第五十六課時(shí) 曲線與方程課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.理解坐標(biāo)法研究解析幾何問(wèn)題的基本思想，會(huì)根據(jù)條件求曲線的軌跡方程.2.掌握常用的幾種求軌跡方程的方法基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y)0之間具有如下關(guān)系：(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是 (2)以方程F(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都 那么這個(gè)方程叫做 ，這條曲線叫做 2 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟(1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)(3)列式列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式(4)代換依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)(5)證明證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程3 兩曲線的交點(diǎn)(1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn)(2)兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解可見(jiàn)，求曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問(wèn)題4.求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)0；(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)；(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程預(yù)習(xí)自測(cè)1 已知點(diǎn)A(2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·x26，則點(diǎn)P的軌跡方程是_2 已知兩定點(diǎn)A(2,0)、B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為_(kāi)3 方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()A兩條直線 B兩條射線C兩條線段 D一條直線和一條射線4 已知點(diǎn)P是直線2xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy505 若點(diǎn)P到直線x1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線第五十六課時(shí) 曲線與方程（課堂探究案）典型例題考點(diǎn)1 直接法求軌跡方程【典例1】已知M(4,0)，N(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足·6|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求Q到直線l：x2y120的距離的最小值【變式1】 如圖所示，過(guò)點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)2 定義法求軌跡方程【典例2】已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線【變式2】如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓C：(x1)2y24a2 (a>1)，A(1,0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)證明曲線E是橢圓，并寫(xiě)出當(dāng)a2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍考點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程【典例3】設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程【變式3】已知長(zhǎng)為1的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的軌跡C的方程當(dāng)堂檢測(cè)1 方程(x2y24)0的曲線形狀是()2 ABC的頂點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A.1 B.1C.1 (x>3) D.1 (x>4)3 平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(1,3)，若點(diǎn)C滿足12(O為原點(diǎn))，其中1，2R，且121，則點(diǎn)C的軌跡是()A直線 B橢圓 C圓 D雙曲線4 動(dòng)點(diǎn)P為橢圓1 (a>b>0)上異于橢圓頂點(diǎn)(±a,0)的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)圓C與線段F1P、F1F2的延長(zhǎng)線及線段PF2相切，則圓心C的軌跡為()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D直線第五十六課時(shí) 曲線與方程課后拓展案 A組全員必做題1 已知點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為()Ax21 (x>1) Bx21 (x<1)Cx21 (x>0) Dx21 (x>1)2 有一動(dòng)圓P恒過(guò)定點(diǎn)F(a,0) (a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A、B，若ABP為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D圓3 點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線4 P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_5 已知M(2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_B組提高選做題1 過(guò)橢圓1 (a>b>0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是_2 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在AB上，且AMAB，點(diǎn)P在平面ABCD上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平方與P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_3已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y2x4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的軌跡方程4如圖，設(shè)P是圓x2y225上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|PD|.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度參考答案預(yù)習(xí)自測(cè)1【答案】y2x【解析】(3x，y)，(2x，y)，·(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.2【答案】4【解析】設(shè)P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓即軌跡所包圍的面積等于4.3【答案】D【解析】原方程可化為或10，即2x3y10 (x3)或x4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線4【答案】D【解析】由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.5【答案】D【解析】依題意，點(diǎn)P到直線x2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線.典型例題【典例1】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則(x4，y)，(3,0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化簡(jiǎn)得3x24y212，即1.點(diǎn)P的軌跡是橢圓C：1.(2)由幾何性質(zhì)意義知，l與平行于l的橢圓C的切線l的距離等于Q與l的距離的最小值設(shè)l：x2yD0.將其代入橢圓方程消去x，化簡(jiǎn)得：16y212Dy3(D24)0.144D2192(D24)0D±4，l和l的距離的最小值為.點(diǎn)Q與l的距離的最小值為.【變式1】 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，M是線段AB的中點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知·0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x2y50.【典例2】如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|r1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)M的軌跡方程為1 (x)【變式2】(1)證明依題意，直線m為線段AM的垂直平分線，|NA|NM|.|NC|NA|NC|NM|CM|2a>2，N的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2的橢圓當(dāng)a2時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a4，焦距為2c2，b2a2c23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)解設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>0)由(1)知：a2b21.又C(1,0)，B(0，b)，直線l的方程為1.即bxyb0.設(shè)Q(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)Q與點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線l對(duì)稱，消去x得y.離心率e，e2，即.a24.b214，即b，y2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)取等號(hào)又當(dāng)b時(shí)，y；當(dāng)b時(shí)，y，y2.點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，2【典例3】設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)·(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即.x0，即y24x.故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y24x.【變式3】設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因?yàn)閨AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡(jiǎn)得y21.點(diǎn)P的軌跡方程為y21.當(dāng)堂檢測(cè)1 【答案】C【解析】由題意可得xy10或它表示直線xy10和圓x2y240在直線xy10右上方的部分2【答案】C【解析】如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為1 (x>3)3 【答案】A【解析】設(shè)C(x，y)，則(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一條直線4 【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為M、N、Q.|PF1|PF2|PF1|PM|F2N|F1N|F2N|F1F2|2|F2N|2a，|F2N|ac，N點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，CNx軸，圓心C的軌跡為直線 A組全員必做題1【答案】A【解析】設(shè)另兩個(gè)切點(diǎn)為E、F，如圖所示，則|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|.從而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|422<|MN|，所以P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支a1，c3，b28.故方程為x21 (x>1)2【答案】B【解析】設(shè)P(x，y)，動(dòng)圓P的半徑為R，由于ABP為正三角形，P到y(tǒng)軸的距離dR，即|x|R.而R|PF|，|x|·.整理得：(x3a)23y212a2，即1.點(diǎn)P的軌跡為雙曲線3【答案】A【解析】如圖，延長(zhǎng)F2M交F1P延長(zhǎng)線于N.|PF2|PN|，|F1N|2a.連接OM，則在NF1F2中，OM為中位線，則|OM|F1N|a.M的軌跡是圓4 【答案】1【解析】由，又22，設(shè)Q(x，y)，則(x，y)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.5【答案】x2y24 (x±2)【解析】設(shè)P(x，y)，因?yàn)镸PN為直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.M，N，P不共線，x±2，軌跡方程為x2y24 (x±2)B組提高選做題1 【答案】1【解析】設(shè)MN的中點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)M(x,2y)在橢圓上，1，即1.2【答案】y2x【解析】過(guò)P作PQAD于Q，再過(guò)Q作QHA1D1于H，連接PH、PM，可證PHA1D1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211，化簡(jiǎn)得y2x.3解，R，A，P三點(diǎn)共線，且A為RP的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，則由，得(1x1，y1)(x1，y)，則，即x12x，y1y，將其代入直線y2x4中，得y2x，點(diǎn)P的軌跡方程為y2x.4解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由已知得P在圓上，x2(y)225，即軌跡C的方程為1.(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.線段AB的長(zhǎng)度為|AB|.