圓周運動和萬有引力經(jīng)典例題一轉(zhuǎn)動裝置如圖所示，四根輕繩OA、OC、AB和CB與兩小球以及一小滑塊連接，輕繩長均為L，球和滑塊的質(zhì)量均為m，O端固定在豎直的輕質(zhì)轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)動該裝置并緩慢增大轉(zhuǎn)速，小滑塊緩慢上升忽略一切摩擦和空氣阻力，（重力加速度為g，sin37=0.6，cos37=0.8）求(1)當(dāng)OA與豎直方向成37角時，裝置轉(zhuǎn)動的角速度；(2)當(dāng)OA與豎直方向成37角緩慢增大到與豎直方向成53角時，求在這個過程中A、B增加的重力勢能分別是多少；外界對轉(zhuǎn)動裝置所做的功W是多少？分析與解答：（1）對小球A：豎直方向：F1cos37=F2cos37+mg水平方向：F1sin37+F2sin37=m02Lsin370對滑塊：2F2cos37=mg聯(lián)立解得：=5g2l（2）當(dāng)OA與豎直方向成37角緩慢增大到與豎直方向成53角時，對小球A：豎直方向：F1cos53=F2cos53+mg水平方向：F1sin53+F2sin53=m2Lsin53對滑塊：2F2cos53=mg解得：=10g3l由v=Lsin53v0=Lsin37可得W=12mv2-12mv02+2mg15l+mg25l=6130mglEPA=mg15l=15mglEPB=mg25l=25mgl變式1如圖所示，一個質(zhì)量為m的小球由兩根細(xì)繩拴在豎直轉(zhuǎn)軸上的A、B兩處，AB間距為L，A處繩長為2L，B處繩長為L，兩根繩能承受的最大拉力均為2mg，轉(zhuǎn)軸帶動小球轉(zhuǎn)動。則： （1）當(dāng)B處繩子剛好被拉直時，小球的線速度v多大？（2）為不拉斷細(xì)繩，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的最大角速度多大？（3）若先剪斷B處繩子，讓轉(zhuǎn)軸帶動小球轉(zhuǎn)動，使繩子與轉(zhuǎn)軸的夾角從45開始，直至小球能在最高位置作勻速圓周運動，則在這一過程中，小球機械能的變化為多大？分析與解答：（1）B處繩被拉直時，繩與桿夾角45，mgtan=mv2L，解得v=gL.（2）此時，B繩拉力為TB2mg，A繩拉力不變，TAcos=mg ，TAsin+TB=m2L解得=3gL.（3）小球在最高位置運動時，TA=2mg ，TAcos=mg，60，TAsin=mvt22Lsin ，得：vt=32gL2E=mg2l(cos-cos)+(12mvt2-12mv02)解得E=(2+2)4mgL變式2某同學(xué)用圓錐擺探究圓周運動的課外實驗中，把不可伸長的輕繩穿過用手固定的豎直光滑圓珠筆管，筆管長為l，輕繩兩端栓著質(zhì)量分別為4m、5m的小球A和小物塊B，開始實驗時，用手拉著小球A使它停在筆管的下端，這時物塊B距筆管的下端距離為l，筆管的下端到水平地面的距離為10l，拉起小球A，使繩與豎直方向成一定夾角，給小球A適當(dāng)?shù)乃剿俣?，使它在水平面?nèi)做圓周運動，上述過程中物塊B的位置保持不變，已知重力加速度為g，sin53=0.8，cos53=0.6，（1）求繩與豎直方向夾角和小球A做圓周運動的角速度1；（2）若小球A做（1）問中圓周運動時剪斷輕繩，求小球A第一次落地點到物塊B落地點間的距離s；（3）若某同學(xué)開始實驗時不斷晃動筆管，使小球A帶動B上移，當(dāng)B上升到筆管下方某位置，系統(tǒng)穩(wěn)定后，測得小球在水平面內(nèi)做圓周運動的角速度為2，求此過程中人對A、B組成的系統(tǒng)做功W。分析與解答：（1）小球A在重力和輕繩的拉鏈作用下在水平面內(nèi)做圓周運動，則輕繩的拉鏈T=5mg；Tcos-4mg=0，Tsin=4m12lsin，解得=37；1=5g4l（2）在小球做圓周運動時剪斷輕繩，A做平拋運動，設(shè)平拋運動時間為t，則515l=12gt2平拋的初速度v1=1lsin，由幾何關(guān)系可知s=v1t2+lsin2，解得s=310610l（3）設(shè)B物體位置上移x，小球A做圓周運動時輕繩與豎直方向的夾角為則Tcos-4mg=0，Tsin=4m22(l+x)sin，解得x=5g422-l由功能關(guān)系可知W=5mgx+4mgl-(l+x)cos+124m(l+x)2sin2，解得W=27mg2822-mgl變式3如圖所示,在光滑的圓錐頂用長為l的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的物體,圓錐體固定在水平面上不動,其軸線沿豎直方向,細(xì)線與軸線之間的夾角為=300 ,物體以速度v繞圓錐體軸線做水平勻速圓周運動.