學(xué)習(xí)方法報(bào)社 全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 矩形菱形與正方形 一.選擇題 1. (2015山東青島，第7題,3分)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O，E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，連接EF，若EF=，BD=4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（ ）． A．4 B．4 C．4 D．28 【答案】C 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、勾股定理. 2, （2015?淄博第9題,4分）如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，則=（　　） 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．. 專題： 計(jì)算題；壓軸題． 分析： 可通過(guò)構(gòu)建全等三角形求解．延長(zhǎng)GP交DC于H，可證三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯(cuò)角相等可得出兩三角形中兩組對(duì)應(yīng)的角相等，又有DP=PF，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中的（AAS），于是兩三角形全等，那么HP=PG，可根據(jù)三角函數(shù)來(lái)得出PG、CP的比例關(guān)系． 解答： 解：如圖， 延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H， ∵P是線段DF的中點(diǎn)， ∴FP=DP， 由題意可知DC∥GF， ∴∠GFP=∠HDP， ∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GP=HP，GF=HD， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴CD=CB， ∴CG=CH， ∴△CHG是等腰三角形， ∴PG⊥PC，（三線合一） 又∵∠ABC=∠BEF=60°， ∴∠GCP=60°， ∴=； 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵． 3．（2015·湖南省衡陽(yáng)市，第9題3分）下列命題是真命題的是（ ）． A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形 4．（2015·湖北省孝感市，第7題3分）下列命題： ①平行四邊形的對(duì)邊相等； ②對(duì)角線相等的四邊形是矩形； ③正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形； ④一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形． 其中真命題的個(gè)數(shù)是 A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)：命題與定理．. 分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對(duì)④進(jìn)行判斷． 解答：解：平行四邊形的對(duì)邊相等，所以①正確； 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以②錯(cuò)誤； 正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，所以③正確； 一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形，所以④正確． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理． 5．（2015·湖南省益陽(yáng)市，第5題5分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　?。? 　 A． ∠ABC=90° B． AC=BD C． OA=OB D． OA=AD 考點(diǎn)： 矩形的性質(zhì)． 分析： 矩形的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相平分且相等；由矩形的性質(zhì)容易得出結(jié)論． 解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD， ∴OA=OB， ∴A、B、C正確，D錯(cuò)誤， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 6.（2015湖南岳陽(yáng)第6題3分）下列命題是真命題的是（　　） 　 A． 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 　 B． 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形 　 C． 四條邊相等的四邊形是菱形 　 D． 正方形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形 考點(diǎn)： 命題與定理．. 分析： 根據(jù)平行四邊形的判定方法對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的定義對(duì)D進(jìn)行判斷． 解答： 解：A、一組對(duì)邊平行，且相等的四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、對(duì)角線互相垂直，且相等的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、四條邊相等的四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)正確； D、正方形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理． 7.（2015湖北鄂州第8題3分） 如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE 沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，則sin∠ECF =（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 考點(diǎn)：翻折問(wèn)題. 8.（2015湖北鄂州第10題3分） 在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2 、A2B2C2D2 、D2E3E4B3 、A3B3C3D3 ……按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x軸上，已知正方形A1B1C1D1 的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長(zhǎng)是（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.解直角三角形． 9．（2015?廣東梅州,第6題4分）下列命題正確的是（ ） 　 A． 一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 　 B． 對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形 　 C． 對(duì)角線相等的四邊形是矩形 　 D． 對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形 考點(diǎn)： 命題與定理． 分析： 根據(jù)矩形、菱形、平行四邊形的知識(shí)可判斷出各選項(xiàng)，從而得出答案． 