活頁作業(yè)(九)一般形式的柯西不等式一、選擇題1已知x，y，z均大于0，且xyz1，則的最小值為()A24B30C36D48解析：(xyz)236，36，當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立答案：C2設(shè)實數(shù)a，b，c，d，e滿足abcde8，且a2b2c2d2e216，則e的最大值是()ABC5 D16解析：由已知，得abcd8e，a2b2c2d216e2.所以(8e)2(abcd)2(a2b2c2d2)(12121212)4(16e2)，當(dāng)且僅當(dāng)abcd2或時等號成立化簡，得5e216e0，即0e.所以emax.答案：A3設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則的值為()ABCD解析：由題意，可得x2y2z22ax2by2cz.上式與a2b2c210相加，可得(xa)2(yb)2(zc)210.不妨令則xyz2(abc)，即.答案：C4設(shè)a1，a2，an為正實數(shù)，P，Q，則P，Q之間的大小關(guān)系為()AP>Q BPQCP<Q DPQ解析：(a1a2an)(111n 個)2n2，即PQ.答案：B二、填空題5設(shè)a，b，c為正實數(shù)，ab4c21，則c的最大值為_.解析：a，b，c(0，)，(ab4c2)()2()2(2c)2(c)2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號(c)21，即c.答案：6已知x2y2z214，則|x2y3z|的最大值是_.解析：(x2y3z)2(122232)(x2y2z2)14(x2y2z2)142，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，|x2y3z|14.答案：14三、解答題7已知實數(shù)x，y，z滿足x2yz1，求x24y2z2的最小值解：由柯西不等式，得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2，當(dāng)且僅當(dāng) x2yz，即x，y，z時等號成立故x24y2z2的最小值為.8已知a1，a2，an是平面凸n邊形的內(nèi)角的弧度數(shù)，求證：.證明：由凸多邊形的內(nèi)角和定理，得a1a2an(n2)，(a1a2an)(111n個1)2n2.，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時取等號一、選擇題1已知a，b，c為正數(shù)，則有()A最大值9 B最小值9C最大值3 D最小值3解析：29.答案：B2設(shè)非負實數(shù)a1，a2，an滿足a1a2an1，則yn的最小值為()A BC D解析：因為(2a1)(2a2)(2an)2n(a1a2an)2n1，所以(2n1)(2a1)(2a2)(2an)2n2.所以yn，即yn，等號當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時成立從而y有最小值.答案：A三、填空題3設(shè)a，b，c(0，)，且abc1，則222的最小值是_.解析：原式(121212)2222(132)2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號答案：4邊長為a，b，c的三角形，其面積為，外接圓半徑為1，若s，t，則s與t的大小關(guān)系是_.解析：S，即abc1，所以tabbcca，則t2(abbcca)()2s2，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時等號成立因為a>0，b>0，c>0，所以st.答案：st三、解答題5已知ABC的三邊長為a，b，c，其外接圓半徑為R.求證： (a2b2c2)36R2.證明：由正弦定理，得sin A.所以.同理，.由柯西不等式，可得左邊(a2b2c2)236R2.原不等式得證6設(shè)x，y，zR，且1.求xyz的最大值和最小值解：根據(jù)柯西不等式，知42()2222，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y1，z或x，y3，z時等號成立251(xyz2)2，即|xyz2|5.3xyz7.故xyz的最大值為7，最小值為3.