（1）當(dāng)v1=gl6時,求繩對物體的拉力. （2）當(dāng)v2=3gl2 ,求繩對物體的拉力.分析與解答：（1）當(dāng)v1v時，物體沒有離開錐面時，此時物體與錐面之間有彈力作用，如圖所示：則在水平方向：T1sin-N1cos=mv12R，豎直方向：T1cos+N1sin-mg=0，R=Lsin解得：T1=33+16mg；（2）v2v時，物體離開錐面，設(shè)線與豎直方向上的夾角為，如圖所示：則豎直方向：T2cos-mg=0，水平方向：T2sin=mv22R2，而且：R2=Lsin解得：T2=2mg。變式4如圖所示，光滑直桿AB長為L，B端固定一根勁度系數(shù)為k原長為l0的輕彈簧，質(zhì)量為m的小球套在光滑直桿上并與彈簧的上端連接，OO為過B點的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為（1）桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，讓小球從彈簧的原長位置靜止釋放，求小球釋放瞬間的加速度大小a及小球速度最大時彈簧的壓縮量l1；（2）當(dāng)小球隨光滑直桿一起繞OO軸勻速轉(zhuǎn)動時，彈簧伸長量為l2，求勻速轉(zhuǎn)動的角速度；（3）若=30，移去彈簧，當(dāng)桿繞OO軸以角速度0=gL勻速轉(zhuǎn)動時，小球恰好在桿上某一位置隨桿在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，求小球離B點的距離L0分析與解答：（1）小球從彈簧的原長位置靜止釋放時，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsin=ma解得：a=gsin小球速度最大時其加速度為零，則有：kl1=mgsin解得：l1=mgsink ，（2）設(shè)彈簧伸長l2時，球受力如圖所示：水平方向上有：FNsin+kl2cos=m2（l0+l2)cos豎直方向上有：FNcos-kl2sin-mg=0解得：=kl2-mgsinmrcos；（3）當(dāng)桿繞OO軸以角速度0勻速轉(zhuǎn)動時，設(shè)小球距離B點L0，此時有：mgtan=mL0cos解得：L0=gtancos=23L。變式5某工廠生產(chǎn)流水線示意圖如圖所示，半徑較大的水平圓盤上某處E點固定一小桶，在圓盤直徑DE正上方平行放置長為L=6m的水平傳送帶，傳送帶輪的半徑都是 r=0.1m，傳送帶右端C點與圓盤圓心O在同一豎直線上，豎直高度h1.25 m。AB為一個與CO在同一豎直平面內(nèi)的四分之一光滑圓軌道，半徑R1.25 m，且與水平傳送帶相切于B點。一質(zhì)量m0.2 kg的工件(可視為質(zhì)點)從A點由靜止釋放，工件到達圓弧軌道B點無碰撞地進入水平傳送帶，工件與傳送帶間的動摩擦因數(shù)0.2，當(dāng)工件到達B點時，圓盤從圖示位置以一定的轉(zhuǎn)速n繞通過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，工件到達C點時水平拋出，剛好落入圓盤上的小桶內(nèi)。取g=10m/s2，求：(1)滑塊到達圓弧軌道B點時對軌道的壓力；(2)若傳送帶不轉(zhuǎn)動時圓盤轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)速n應(yīng)滿足的條件；(3)當(dāng)傳送帶輪以不同角速度順時針勻速轉(zhuǎn)動時，工件都從傳送帶的C端水平拋出，落到水平圓盤上，設(shè)落點到圓盤圓心O的距離為x，通過計算求出x與角速度之間的關(guān)系并準(zhǔn)確作出x圖像。