解答： 解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形也可能是等腰梯形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形也可能是梯形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、對(duì)角線相等的四邊形是矩形也可能是等腰梯形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形，此選項(xiàng)正確； 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了命題與定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、菱形以及矩形的性質(zhì)，此題難度不大． 10. （2015?浙江衢州,第8題3分）如圖，已知某廣場(chǎng)菱形花壇的周長(zhǎng)是24米，，則花壇對(duì)角線的長(zhǎng)等于【 】 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A. 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值. 【分析】∵菱形花壇的周長(zhǎng)是24，∴，，. ∵，∴. ∴（米）. 故選A. 11. （2015?浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論不成立的是( ) A. CD+DF=4 B. CD?DF=2?3 C. BC+AB=2+4 D. BC?AB=2 【答案】A. 【解析】 試題分析：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點(diǎn)為M,連接MO并延長(zhǎng)MO交AD于點(diǎn)N,利用“AAS”易證△OMG≌△GCD,所以O(shè)M=GC=1, CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC?AB=2.設(shè)AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC?AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD?DF=，CD+DF=.綜上只有選項(xiàng)A錯(cuò)誤，故答案選A. 考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理； 12. （2015?浙江寧波，第12題4分） 如圖，小明家的住房平面圖呈長(zhǎng)方形，被分割成3個(gè)正方形和2個(gè)長(zhǎng)方形后仍是中心對(duì)稱圖形. 若只知道原住房平面圖長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，則分割后不用測(cè)量就能知道周長(zhǎng)的圖形標(biāo)號(hào)為【 】 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A. 【考點(diǎn)】多元方程組的應(yīng)用（幾何問(wèn)題）. 【分析】如答圖，設(shè)原住房平面圖長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，①的長(zhǎng)和寬分別為，②③的邊長(zhǎng)分別為. 根據(jù)題意，得， ，得， 將代入③，得（定值）， 將代入，得（定值）， 而由已列方程組得不到. ∴分割后不用測(cè)量就能知道周長(zhǎng)的圖形標(biāo)號(hào)為①②. 故選A. 13.（2015?四川南充,第9題3分）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為8cm，高AE長(zhǎng)為cm，則對(duì)角線AC長(zhǎng)和BD長(zhǎng)之比為（ ） （A）1:2 （B）1:3 （C）1: （D）1: 【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，根據(jù)周長(zhǎng)可得AB=BC=2，根據(jù)AE=可得BE=1，則△ABC為等邊三角形，則AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：. 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)、直角三角形. 14．（2015?四川資陽(yáng),第7題3分）若順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，得到的圖形是一個(gè)矩形，則四邊形ABCD一定是 A．矩形 B．菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形 考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形．. 分析：首先根據(jù)三角形中位線定理知：所得四邊形的對(duì)邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對(duì)角線必互相垂直，由此得解． 解答：已知：如右圖，四邊形EFGH是矩形，且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，求證：四邊形ABCD是對(duì)角線垂直的四邊形． 證明：由于E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)， 根據(jù)三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG； ∵四邊形EFGH是矩形，即EF⊥FG， ∴AC⊥BD， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形利用三角形的中位線定理解答． 15．（2015?四川資陽(yáng),第10題3分）如圖6，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 考點(diǎn)：相似形綜合題．. 分析：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷； ②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷； ③如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷； ④根據(jù)AA可證△ACE∽△BFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，依此即可作出判斷． 解答：解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB==，故①正確； ②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合， ∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵M(jìn)G⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC， ∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CE=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位線， ∴GC=AC=MH，故②正確； ③如圖2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 將△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD， 則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠BDE=90°， ∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③錯(cuò)誤； ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE， ∵∠A=∠5=45°， ∴△ACE∽△BFC， ∴=， ∴AF?BF=AC?BC=1， 由題意知四邊形CHMG是矩形， ∴MG∥BC，MH=CG， MG∥BC，MH∥AC， ∴=；=， 即=；=， ∴MG=AE；MH=BF， ∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=， 故④正確． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度． 16、（2015?四川自貢,第10題4分） 如圖，在矩形中，,是邊的中點(diǎn)，是線段邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△沿所在直線折疊得到△,連接,則的最小值是 （ ） A. B.6 C. D.4 考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)、翻折（軸對(duì)稱）、勾股定理、最值. 分析：連接后抓住△中兩邊一定，要使的長(zhǎng)度最小即要使最小(也就是使其角度為0°)，此時(shí)點(diǎn)落在上, 此時(shí). 略解： ∵是邊的中點(diǎn)， ∴ ∵四邊形矩形 ∴ ∴在△根據(jù)勾股定理可知： 又∵ ∴. 根據(jù)翻折對(duì)稱的性質(zhì)可知 ∵△中兩邊一定，要使的長(zhǎng)度最小即要使最小(也就是使其角度為0°)，此時(shí)點(diǎn)落在上（如圖所示）. ∴ ∴的長(zhǎng)度最小值為. 故選A 17. （2015?浙江濱州,第8題3分）順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，所得四邊形必定是（ ） A.鄰邊不等的平行四邊形 B.矩形 　　C.正方形 D.菱形 【答案】D 考點(diǎn)：菱形的判定 18. （2015?四川省內(nèi)江市，第11題，3分）如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE最小，則這個(gè)最小值為（　　） 　 A． B． 2 C． 2 D． 考點(diǎn)： 軸對(duì)稱－最短路線問(wèn)題；正方形的性質(zhì)．. 分析： 由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，所以BE與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時(shí)PD+PE=BE最小，而B(niǎo)E是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果． 解答： 解：由題意，可得BE與AC交于點(diǎn)P． ∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最?。? ∵正方形ABCD的面積為12， ∴AB=2． 又∵△ABE是等邊三角形， ∴BE=AB=2． 故所求最小值為2． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了軸對(duì)稱﹣﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到點(diǎn)P的位置是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 19 . （2015?浙江省臺(tái)州市，第8題）如果將長(zhǎng)為6cm，寬為5cm的長(zhǎng)方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長(zhǎng)不可能是（ ） A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm 20 . （2015?浙江省臺(tái)州市，第9題）.如圖，在菱形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=AF，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AD交CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB交BC于點(diǎn)H，EG與FH交于點(diǎn)O，當(dāng)四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長(zhǎng)之差為12時(shí)，AE的值為（ ） A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 21．(2015·深圳，第12題 分)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：⊿ADG≌⊿FDG；GB=2AG； ⊿GDE∽BEF；S⊿BEF=。在以上4個(gè)結(jié)論中，正確的有（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C. 【解析】由折疊可知，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠C＝90° ∠DFG＝∠A＝90° 22,（（2015?山東日照 ，第6題3分））小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使?ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是（　　） 　 A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ②④ 考點(diǎn)： 正方形的判定．. 分析： 利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別，結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出即可． 解答： 解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形， 當(dāng)①AB=BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形， 當(dāng)②∠ABC=90°時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴當(dāng)②∠ABC=90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形， 當(dāng)AC=BD時(shí)，這是矩形的性質(zhì)，無(wú)法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確； C、∵四邊形ABCD是平行四邊形， 當(dāng)①AB=BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形， 當(dāng)③AC=BD時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴當(dāng)②∠ABC=90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形， 當(dāng)④AC⊥BD時(shí)，矩形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵． 　 23．（2015·山東濰坊第9 題3分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖： 第一步，分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N； 第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F； 第三步，連接DE、DF． 若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長(zhǎng)是（　?。? 　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 考點(diǎn)： 平行線分線段成比例；菱形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖．. 