一數(shù)學歸納法課后篇鞏固探究1.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式為()A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4解析當n=1時,左邊有2n+1=21+1=3,所以左邊所得的代數(shù)式為1+2+3.答案C2.已知n是正奇數(shù),用數(shù)學歸納法證明時,若已假設當n=k(k1,且為奇數(shù))時命題為真,則還需證明()A.當n=k+1時命題成立B.當n=k+2時命題成立C.當n=2k+2時命題成立D.當n=2(k+2)時命題成立解析因為n是正奇數(shù),所以只需證明等式對所有奇數(shù)都成立即可.又k的下一個奇數(shù)是k+2,故選B.答案B3.用數(shù)學歸納法證明12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=n(2n2+1)3時,由n=k(k1)的假設到證明n=k+1時,等式左邊應添加的式子是()A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)2(k+1)2+1解析當n=k(k1)時,左邊為12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12,當n=k+1時,左邊為12+22+k2+(k+1)2+k2+22+12,分析等式變化規(guī)律可知左邊實際增加的是(k+1)2+k2.答案B4.導學號26394063下列代數(shù)式(其中kN+)能被9整除的是()A.6+67kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析(1)當k=1時,顯然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假設當k=n(nN+,n1)時命題成立,即3(2+7k)能被9整除.當k=n+1時,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除.這就是說,當k=n+1時命題也成立.由(1)(2)可知,3(2+7k)能被9整除對任何kN+都成立.答案D5.用數(shù)學歸納法證明1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n,第一步應驗證的等式是.解析當n=1時,等式的左邊為1-12=12,右邊=12,所以左邊=右邊.答案1-12=126.若凸n(n4)邊形有f(n)條對角線,則凸(n+1)邊形的對角線條數(shù)f(n+1)為.解析由題意知f(n+1)-f(n)=n-1,則f(n+1)=f(n)+n-1.答案f(n)+n-17.若s(n)=1+12+13+13n-1(nN+),則s(5)-s(4)=.解析依題意,s(5)=1+12+13+114,s(4)=1+12+13+111,于是s(5)-s(4)=112+113+114.答案112+113+1148.已知f(n)=(2n+7)3n+9(nN+),用數(shù)學歸納法證明f(n)能被36整除.證明(1)當n=1時,f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除,命題成立.(2)假設當n=k(k1)時命題成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除.當n=k+1時,f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=(2k+7)3k3+23k+1+9=3(2k+7)3k+9-27+23k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1).由于3k-1-1是2的倍數(shù),則18(3k-1-1)能被36整除,即當n=k+1時命題也成立.由(1)(2)可知,對一切正整數(shù)n,都有f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.9.導學號26394064用數(shù)學歸納法證明:12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1n(n+1)2(nN+).證明(1)當n=1時,左邊=12=1,右邊=(-1)01(1+1)2=1,左邊=右邊,命題成立.(2)假設當n=k(k1)時命題成立,即12-22+32-42+(-1)k-1k2=(-1)k-1k(k+1)2.當n=k+1時,12-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)(k+1)-k2=(-1)k(k+1)(k+1)+12.因此,當n=k+1時命題也成立,根據(jù)(1)(2)可知,命題對于任何nN+等式成立.10.導學號26394065已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn,且an2+2an=4Sn.(1)計算a1,a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項公式;(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中猜想的結論.解(1)當n=1時,a12+2a1=4S1,即a12+2a1=4a1,整理,得a12-2a1=0,解得a1=2(a1=0舍去).當n=2時,a22+2a2=4S2,即a22+2a2=4(2+a2),整理,得a22-2a2-8=0,解得a2=4(a2=-2舍去).當n=3時,a32+2a3=4S3,即a32+2a3=4(2+4+a3),整理,得a32-2a3-24=0,解得a3=6(a3=-4舍去).當n=4時,a42+2a4=4S4,即a42+2a4=4(2+4+6+a4),整理,得a42-2a4-48=0,解得a4=8(a4=-6舍去).由以上結果猜想數(shù)列an的通項公式為an=2n.(2)下面用數(shù)學歸納法證明an的通項公式為an=2n.當n=1時,a1=2,由(1)知,猜想成立.假設當n=k(k1)時猜想成立,即ak=2k,這時有ak2+2ak=4Sk,即Sk=k2+k.當n=k+1時,ak+12+2ak+1=4Sk+1,即ak+12+2ak+1=4(Sk+ak+1),所以ak+12-2ak+1=4k2+4k,解得ak+1=2k+2(ak+1=-2k舍去).故當n=k+1時,猜想也成立.由可知,猜想對任意nN+都成立.