分析與解答：（1）從A到B由動能定理得：mgR=12mvB2在B點由牛頓第二定理得：FN-mg=mvB2R聯(lián)立解得：FN=3mg=6N由牛頓第三定律得：FN=FN=6N方向豎直向下（2）若傳送帶不動，設(shè)物體到達C點的速度為vC對物體由動能定理得：-mgL=12mvC2-12mvB2解得：vC=1m/s設(shè)物體從B點到C點的時間為t1，則：L=vB+vC2t1解得：t1=2s設(shè)物體做平拋運動的時間為t2，則：h=12gt22解得：t2=0.5s故，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的時間為：t=t1+t2=2.5s在t時間內(nèi)轉(zhuǎn)盤應(yīng)轉(zhuǎn)動整數(shù)圈，物體才能落入小桶內(nèi)，則：t=kT（k=1.2.3.）圓盤的轉(zhuǎn)速n=1T=kt=0.4k(r/s) （k=1.2.3.）（3）若物體速度一直比傳送帶大，物體將一直做減速運動，設(shè)其到C點時速度為vC1由動能定理得：-mgL=12mvC12-12mvB2解得：vC1=1m/s則物體的位移為x=vC1t2=0.5m傳送帶轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)滿足vC1r=10rad/s若物體速度一直比傳送帶小，物體將一直做加速運動，設(shè)其到C點時速度為vC2由動能定理得：mgL=12mvC22-12mvB2解得：vC2=7m/s則物體的位移為x=vC2t2=3.5m傳送帶轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)滿足vC2r=70rad/s當(dāng)傳送帶的角速度滿足10rad/s70rad/s時物體到達C點的速度與傳送帶相等，為vC=r，位移為x=vCt2=20所以x隨變化的圖像為經(jīng)典例題圖示為一過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道組成，BC分別是圓形軌道的最低點和最高點，其半徑R=1m，一質(zhì)量m1kg的小物塊（視為質(zhì)點）從左側(cè)水平軌道上的A點以大小v012ms的初速度出發(fā)，通過豎直平面的圓形軌道后，停在右側(cè)水平軌道上的D點。已知A、B兩點間的距離L1575m，物塊與水平軌道寫的動摩擦因數(shù)=02，取g10ms2，圓形軌道間不相互重疊，求：（1）物塊經(jīng)過B點時的速度大小vB；（2）物塊到達C點時的速度大小vC；（3）BD兩點之間的距離L2，以及整個過程中因摩擦產(chǎn)生的總熱量Q分析與解答：（1）物塊從A到B運動過程中，根據(jù)動能定理得：-mgL=12mvB2-12mv02解得：vB=11m/s（2）物塊從B到C運動過程中，根據(jù)機械能守恒得：12mvB2=12mvC2+mg2R解得：vC=9m/s（3）物塊從B到D運動過程中，根據(jù)動能定理得：-mgL2=0-12mvB2解得：L2=30.25m對整個過程，由能量守恒定律有：Q=12mv02-0解得：Q=72J變式1如圖所示，質(zhì)量m0.2kg的金屬小球從距水平面h5.0 m的光滑斜面上由靜止開始釋放，運動到A點時無能量損耗，水平面AB是粗糙平面，與半徑為R0.9m的光滑的半圓形軌道BCD相切于B點，其中圓軌道在豎直平面內(nèi)，D為軌道的最高點，小球恰能通過最高點D，求：(g10 m/s2)(1)小球運動到A點時的速度大??；(2)小球從A運動到B時摩擦阻力所做的功；分析與解答：（1）小球運動到A點時的速度為vA，根據(jù)機械能守恒定律可得：mgh=12mvA2解得vA=10m/s.（2）小球經(jīng)過D點時的速度為vD，則：mg=mvD2R解得vD=3m/s小球從A點運動到D點克服摩擦力做功為Wf，則：-mgR-Wf=12mvD2-12mvA2解得Wf=-5.5J變式2某同學(xué)設(shè)計出如圖所示實驗裝置，將一質(zhì)量為0.2kg的小球（可視為質(zhì)點）放置于水平彈射器內(nèi)，壓縮彈簧并鎖定，此時小球恰好在彈射口，彈射口與水平面AB相切于A點。AB為粗糙水平面，小球與水平面間動摩擦因數(shù)0.5，彈射器可沿水平方向左右移動；BC為一段光滑圓弧軌道。O/為圓心，半徑R0.5m，O/C與O/B之間夾角為37。以C為原點，在C的右側(cè)空間建立豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系xOy，在該平面內(nèi)有一水平放置開口向左且直徑稍大于小球的接收器D。（sin37=0.6，cos37=0.8，g取10m/s2）（1）某次實驗中該同學(xué)使彈射口距離B處L11.6m處固定，解開鎖定釋放小球，小球剛好到達C處，求彈射器釋放的彈性勢能？（2）求上一問中，小球到達圓弧軌道的B點時對軌道的壓力？