分析： 根據(jù)已知得出MN是線段AD的垂直平分線，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四邊形AEDF是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE=DE=DF=AF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，代入求出即可． 解答： 解：∵根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線， ∴AE=DE，AF=DF， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EDA=∠CAD， ∴DE∥AC， 同理DF∥AE， ∴四邊形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， ∵AF=4， ∴AE=DE=DF=AF=4， ∵DE∥AC， ∴=， ∵BD=6，AE=4，CD=3， ∴=， ∴BE=8， 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線分線段成比例定理，菱形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)定理四邊形AEDF是菱形是解此題的關(guān)鍵，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 24．（2015?甘肅蘭州,第7題，4分）下列命題錯(cuò)誤的是 A. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 B. 平行四邊形的對(duì)角線互相平分 C. 矩形的對(duì)角線相等 D. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形 【 答 案 】D 【考點(diǎn)解剖】本題考查特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定 【解答過(guò)程】略 【題目星級(jí)】★★★ 25．（2015?廣東梅州,第5題，3分）下列命題正確的是（　?。? A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平等的四邊形是平行四邊形 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 考點(diǎn)：命題與定理．. 分析：根據(jù)矩形、菱形、平行四邊形的知識(shí)可判斷出各選項(xiàng)，從而得出答案． 解答：解：A、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故本選項(xiàng)正確． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題與定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、菱形以及矩形的性質(zhì)，此題難度不大． 26．（2015?甘肅蘭州,第10題，4分）如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)EF，則△AEF的面積是 A. B. C. D. 【 答 案 】B 【考點(diǎn)解剖】本題考查了菱形和正三角形的性質(zhì)中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn) 【知識(shí)準(zhǔn)備】菱形的四條邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相垂直平分；等腰三角形底邊上的高線平分底邊和頂角。 【思路點(diǎn)拔】由菱形的性質(zhì)以及現(xiàn)有條件，可得△AEF是正三角形，而正三角形的面積等于邊長(zhǎng)的平方的倍 【解答過(guò)程】連結(jié)AC和BD，并記它們的交點(diǎn)為G，則有AC⊥BD，且AG=CG，BG=CG， △ABC中，AB=CB，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形， 正三角形△ABC中，AE和BG是中線，也是高線，可求得AE=BG=AB=， △BCD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，且EF=BD= BG=， 記AC與EF的交點(diǎn)H，因?yàn)镋F∥BD，AC⊥BD，所以AH⊥EF， 且由相似形的性質(zhì)，可得CH=CG=AC=1，則AH=AC－CH=4－1=3 則。 【題目星級(jí)】★★★★ 27．（2015?安徽省,第9題，4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是[（ ）] A．2 B．3 C．5 D．6 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．. 分析：連接EF交AC于O，由四邊形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四邊形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通過(guò)△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根據(jù)△AOE∽△ABC，即可得到結(jié)果． 解答：解；連接EF交AC于O， ∵四邊形EGFH是菱形， ∴EF⊥AC，OE=OF， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°，AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， 在△CFO與△AOE中，， ∴△CFO≌△AOE， ∴AO=CO， ∵AC==4， ∴AO=AC=2， ∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°， ∴△AOE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE=5． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵． 28. （2015山東省德州市，11，3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個(gè)結(jié)論： ①OA=OD; ②AD⊥EF; ③當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形； ④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①③④ D.②③④ 第11題圖 【答案】D 考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；正方形的判定方法；全等三角形的判定、勾股定理 考點(diǎn)：幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題函數(shù)圖象 29.（2015?江蘇徐州,第7題3分）如圖，菱形中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，則OE的長(zhǎng)等于（　　） 　 A． 3.5 B． 4 C． 7 D． 14 考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)．. 分析： 根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OE是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可． 解答： 解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為28， ∴AB=28÷4=7，OB=OD， ∵E為AD邊中點(diǎn)， ∴OE是△ABD的中位線， ∴OE=AB=×7=3.5． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵． 30.（2015?山東臨沂,第12題3分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB. 添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（ ） (A) AB=BE. (B) BE⊥DC. (C) ∠ADB=90°. (D) CE⊥DE. 【答案】B 考點(diǎn)：矩形的判定 31. （2015?四川瀘州,第6題3分）菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是 A.兩組對(duì)邊分別平行 B.兩組對(duì)角分別相等 C.對(duì)角線互相平分 　D. 對(duì)角線互相垂直 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．. 分析：根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對(duì)角線互相垂直． 解答：解：A、不正確，兩組對(duì)邊分別平行； B、不正確，兩組對(duì)角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，； C、不正確，對(duì)角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)； D、菱形的對(duì)角線互相垂直但平行四邊形卻無(wú)此性質(zhì)． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形對(duì)角線垂直及平行四邊形對(duì)角線平分的性質(zhì)的理解． 二.填空題 ．(2015?江蘇無(wú)錫,第14題2分)如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于　16　cm． 考點(diǎn)： 點(diǎn)四邊形． 分析： 連接AC、BD，根據(jù)三角形的位線求HG、GF、EF、EH的長(zhǎng)，再求四邊形EFGH的周長(zhǎng)即可． 解答： 解：如圖，連接C、BD， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=BD=8cm， ∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的點(diǎn)， ∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm， ∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm， 故答案為：16． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的位線的應(yīng)用，能求四邊形的各個(gè)邊的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線相等，三角形的位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半． 3, （2015?江蘇泰州,第16題3分）如圖， 矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)， 將△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_________. 【答案】4.8. 【解析】 試題分析：由折疊的性質(zhì)得出EP=AP, ∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x，求出CG、BG，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可. 試題解析：如圖所示： ∵四邊形ABCD是矩形 ∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8 根據(jù)題意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中 ∴△ODP≌△OEG ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP 設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x， ∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x 根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2 即：62+（8－x）2=（x+2）2 解得：x=4.8 ∴AP=4.8. 考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問(wèn)題）；2.勾股定理；3.矩形的性質(zhì). 4 .（2015?江蘇徐州,第17題3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為?。ǎ﹏﹣1　． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)．. 專題： 規(guī)律型． 分析： 首先求出AC、AE、HE的長(zhǎng)度，然后猜測(cè)命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問(wèn)題． 解答： 解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC2=12+12，AC=； 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…， ∴第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)an=（）n﹣1． 故答案為（）n﹣1． 點(diǎn)評(píng)： 該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題；應(yīng)牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運(yùn)用． 5．（4分）（（2015?山東日照 ，第14題3分））邊長(zhǎng)為1的一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形如圖擺放，則△ABC的面積為　?。? 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．. 分析： 過(guò)點(diǎn)C作CD和CE垂直正方形的兩個(gè)邊長(zhǎng)，再利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ABC的面積即可． 解答： 解：過(guò)點(diǎn)C作CD和CE垂直正方形的兩個(gè)邊長(zhǎng)，如圖， ∵一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形的擺放， ∴四邊形DBEC是矩形， ∴CE=DB=， ∴△ABC的面積=AB?CE=×1×=， 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出BE和CE的長(zhǎng)． 　 6．（2015?四川廣安，第15題3分）如圖，已知E、F、G、H分別為菱形ABCD四邊的中點(diǎn)，AB=6cm，∠ABC=60°，則四邊形EFGH的面積為　9　cm2． 考點(diǎn)： 中點(diǎn)四邊形；菱形的性質(zhì)．. 分析： 連接AC、BD，首先判定四邊形EFGH的形狀為矩形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC與BD的值，進(jìn)而求出矩形的長(zhǎng)和寬，然后根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算其面積即可． 