第六節(jié)雙曲線A組基礎(chǔ)題組1.已知橢圓x2a2+y29=1(a>0)與雙曲線x24-y23=1有相同的焦點,則a的值為()A.2B.10C.4D.342.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于5,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x25-y220=1B.x225-y220=1C.x220-y25=1D.x220-y225=13.已知a>b>0,橢圓C1的方程為x2a2+y2b2=1,雙曲線C2的方程為x2a2-y2b2=1,C1與C2的離心率之積為32,則C2的漸近線方程為()A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=04.(20xx課標(biāo),5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若·<0,則y0的取值范圍是()A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,2335.設(shè)F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的離心率為()A.43B.53C.54D.4146.(20xx北京,12,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為(5,0),則a=;b=. 7.設(shè)中心在原點的雙曲線與橢圓x22+y2=1有公共的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),則該雙曲線的方程是. 8.已知F1,F2為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點,過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P和Q,且F1PQ為正三角形,則雙曲線的漸近線方程為. 9.已知雙曲線的中心在原點,左,右焦點F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為2,且過點(4,-10).(1)求雙曲線的方程;(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.10.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求雙曲線E的離心率;(2)如圖,O為坐標(biāo)原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E.若存在,求出雙曲線E的方程.B組提升題組11.(20xx安徽江南十校3月聯(lián)考)已知l是雙曲線C:x22-y24=1的一條漸近線,P是l上的一點,F1,F2是C的兩個焦點,若·=0,則P到x軸的距離為()A.233B.2C.2D.263ZXXK12.(20xx吉林長春二模)過雙曲線x2-y215=1的右支上一點P分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為()A.10B.13C.16D.1913.(20xx北京,13,5分)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC的邊長為2,則a=. 14.已知雙曲線x2-y23=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則·的最小值為. 15.已知橢圓C1的方程為x24+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點,O為坐標(biāo)原點.(1)求雙曲線C2的方程;(2)若直線l:y=kx+2與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且·>2,求k的取值范圍.16.設(shè)A,B分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右頂點,雙曲線的實軸長為43,焦點到漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使+=t,求t的值及點D的坐標(biāo).答案全解全析A組基礎(chǔ)題組1.C因為橢圓x2a2+y29=1(a>0)與雙曲線x24-y23=1有相同的焦點(±7,0),則有a2-9=7,所以a=4.2.A由題意知圓心坐標(biāo)為(5,0),即c=5,又e=ca=5,所以a=5,所以a2=5,b2=20,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25-y220=1.3.A設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2,則e1=a2-b2a,e2=a2+b2a.因為e1·e2=32,所以a4-b4a2=32,即ba4=14,ba=22.故雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±22x,即x±2y=0.4.A若·=0,則點M在以原點為圓心,半焦距c=3為半徑的圓上,則x02+y02=3,x022-y02=1,解得y02=13.可知:·<0點M在圓x2+y2=3的內(nèi)部y02<13y0-33,33.故選A.5.B|PF2|=|F1F2|=2c,所以由雙曲線的定義知|PF1|=2a+2c,因為F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,兩邊同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=53或e=-1(舍去).6.答案1;2解析由題可知雙曲線焦點在x軸上,故漸近線方程為y=±bax,又一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,ba=2,即b=2a.又該雙曲線的一個焦點為(5,0),c=5.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.7.答案2x2-2y2=1解析橢圓的焦點為(±1,0),雙曲線的焦點為(±1,0).橢圓的離心率e=22,雙曲線的離心率e'=2.雙曲線中c2=2a2,1=2a2,a2=12,又雙曲線中b2=c2-a2,b2=12,所求雙曲線的方程為2x2-2y2=1.8.答案y=±2x解析解法一:設(shè)F2(c,0)(c>0),P(c,y0),代入雙曲線方程得y0=±b2a,PQx軸,|PQ|=2b2a.在RtF1F2P中,PF1F2=30°,|F1F2|=3|PF2|,即2c=3·b2a.又c2=a2+b2,b2=2a2或2a2=-3b2(舍去),a>0,b>0,ba=2.故所求雙曲線的漸近線方程為y=±2x.解法二:在RtF1F2P中,PF1F2=30°,|PF1|=2|PF2|.由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=2a,由已知易得|F1F2|=3|PF2|,2c=23a,c2=3a2=a2+b2,2a2=b2,a>0,b>0,ba=2,故所求雙曲線的漸近線方程為y=±2x.9.解析(1)e=2,可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=(0).雙曲線過點(4,-10),16-10=,即=6,雙曲線的方程為x2-y2=6.(2)證法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0),kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1·kMF2=m29-12=-m23.點M(3,m)在雙曲線上,9-m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=-1,MF1MF2,即·=0.證法二:由證法一知=(-3-23,-m),=(23-3,-m),·=(3+23)×(3-23)+m2=-3+m2,點M在雙曲線上,9-m2=6,即m2-3=0,·=0.10.解析(1)因為雙曲線E的漸近線方程分別為y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a,從而雙曲線E的離心率e=ca=5.(2)由(1)知,雙曲線E的方程為x2a2-y24a2=1.設(shè)直線l與x軸相交于點C.當(dāng)lx軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點,則|OC|=a,|AB|=4a,又因為OAB的面積為8,所以12|OC|·|AB|=8,因此12a·4a=8,解得a=2,此時雙曲線E的方程為x24-y216=1.B組提升題組11.CF1(-6,0),F2(6,0),不妨設(shè)l的方程為y=2x,則可設(shè)P(x0,2x0),由·=(-6-x0,-2x0)·(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=±2,故P到x軸的距離為2|x0|=2,故選C.12.B由題意可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1)=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)·(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-32|C1C2|-3=13,故選B.13.答案2解析由OA、OC所在的直線為漸近線,且OAOC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對角線,且點B是雙曲線的焦點,則c=22,根據(jù)c2=2a2可得a=2.14.答案-2解析由已知可得A1(-1,0),F2(2,0),設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)(x1),則·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=x2-x-2+y2,因為x2-y23=1,所以·=4x2-x-5,當(dāng)x=1時,·有最小值-2.15.解析(1)設(shè)雙曲線C2的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故雙曲線C2的方程為x23-y2=1.(2)將y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點,得k2<1且k213.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=62k1-3k2,x1x2=-91-3k2.·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+2=3k2+73k2-1.又·>2,3k2+73k2-1>2,即-3k2+93k2-1>0,解得13<k2<3.由得13<k2<1,故k的取值范圍為-1,-3333,1.16.解析(1)由題意知a=23,一條漸近線方程為y=b23x,即bx-23y=0,|bc|b2+12=3,b2=3,雙曲線的方程為x212-y23=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),+=t,x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,將直線方程代入雙曲線方程得x2-163x+84=0,則x1+x2=163,y1+y2=12,點D在雙曲線的右支上,x0y0=433,x0212-y023=1,x0>0,解得x0=43,y0=3,t=4,點D的坐標(biāo)為(43,3).