個條件的使用，其一切點在切線上，其二切點在曲線上，其三切線斜率kf (x0)2導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)在某個區(qū)間D可導，f (x)0f (x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增；f (x)0f (x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減(2) 若函數(shù)在某個區(qū)間D可導，f (x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增f (x)0；f (x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減f (x)0.3導數(shù)和函數(shù)極值、最值的關(guān)系(1)求極值的步驟：先求f (x)0的根x0(定義域內(nèi)的或者定義域端點的根舍去)；分析x0兩側(cè)導數(shù)f (x)的符號：若左側(cè)導數(shù)負右側(cè)導數(shù)正，則x0為極小值點；若左側(cè)導數(shù)正右側(cè)導數(shù)負，則x0為極大值點(2)對于可導函數(shù)，導數(shù)為0是點為極值點的必要而不充分條件(3)設函數(shù)yf (x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，則yf (x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點或端點取得，所以只需比較極值點和端點函數(shù)值即得到函數(shù)的最值(4)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖象，從而得到最值，大前提是要考慮函數(shù)的定義域第2步 高頻考點細突破導數(shù)的運算及其意義【例1】(20xx江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)曲線yxcos x在點處的切線的斜率為_解析y1sin x，x時，y1sin 2，即切線斜率為2.答案2規(guī)律方法(1)導數(shù)的幾何意義是kf (x)(2)從近幾年的高考試題來看 ，利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程以及與切線有關(guān)的問題是高考的熱點問題，解決該類問題必須熟記導數(shù)公式，明確導數(shù)的幾何意義，切點既在曲線上，又在切線上，導數(shù)即斜率舉一反三(江蘇省蘇州市高三暑假自主學習測試)曲線yex在x0處的切線方程是_yx1因為yex，所以在x0處的切線斜率為ke01，因此切線方程是y11(x0)，即yx1.導數(shù)的應用(單調(diào)性、極值、最值)【例2】(江蘇省南通市如東縣、徐州市豐縣高三10月聯(lián)考)定義在R上的可導函數(shù)f (x)，已知yef (x)的圖象如圖31所示，則yf (x)的增區(qū)間是_圖31解析由x2時ef (x)1f (x)0，x2時，ef (x)1f (x)0，所以yf (x)的增區(qū)間是(，2)答案(，2)【例3】(泰州中學20xx度第一學期第一次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f (x)x3x22ax1，若函數(shù)f (x)在(1,2)上有極值，則實數(shù)a的取值范圍為_解析由題意得f (x)在(1,2)上有零點，即x22x2a0a(x22x).答案【例4】(江蘇省如東高級中學高三上學期第二次學情調(diào)研)已知函數(shù)f (x)ln(1x)，x0，)，f (x)是f (x)的導函數(shù)設g(x)f (x)axf (x)(a為常數(shù))，求函數(shù)g(x)在0，)上的最小值 【導學號：56394015】解由題意g(x)ln(x1)，g(x).令g(x)0，即x1a0，得xa1，當a10，即a1時，g(x)在0，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(0)ln(10)00.當a10即a1時，g(x)在a1，)上單調(diào)遞增，在0，a1上單調(diào)遞減，所以g(x)ming(a1)ln aa1.綜上：g(x)min舉一反三(江蘇省南通市如東縣、徐州市豐縣高三10月聯(lián)考)已知函數(shù)f (x)x3ax2bxa27a在x1處取得極小值10，則的值為_因為f (x)3x22axb，所以32ab0,1aba27a10，解得或又當時f (x)3x212x9，函數(shù)f (x)在x1處取得極大值10，當時f (x)3x24x1，函數(shù)f (x)在x1處取得極小值10，所以的值為.第3步 高考易錯明辨析1忽視函數(shù)的定義域出錯函數(shù)f (x)xln x的單調(diào)遞增區(qū)間是_錯解f (x)1，令f (x)0，即0，所以x1或x0，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，(，0)，因為忽視了定義域從而出錯正解f (x)1，令f (x)0，即0，所以x1或x0，又因為函數(shù)f (x)的定義域為(0，)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)2概念不清致誤已知f (x)x3ax2bxa2在x1處有極值為10，則ab的值為_錯解f (x)3x22axb，由x1時，函數(shù)取得極值10，解得或所以ab7或0.錯解分析函數(shù)yf (x)在xx0處的導數(shù)值為0是函數(shù)yf (x)在xx0處取極值的必要不充分條件，但解題中把可導函數(shù)yf (x)在xx0處取極值的必要條件當作充要條件處理正解f (x)3x22axb，由x1時，函數(shù)取得極值10，解得或當a4，b11時，f (x)3x28x11(3x11)(x1)，在x1兩側(cè)導數(shù)符號相反，符合題意；當a3，b3時，f (x)3(x1)2在x1兩側(cè)導數(shù)符號相同，不符合題意，舍去所以a4，b11，ab7.3導數(shù)和單調(diào)性關(guān)系理解不清已知f (x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍錯解f (x)x，f (x)1，又f (x)在區(qū)間1，)是增函數(shù)，f (x)10在區(qū)間1，)恒成立，即ax2，所以a1.f (x)0是函數(shù)f (x)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)的充分不必要條件，對于可導函數(shù)而言，f (x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充要條件是：對于任意的x(a，b)，有f (x)0(或0)且f (x)在(a，b)的任何子區(qū)間上都不恒為0. 正解f (x)x，f (x)1，又f (x)在區(qū)間1，)是增函數(shù)，f (x)10在區(qū)間1，)恒成立，即ax2，又因為yx2在1，)上的最大值為1，所以a1.專家預測·鞏固提升(對應學生用書第11頁)1函數(shù)f (x)ax3ax22ax2a1的圖象經(jīng)過四個象限的充要條件是_a由f (x)ax2ax2a0得x1或x2，結(jié)合圖象可知函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限的充要條件是a0，f (1)0，f (2)0，即a.2已知函數(shù)f (x)的兩個極值點分別為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，點P(m，n)表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)yloga(x4)(a1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，則實數(shù)a的取值范圍是_. 【導學號：56394016】(1,3)f (x)x2mx，由題意得： 即作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，易得交點的坐標為(1,1)，要使得函數(shù)yloga(x4)(a1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，則需loga(14)1，即loga3logaa，1a3.3將yln x的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)角后第 一次與y軸相切，則角滿足的條件是_(填序號)sin ecos 設yf (x)ln x的圖象的切線的斜率為k，切點坐標(x0，y0)，由題意可得切線的斜率k，由導數(shù)的幾何意義得kf (x0)，x0e，由的意義，得tan x0e，sin ecos .4設函數(shù)f (x)ln xx2(m2)x，在xa和xb處有兩個極值點，其中0ab，mR.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)若e(e為自然對數(shù)的底數(shù))，求f (b)f (a)的最大值解(1)f (x)，則由題意得方程x2(m2)x10有兩個正根，故解得m0.故實數(shù)m的取值范圍是m0，4分(2)f (b)f (a)ln (b2a2)(m2)(ba)，又m2ab，ab1，f (b)f (a)ln (b2a2)ln ln ，8分設t(te)，故構(gòu)造函數(shù)g(t)ln t(te)，g(t)0，所以g(t)在e，)上是減函數(shù)，10分g(t)g(e)1，f (b)f (a)的最大值為1.12分