解答： 解：連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，如圖所示， ∵E、F、G、H分別是菱形四邊上的中點(diǎn)， ∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG， EF=AC=HG， ∴四邊形EHGF是平行四邊形， ∵菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴四邊形EFGH是矩形， ∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴AO=AB=3， ∴AC=6， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==3， ∴BD=6， ∵EH=BD，EF=AC， ∴EH=3，EF=3， ∴矩形EFGH的面積=EF?FG=9cm2． 故答案為：9． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了中點(diǎn)四邊形和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判定四邊形EFGH的形狀為矩形． 　 7. （2015?四川省內(nèi)江市，第24題，6分）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，O是EG的中點(diǎn)，∠EGC的平分線GH過(guò)點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)H，連接OH，F(xiàn)H，EG與FH交于點(diǎn)M，對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論：①CH⊥BE；②HOBG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：（1+），其中正確結(jié)論的序號(hào)為　②?。? 考點(diǎn)： 四邊形綜合題．. 分析： 證明△BCE≌△DCG，即可證得∠BEC=∠DGC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證得∠EHG=90°，則HG⊥BE，然后證明△BGH≌△EGH，則H是BE的中點(diǎn)，則OH是△BGE的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可判斷②．根據(jù)△DHN∽△DGC求得兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的比，則③④即可判斷． 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°， 同理可得CE=CG，∠DCG=90°， 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG， ∴∠BEC=∠DGC， ∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°， ∴∠EDH+∠BEC=90°， ∴∠EHD=90°， ∴HG⊥BE，則CH⊥BE錯(cuò)誤， 則故①錯(cuò)誤； ∵在△BGH和△EGH中，， ∴△BGH≌△EGH， ∴BH=EH， 又∵O是EG的中點(diǎn)， ∴HOBG， 故②正確； 設(shè)EC和OH相交于點(diǎn)N． 設(shè)HN=a，則BC=2a，設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b，則NC=b，CD=2a， ∵OH∥BC， ∴△DHN∽△DGC， ∴，即，即a2+2ab﹣b2=0， 解得：a=或a=（舍去）， 則， 則S正方形ABCD：S正方形ECGF=（）2=，故③錯(cuò)誤； ∵EF∥OH， ∴△EFM∽△OMH， ∴=， ∴， ∴===．故④錯(cuò)誤． 故正確的是②． 故答案是：②． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的比是解決本題的關(guān)鍵． 　 8. （2015?四川省宜賓市，第12題，3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，若PE=3，則點(diǎn)P到AD的距離為 .321·cn·jy·com 9, （2015?四川省宜賓市，第16題，3分）如圖，在正方形ABC'D中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H.　　 給出下列結(jié)論：①△ABE≌△DCF；② = ；③DP2=PH·PB；④ = . 其中正確的是 (寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)). ①③④ 10,（2015上海,第16題4分）已知E是正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AE＝AD，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交邊CD于點(diǎn)F，那么∠FAD＝________度． 【答案】22.5. 【解析】 11．(2015·南寧，第16題3分)如圖7，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則BED的度數(shù)是 ． 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．. 分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB與AD的關(guān)系，∠BAD的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AE與AD的關(guān)系，∠AED的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠AEB與∠ABE的關(guān)系，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠AEB的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案． 解答：解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°． ∵等邊三角形ADE， ∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°． ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°， AB=AE， ∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°， ∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°， 故答案為：45°． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，先求出∠BAE的度數(shù)，再求出∠AEB，最后求出答案． 12． (2015·河南，第15題3分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3， 點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿 EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則 DB′的長(zhǎng)為 . E F C D B A 第15題 B′ 【分析】若△CD恰為等腰三角形，判斷以CD為腰或?yàn)榈走叿譃槿N情況：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，針對(duì)每一種情況利用正方形和折疊的性質(zhì)進(jìn)行分析求解. 16或【解析】本題考查正方形、矩形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，以及分類討論思想..