（3）把小球放回彈射器原處并鎖定，將彈射器水平向右移動至離B處L20.8m處固定彈射器并解開鎖定釋放小球，小球?qū)腃處射出，恰好水平進入接收器D，求D處坐標(biāo)？分析與解答：（1）從A到C的過程中，由定能定理得：W彈-mgL1-mgR（1-cos）=0解得：W彈=1.8J根據(jù)能量守恒定律得：EP=W彈=1.8J；（2）從B到C由動能定理：mgR(1-cos370)=12mvB2在B點由牛頓第二定律：FNB-mg=mvB2R帶入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：FNB=2.8N（3）小球從C處飛出后，由動能定理得：W彈-mgL2-mgR（1-cos）=12mvC2-0，解得：vC=22m/s，方向與水平方向成37角，由于小球剛好被D接收，其在空中的運動可看成從D點平拋運動的逆過程，vCx=vCcos37=825m/s，vCy=vCsin37=625m/s，由vCy=gt解得t=0.122s則D點的坐標(biāo)：x=vCxt，y=12vCyt，解得：x=0.144m，y=0.384m，即D處坐標(biāo)為：（0.144m，0.384m）變式3如圖所示，水平平臺上有一輕彈簧,左端固定在A點，自然狀態(tài)時其右端位于B點，平臺AB段光滑,BC段長x=1m，與滑塊間的摩擦因數(shù)為1=0.25.平臺右端與水平傳送帶相接于C點，傳送帶的運行速度v=7m/s,傳送帶右端D點與一光滑斜面銜接，斜面長度s=0.5m，另有一固定豎直放置的光滑圓弧形軌道剛好在E點與斜面相切，圓弧形軌道半徑R=1m，=37.今將一質(zhì)量m=2kg的滑塊向左壓縮輕彈簧,使彈簧的彈性勢能為Ep=30J,然后突然釋放，當(dāng)滑塊滑到傳送帶右端D點時，恰好與傳送帶速度相同，并經(jīng)過D點的拐角處無機械能損失。重力加速度g=10m/s2,sin53=0.8,cos53=0.6，不計空氣阻力。試求：(1)滑塊到達C點的速度vC；(2)滑塊與傳送帶間的摩擦因數(shù)2；(3)若傳送帶的運行速度可調(diào)，要使滑塊不脫離圓弧形軌道，求傳送帶的速度范圍.分析與解答：（1）以滑塊為研究對象，從釋放到C點的過程，由動能定理得：Ep1mgx12mvC2代入數(shù)據(jù)得：vC=5m/s（2）滑塊從C點到D點一直加速，到D點恰好與傳送帶同速，由動能定理得：2mgL12mv2-12mv02代入數(shù)據(jù)解得：2=0.4（3）斜面高度為：h=ssin=0.3m（）設(shè)滑塊在D點的速度為vD1時，恰好過圓弧最高點，由牛頓第二定律得：mgmv12R滑塊從D點到G點的過程，由動能定理得：mg(Rcosh+R)12mv12-12mvD12代入數(shù)據(jù)解得：vD1210m/s（）設(shè)滑塊在D點的速度為vD2時，恰好到14圓弧處速度為零，此過程由動能定理得：mg(Rcosh)012mvD22代入數(shù)據(jù)解得：vD210m/s若滑塊在傳送帶上一直減速至D點恰好同速，則由動能定理得：2mgL12mv傳2-12mvc2代入數(shù)據(jù)解得：v傳1=1m/s，所以 0v傳10m/s若滑塊在傳送帶上一直加速至D點恰好同速，由題目已知 v傳2=7m/s所以v傳210m/s即若傳送帶的運行速度可調(diào)，要使滑塊不脫離圓弧形軌道，傳送帶的速度范圍是0v傳10m/s或v傳210m/s變式4如圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道由直軌道AB和圓弧軌道BC組成，小球從斜面上A點由靜止開始滑下，滑到斜面底端后又滑上一個半徑為R=0.4m的圓軌道，(g=10m/s2)(1)若接觸面均光滑小球剛好能滑到圓軌道的最高點C，求小球在C點處的速度大小斜面高h(yuǎn)(2)若已知小球質(zhì)量m=0.1kg，斜面高h(yuǎn)=2m，小球運動到C點時對軌道壓力為mg，求全過程中摩擦阻力做的功分析與解答：（1）小球剛好到達C點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=mvC2R解得vC=gR=2m/s小球從A到C過程，由機械能守恒定律得：mgh-2R=12mvC2解得：h=2.5R=1m（2）在C點，由牛頓第二定律得：mg+N=mvC2R據(jù)題有 N=mg從A到C 過程，由動能定理得：mgh-2R-W克=12mvC2-0解得：W克=0.8J變式5如圖所示，光滑軌道CDEF是一“過山車”的簡化模型，最低點D處入、出口不重合，E點是半徑為R=0.32m的豎直圓軌道的最高點，DF部分水平，末端F點與其右側(cè)的水平傳送帶平滑連接，傳送帶以速率v=1m/s逆時針勻速轉(zhuǎn)動，水平部分長度L=1m。