3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法題號直線的兩點(diǎn)式方程2,3,11直線的截距式方程5,7,10中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程的理解及應(yīng)用1,4,6,8,9,12,13基礎(chǔ)鞏固1.下列四個命題中的真命題是(B)(A)經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示(B)經(jīng)過任意兩個不同點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示(C)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程xa+yb=1表示(D)經(jīng)過定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示解析:當(dāng)直線與y軸重合時,斜率不存在,選項(xiàng)A、D不正確;當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時,直線方程不能用截距式表示,選項(xiàng)C不正確,選項(xiàng)B正確.故選B.2.(2018三明市高一測試)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,-2),B(-3,2),則直線l的方程為(A)(A)x+y+1=0(B)x-y+1=0(C)x+2y+1=0(D)x+2y-1=0解析:由兩點(diǎn)式得直線l的方程為y+22-(-2)=x-1-3-1,即y+2=-(x-1).故選A.3.已知ABC的三個頂點(diǎn)A(1,2),B(3,6),C(5,2),M為AB的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),則中位線MN所在的直線方程為(A)(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0解析:由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知M(2,4),N(3,2),由兩點(diǎn)式方程知MN所在的直線方程為2x+y-8=0.故選A.4.直線l過點(diǎn)P(1,3),且與x,y軸正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是(A)(A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0(C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0解析:設(shè)所求的直線方程為xa+yb=1.所以1a+3b=1,12|ab|=6,解得a=2,b=6.故所求的直線方程為3x+y-6=0.故選A.5.(2018安徽黃山調(diào)研)已知直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值是(D)(A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:當(dāng)a=0時,y=2不合題意.當(dāng)a0時,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=a+2a,則a+2a=a+2,得a=1或a=-2.故選D.6.點(diǎn)M(4,1)關(guān)于點(diǎn)N(2,-3)的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為.解析:設(shè)P(x,y),則2=4+x2,-3=1+y2,所以x=0,y=-7.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-7).答案:(0,-7)7.已知直線mx-2y-3m=0(m0)在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍,則m= .解析:直線方程可化為x3-y3m2=1,所以-3m24=3,所以m=-12.答案:-128.已知ABC的三個頂點(diǎn)為A(0,3),B(1,5),C(3,-5).(1)求邊AB所在的直線方程;(2)求中線AD所在直線的方程.解:(1)設(shè)邊AB所在的直線的斜率為k,則k=5-31-0=2.它在y軸上的截距為3.所以,由斜截式得邊AB所在的直線的方程為y=2x+3.(2)B(1,5)、C(3,-5),1+32=2,5+(-5)2=0,所以BC的中點(diǎn)D(2,0).由截距式得中線AD所在的直線的方程為x2+y3=1.能力提升9.已知兩點(diǎn)A(3,0),B(0,4),動點(diǎn)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動,則xy (D)(A)無最小值且無最大值(B)無最小值但有最大值(C)有最小值但無最大值(D)有最小值且有最大值解析:線段AB的方程為x3+y4=1(0x3),于是y=4(1-x3)(0x3),從而xy=4x(1-x3)=-43(x-32)2+3,顯然當(dāng)x=320,3時,xy取最大值為3;當(dāng)x=0或3時,xy取最小值0.故選D.10.(2018四川宜賓模擬)過點(diǎn)P(2,3)并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為(B)(A)2x-3y=0(B)3x-2y=0或x+y-5=0(C)x+y-5=0(D)2x-3y=0或x+y-5=0解析:當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距都不為0時,設(shè)該直線的方程為x+y=a,把(2,3)代入所設(shè)的方程得a=5,則所求直線的方程為x+y=5即x+y-5=0;當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距都為0時,設(shè)該直線的方程為y=kx,把(2,3)代入所求的方程得k=32,則所求直線的方程為y=32x,即3x-2y=0.綜上,所求直線的方程為3x-2y=0或x+y-5=0.故選B.11.經(jīng)過A(1,3)和B(a,4)的直線方程為 .解析:當(dāng)a=1時,直線AB的斜率不存在,所求直線的方程為x=1;當(dāng)a1時,由兩點(diǎn)式,得y-34-3=x-1a-1,即x-(a-1)y+3a-4=0.這個方程中,對a=1時方程為x=1也滿足.所以,所求的直線方程為x-(a-1)y+3a-4=0.答案:x-(a-1)y+3a-4=012.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直線ABCD,求m的值.解:因?yàn)锳、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不相等,所以AB與x軸不平行.因?yàn)锳BCD,所以CD與x軸不垂直,-m3,即m-3.當(dāng)AB與x軸垂直時,-m-3=-2m-4,解得m=-1.而m=-1時C、D縱坐標(biāo)均為-1,所以CDx軸,此時ABCD,滿足題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時,由斜率公式kAB=4-2-2m-4-(-m-3)=2-(m+1),kCD=3m+2-m3-(-m)=2(m+1)m+3.因?yàn)锳BCD,所以kABkCD=-1,即2-(m+1)2(m+1)m+3=-1,解得m=1,綜上m的值為1或-1.探究創(chuàng)新13.某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE(如圖,BCCD)上劃出一塊長方形地面(不改變方位)進(jìn)行開發(fā).問:如何設(shè)計(jì)才能使開發(fā)面積最大?并求出最大面積.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)解:以BC所在直線為x軸,AE所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖,則A(0,60),B(90,0).AB所在的直線方程為x90+y60=1,即y=60-23x.所以可設(shè)P(x,60-23x),其中0<x<90,開發(fā)面積S=(300-x)(240-y)=(300-x)240-(60-23x)=-23x2+20x+ 54 000(0<x<90).當(dāng)x=-202(-23)=15,且y=50時,S取最大值54 150.即矩形頂點(diǎn)P距離AE 15 m,距離BC 50 m時,面積最大,為54 150 m2.