根據(jù)題意，若△CD恰為等腰三角形需分三種情況討論：（1）若DB′=DC時(shí)，則DB′=16（易知點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C、B重合） ；（2）當(dāng)CB′=CD時(shí)，∵EB=EB′，CB=CB′∴點(diǎn)E、C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去；（3）如解圖，當(dāng)CB′=DB′時(shí)，作BG⊥AB與點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H.∵AB∥CD， ∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG－AE=5，在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH－B′G=4.在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′=，綜上所述DB′=16或. 　　　　　　　　　　　　　　　　第15題解圖 13． (2015·黑龍江綏化，第18題 分)如圖正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O ，△CEF是正三角形，則∠CEF=__________． 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．． 分析：根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)，可得AO=BO，OE=OF，根據(jù)SSS可得△AOE≌△BOF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)角的和差，可得答案． 解答：解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠AOB=90°． ∵△OEF是正三角形， ∴OE=OF，∠EOF=60°． 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（SSS）， ∴∠AOE=∠BOF， ∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2 =（90°﹣60°）÷2 =15°， 故答案為15°． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形、等邊三角形的性質(zhì)，利用SSS證明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解題的關(guān)鍵． 14.（2015呼和浩特，13，3分）如圖，四邊形 ABCD是菱形， E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，隨機(jī)地向菱形ABCD內(nèi)擲一粒米，則米粒落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是__________. 考點(diǎn)分析：概率初步——結(jié)合其他考點(diǎn)（轉(zhuǎn)化思想） 特殊四邊形的性質(zhì) 特殊代替一般 詳解： 概率初步結(jié)合其他幾何知識(shí)的考點(diǎn)有：面積比、點(diǎn)坐標(biāo)存在、幾何中充分條件等。一般而言難度不高。本題考查的是面積比，正規(guī)作法是連接HF，如右圖。易證AH與BF平行且相等，所以四邊形AHFB是平行四邊形，那么不管E是否為AB的中點(diǎn)，S△HEF=S□AHFB,(同底等高)，同理可證S△HGF=S□HDCF,所以陰影部分的面積占整個(gè)菱形面積的一半。 講過(guò)，比平行四邊形特殊的是菱形和矩形，比菱形特殊的是正方形。當(dāng)客觀題中出現(xiàn)菱形，且沒(méi)有說(shuō)對(duì)角線是否相等，那么你完全可以按照正方形處理，這就是本例的一個(gè)小應(yīng)用。想讓同學(xué)記住的是，本例用這個(gè)方法意義不大，因?yàn)槟阒灰邆湟欢〝?shù)學(xué)思想，眼里畫(huà)上給出的HF，在轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)眼珠，答案就出來(lái)了，所以教你的東西可以在以后的類似有比值呀、定值呀的題目中使用。 如右圖的正方形，一個(gè)中心十字，面積比一目了然，當(dāng)然你腦子足夠快的話，這個(gè)十字可以不畫(huà)，其實(shí)拿到題目第一時(shí)間就是把它看成正方形，之后馬上得出正確結(jié)論。 15．（2015?廣東省,第12題，4分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC=60°，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是 ▲ . 【答案】6. 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì). 【分析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=6. ∵∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=BC=6. 16. （2015?浙江濱州,第14題4分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為15，sin∠BAC=，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為 . 【答案】24 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，解直角三角形 17．（2015?廣東梅州,第14題，3分）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，若AB=4，BC=2，那么線段EF的長(zhǎng)為　 ?。? 考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）．. 分析：如圖，AC交EF于點(diǎn)O，由勾股定理先求出AC的長(zhǎng)度，根據(jù)折疊的性質(zhì)可判斷出RT△EOC∽R(shí)T△ABC，從而利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出OE，再由EF=2OE可得出EF的長(zhǎng)度 解答：解：如圖所示，AC交EF于點(diǎn)O， 由勾股定理知AC=2， 又∵折疊矩形使C與A重合時(shí)有EF⊥AC， 則Rt△AOE∽R(shí)t△ABC， ∴， ∴OE= 故EF=2OE=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了翻折變換、勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是判斷出RT△AOE∽R(shí)T△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得出OE的長(zhǎng)． 18. （2015?浙江湖州，第15題4分）如圖，已知拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)分別為A，B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M、N，如果點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)M與點(diǎn)N都關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請(qǐng)你寫(xiě)出一對(duì)姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫(xiě)的一對(duì)拋物線解析式是_______________________和_________________________ 【答案】,(答案不唯一，只要符合條件即可). 