物塊B靜止在水平面的最右端F處。質(zhì)量為mA=1kg的物塊A從軌道上某點由靜止釋放，恰好通過豎直圓軌道最高點E，然后與B發(fā)生碰撞并粘在一起。若B的質(zhì)量是A的k倍，A、B與傳送帶的動摩擦因數(shù)都為=0.2，物塊均可視為質(zhì)點，物塊A與物塊B的碰撞時間極短，取g=10m/s2。求：（1）當(dāng)k=3時物塊A、B碰撞過程中產(chǎn)生的內(nèi)能；（2）當(dāng)k=3時物塊A、B在傳送帶上向右滑行的最遠(yuǎn)距離；（3）討論k在不同數(shù)值范圍時，A、B碰撞后傳送帶對它們所做的功W的表達式。分析與解答：（1）設(shè)物塊A在E的速度為v0，由牛頓第二定律得：mAg=mAv02R，設(shè)碰撞前A的速度為v1由機械能守恒定律得：2mAgR+12mAv02=12mAv12，聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v1=4m/s；設(shè)碰撞后A、B速度為v2，且設(shè)向右為正方向，由動量守恒定律得mAv1=mA+m2v2；解得：v2=mAmA+mBv1=11+34=1m/s；由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可得：Q=12mAv12-12mA+mBv22，代入數(shù)據(jù)解得Q=6J；（2）設(shè)物塊AB在傳送帶上向右滑行的最遠(yuǎn)距離為s，由動能定理得：-mA+mBgs=-12mA+mBv22，代入數(shù)據(jù)解得s=0.25m；（3）由式可知：v2=mAmA+mBv1=41+km/s；（i）如果A、B能從傳送帶右側(cè)離開，必須滿足12mA+mBv22>mA+mBgL，解得：k1，傳送帶對它們所做的功為：W=-mA+mBgL=-2k+1J；（ii）（I）當(dāng)v2v時有：k3，即AB返回到傳送帶左端時速度仍為v2；由動能定理可知，這個過程傳送帶對AB所做的功為：W=0J，（II）當(dāng)0k<3時，AB沿傳送帶向右減速到速度為零，再向左加速，當(dāng)速度與傳送帶速度相等時與傳送帶一起勻速運動到傳送帶的左側(cè)。在這個過程中傳送帶對AB所做的功為W=12mA+mBv2-12mA+mBv22，解得W=k2+2k-152k+1；經(jīng)典例題一宇航員登上某星球表面，在高為2m處，以水平初速度5m/s拋出一物體，物體水平射程為5m，且物體只受該星球引力作用求：（1）該星球表面重力加速度（2）已知該星球的半徑為為地球半徑的一半，那么該星球質(zhì)量為地球質(zhì)量的多少倍分析與解答：（1）根據(jù)平拋運動的規(guī)律：xv0t得txv055s1s由h12gt2得：g2ht22212m/s24m/s2（2）根據(jù)星球表面物體重力等于萬有引力：mgGM星mR星2地球表面物體重力等于萬有引力：mgGM地mR地2則M星M地gR星2gR地2=410(12)2=110變式1已知某半徑與地球相等的星球的第一宇宙速度是地球的12倍。地球表面的重力加速度為g。在這個星球上用細(xì)線把小球懸掛在墻壁上的釘子O上，小球繞懸點O在豎直平面內(nèi)做圓周運動。小球質(zhì)量為m，繩長為L，懸點距地面高度為H。小球運動至最低點時，繩恰被拉斷，小球著地時水平位移為S求：(1)星球表面的重力加速度？(2)細(xì)線剛被拉斷時，小球拋出的速度多大？(3)細(xì)線所能承受的最大拉力？分析與解答：（1）由萬有引力等于向心力可知GMmR2=mv2RGMmR2=mg可得g=v2R則g星14g0（2）由平拋運動的規(guī)律：H-L=12g星t2s=v0t解得v0=s42g0H-L（3）由牛頓定律，在最低點時：T-mg星mv2L解得：T=141+s22(H-L)Lmg0變式2一宇航員在某未知星球的表面上做平拋運動實驗：在離地面h高處讓小球以某一初速度水平拋出，他測出小球落地點與拋出點的水平距離為x和落地時間t，又已知該星球的半徑為R，己知萬有引力常量為G，求：（1）小球拋出的初速度vo（2）該星球表面的重力加速度g（3）該星球的質(zhì)量M（4）該星球的第一宇宙速度v（最后結(jié)果必須用題中己知物理量表示）分析與解答：（1）小球做平拋運動，在水平方向：x=vt，解得從拋出到落地時間為：v0=x/t （2）小球做平拋運動時在豎直方向上有：h=12gt2， 解得該星球表面的重力加速度為：g=2h/t2； （3）設(shè)地球的質(zhì)量為M，靜止在地面上的物體質(zhì)量為m，由萬有引力等于物體的重力得：mg=GMmR2所以該星球的質(zhì)量為：M=gR2G= 2hR2/(Gt2)； （4）設(shè)有一顆質(zhì)量為m的近地衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動，速率為v，由牛頓第二定律得：GMmR2=mv2R重力等于萬有引力，即mg=GMmR2， 解得該星球的第一宇宙速度為：v=gR=2hRt變式3我國實現(xiàn)探月計劃-“嫦娥工程”。同學(xué)們也對月球有了更多的關(guān)注。(1)若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，試求出月球繞地球運動的軌道半徑；(2)若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點。已知月球半徑為r，萬有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M月。分析與解答：（1）根據(jù)萬有引力定律和向心力公式：GM月Mr2=M月(2T)2r mg=GMmR2解得：r=3gR2T242（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g月，根據(jù)題意：得到t=2v0g月又g月=GM月r2解得：M月=2v0r2Gt經(jīng)典例題已知某星球表面重力加速度大小為g0，半徑大小為R，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G.求：(1)該星球質(zhì)量；(2)該星球同步衛(wèi)星運行軌道距離星球表面的高度；(3)該星球同步衛(wèi)星運行速度的大小分析與解答：(1)由GMmR2=mg0解得星球質(zhì)量為：M=g0R2G(2)由GMm(R+h)2=m(2T)2(R+h)且GM=g0R2解得：h=3g0R2T242-R(3)由v=2T(R+h)解得：v=2T3g0R2T242=32g0R2T變式1我國的“天鏈一號”衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，可為中低軌道衛(wèi)星提供數(shù)據(jù)通訊，如圖為“天鏈一號”衛(wèi)星a、赤道平面內(nèi)的低軌道衛(wèi)星b、地球的位置關(guān)系示意圖，O為地心，地球相對衛(wèi)星a、b的張角分別為1和2(2圖中未標(biāo)出)，衛(wèi)星a的軌道半徑是b的4倍，己知衛(wèi)星a、b繞地球同向運行，衛(wèi)星a的周期為T，在運行過程中由于地球的遮擋，衛(wèi)星b會進入衛(wèi)星a通訊的盲區(qū)，衛(wèi)星間的通訊信號視為沿直線傳播，信號傳輸時間可忽略。求：（1）衛(wèi)星b星的周期（2）衛(wèi)星b每次在盲區(qū)運行的時間分析與解答：(1)設(shè)衛(wèi)星a、b的軌道半徑分別為r1和r2地球半徑為R：GMmr2=m42T2r可得：T=2r3GM而r1=4r2則得衛(wèi)星b星的周期為T8(2)如圖，A、B是衛(wèi)星盲區(qū)兩個邊緣位置由幾何知識可得AOB=1+2，則(2T8-2T)t=AOB=1+2解得，b每次在盲區(qū)運行的時間為t=1+214T變式2地球同步衛(wèi)星，在通訊、導(dǎo)航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G，求：（1）地球的質(zhì)量M；（2）同步衛(wèi)星距離地面的高度h。分析與解答：（1）地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：mg=GMmR2解得地球質(zhì)量為：M=gR2G；（2）同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動的周期等于地球自轉(zhuǎn)周期T，同步衛(wèi)星做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：GMm(R+h)2=m(2T)2（R+h）解得：h=3R2gT242-R；變式3一顆人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，離地面的高度為h，衛(wèi)星做勻速圓周運動，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g求：（1）衛(wèi)星受到的向心力的大小表達式（2）衛(wèi)星的速率大小表達式分析與解答：（1）衛(wèi)星繞地球做圓周運動靠萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律得：F=GMmR+h2根據(jù)地球表面物體萬有引力等于重力得：GMmR2=mg聯(lián)立求解得：F=mgR2R+h2（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，GMmR+h2=mv2R+h聯(lián)立求解得：v=gR2R+h（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，GMmR2=mv2R可得第一宇宙速度：v=gR經(jīng)典例題宇宙中二顆相距較近的天體稱為雙星，他們以中心連線上的某一點位圓心做勻速圓周運動，而不至于因相互之間的引力而吸引到一起，設(shè)二者之間的距離為L，質(zhì)量分別為M1和M2。（萬有引力常量為G）求(1)它們的軌道半徑之比r1 ：r2(2)線速度之比v1 ：v2(3)運行周期T。分析與解答：（1）兩天體做圓周運動靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度相等，結(jié)合牛頓第二定律求出半徑的大??；（2）根據(jù)v=r求線速度之比；（3）結(jié)合萬有引力提供向心力求出運動的周期（1）對M1有：GM1M2L2=M1r12對M2有：GM1M2L2=M2r22解得：M1r1=M2r2即r1r2=M2M1，又r1+r2=L解得：r1=M2M1+M2L（2）根據(jù)v=r，可得線速度之比為v1v2=r1r2=M2M1（3）根據(jù)GM1M2L2=M1r142T2，又r1=M2M1+M2L解得：T=2L3GM1+M2變式1我們將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距始終保持不變，且沿半徑不同的同心軌道作勻速圓周運動，設(shè)雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1、M2(萬有引力常量為G)試計算：(1)雙星的軌道半徑(2)雙星運動的周期。分析與解答：設(shè)行星轉(zhuǎn)動的角速度為，周期為T。(1)如圖，對星球M1，由向心力公式可得：GM1M2L2=M1R12同理對星M2，有：GM1M2L2=M2R22兩式相除得：R1R2=M2M1，(即軌道半徑與質(zhì)量成反比)又因為L=R1+R2所以得：R1=M2M1+M2L，R2=M1M1+M2L(2)有上式得到：=1LG(M1+M2)L因為T=2，所以有：T=2LLG(M1+M2)變式2如圖所示，兩個星球A、B組成雙星系統(tǒng)，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動已知A、B星球質(zhì)量分別為mA、mB，萬有引力常量為G.求L3T2(其中L為兩星中心距離，T為兩星的運動周期)分析與解答：兩個星球均做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有GmAmBL2=mA42T2rAGmAmBL2=mB42T2rB其中LrA+rB，聯(lián)立解得L3T2=GmA+mB42。變式3天文學(xué)中把兩顆距離比較近，又與其它星體距離比較遠(yuǎn)的星體叫做雙星，雙星的間距是一定的.設(shè)雙星的質(zhì)量分別是m1、m2，星球球心間距為L.問：(1)兩星的軌道半徑各多大？(2)兩星的速度各多大？分析與解答：（1）由于雙星做勻速圓周運動，且角速度相同，對m1由：Gm1m2L2=m12r1對m2由：Gm1m2L2=m22r2由兩式得：r1r2=m2m1又r1+r2=L解得：r1=m2m1+m2L；r2=m1m1+m2L（2）聯(lián)立以上式子得：=Gm2L2r1解得：v1=r1=Gm2r1L2=m2GL(m1+m2)同理得=Gm1L2r2解得：v2=r2=Gm1r2L2=m1GL(m1+m2)