【解析】 試題分析：因點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)M與點(diǎn)N都關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，所以把拋物線C2看成拋物線C1以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°得到的，由此即可知a1，a2互為相反數(shù)，拋物線C1和C2的對(duì)稱軸直線關(guān)于y軸對(duì)稱，由此可得出b1=b2. 拋物線C1和C2都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得c1=c2，設(shè)點(diǎn)A(m，n)，由題意可知B（－m，－n），由勾股定理可得.由圖象可知MN=︱4m︱，又因四邊形ANBM是矩形，所以AB=MN,即，解得，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，任意確定m的一個(gè)值，根據(jù)確定n的值，拋物線過(guò)原點(diǎn)代入即可求得表達(dá)式，然后在確定另一個(gè)表達(dá)式即可.l例如，當(dāng)m=1時(shí)，n=，拋物線的表達(dá)式為，把x=0，y=0代入解得a=，即，所以另一條拋物線的表達(dá)式為. 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)、矩形、二次函數(shù)綜合題 19. （2015?浙江湖州，第16題4分）已知正方形ABC1D1的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長(zhǎng)C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3(如圖所示)，以此類推…，若A1C1=2，且點(diǎn)A，D2， D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長(zhǎng)是__________________________ 【答案】. 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定及性質(zhì)；規(guī)律探究題. 20. （2015?浙江麗水，第15題4分）如圖，四邊形ABCD與四邊形AECF都是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，則= ▲ . 【答案】. 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等腰直角三角形和含30度角直角三角形的性質(zhì)；特殊元素法的應(yīng)用. 【分析】如答圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H， ∵四邊形ABCD與四邊形AECF都是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=30°， ∴∠ABE=30°，∠BAE=45°. 不妨設(shè)， ∴在等腰中，；在中，. ∴. ∴. 21 ,（2015?浙江寧波，第15題4分）命題“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是 ▲ 命題（填“真”或“假”） 【答案】假. 【考點(diǎn)】命題的真假判定；矩形的判定. 【分析】根據(jù)矩形的判定，對(duì)角線相等的平行四邊形才是矩形，而對(duì)角線相等的四邊形也可能是等腰梯形等，故命題“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是假命題. 22.（2015湖北荊州第17題3分）如圖，將一張邊長(zhǎng)為6cm的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成底面是正六邊形的棱柱，則這個(gè)六棱柱的側(cè)面積為　36﹣12　cm2． 考點(diǎn)： 展開(kāi)圖折疊成幾何體． 分析： 這個(gè)棱柱的側(cè)面展開(kāi)正好是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為6，寬為6減去兩個(gè)六邊形的高，再用長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可求得答案． 解答： 解：∵將一張邊長(zhǎng)為6的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個(gè)底面是正六邊形的棱柱， ∴這個(gè)正六邊形的底面邊長(zhǎng)為1，高為， ∴側(cè)面積為長(zhǎng)為6，寬為6﹣2的長(zhǎng)方形， ∴面積為：6×（6﹣2）=36﹣12． 故答案為：36﹣12． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及剪紙問(wèn)題的應(yīng)用．此題難度不大，注意動(dòng)手操作拼出圖形，并能正確進(jìn)行計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵． 三.解答題 1. （2015?浙江嘉興，第19題8分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于點(diǎn)G. （1）觀察圖形，寫(xiě)出圖中所有與∠AED相等的角. （2）選擇圖中與∠AED相等的任意一個(gè)角，并加以證明. 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．. 分析：（1）由圖示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE與∠AED相等； （2）根據(jù)SAS證明△DAE與△ABF全等，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明． 解答：解：（1）由圖可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE與∠AED相等； （2）選擇∠DAG=∠AED，證明如下： ∵正方形ABCD， ∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB， ∵AF=DE， 在△DAE與△ABF中， ， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE=∠BAF， ∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°， ∴∠DAG=∠AED． 點(diǎn)評(píng)：此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△DAE與△ABF全等． 2. （2015?浙江嘉興，第24題14分）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”. （1）概念理解 如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.請(qǐng)寫(xiě)出你添加的一個(gè)條件. （2）問(wèn)題探究 ①小紅猜想：對(duì)角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形.她的猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。 ②如圖2，小紅畫(huà)了一個(gè)Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿 ∠ABC的平分線BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，連結(jié)AA＇，BC＇.小紅要是平移后的四邊形ABC＇A＇是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB＇的長(zhǎng)）？ （3）應(yīng)用拓展 如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD