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1、新編高考數學復習資料 第8講 曲線與方程 一、選擇題 1．已知兩定點A(1,1)，B(－1，－1)，動點P滿足·＝，則點P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析 設點P(x，y)，則＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)， 所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2. 由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以點P的軌跡為橢圓． 答案　B 2．已知點F，直線l：x＝－，點B是l上

2、的動點．若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　)． A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 解析　由已知：|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，故選D. 答案　D 3．設圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為 (　　)． A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析　M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|＝|MQ|，∴|M

3、C|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡為橢圓，∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標準方程為＋＝1. 答案　D 4．已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是(　　)． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析　由題意知，M為PQ中點，設Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 答案　D 5．已知二面角α－l－β的平面角為θ，點P在二面角內，PA

4、⊥α，PB⊥β，A，B為垂足，且PA＝4，PB＝5，設A，B到棱l的距離分別為x，y，當θ變化時，點(x，y)的軌跡方程是(　　) A．x2－y2＝9(x≥0) B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0) C．y2－x2＝9(y≥0) D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0) 解析 實際上就是求x，y所滿足的一個等式，設平面PAB與二面角的棱的交點是C，則AC＝x，BC＝y，在兩個直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜邊相等，根據勾股定理即可得到x，y所滿足的關系式．如圖，x2＋42＝y2＋52， 即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)． 答案　B 6．在平行四邊形ABCD中，∠B

5、AD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD內一點，且滿足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．則當點P在以A為圓心，||為半徑的圓上時，實數x，y應滿足關系式為 (　　)． A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1 解析　如圖，以A為原點建立平面直角坐標系，設AD＝2.據題意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐標分別為(1,0)、(1，)，∴＝(1,0)，＝(1，)．設點P的坐標為(m，n)，即＝(m，n)，則由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，∴ 據題意，m2＋n2＝1，∴x2＋4

6、y2＋2xy＝1. 答案　D 二、填空題 7．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過點A(－1,0)、B(1,0)且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程是____________． 解析 設拋物線焦點為F，過A、B、O作準線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F點的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點)． 答案 ＋＝1(y≠0) 8. 如圖，點F(a,0)(a>0)，點P在y軸上運動，M在x軸上運動，N為動點，且·＝0，＋＝0，則點N的

7、軌跡方程為________． 解析　由題意，知PM⊥PF且P為線段MN的中點，連接FN，延長FP至點Q使P恰為QF之中點；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點Q恒在直線l：x＝－a上，故點N的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為：y2＝4ax. 答案　y2＝4ax 9．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點M在AB上，且AM＝AB，點P在平面ABCD上，且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1，在平面直角坐標系xAy中，動點P的軌跡方程是________． 解析　過P作PQ⊥AD于Q，再過Q作QH⊥A1D1于H，連接PH、P

8、M，可證PH⊥A1D1，設P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化簡得y2＝x－. 答案　y2＝x－ 10. 曲線C是平面內與兩個定點F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數a2(a>1)的點的軌跡，給出下列三個結論： ①曲線C過坐標原點； ②曲線C關于坐標原點對稱； ③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結論的序號是________． 解析 ①曲線C經過原點，這點不難驗證是錯誤的，如果經過原點，那么a＝1，與條件不符；②曲線C關于原點對稱，這點顯然正確，如果在某點處|PF1||PF2|＝a2，關于原點的對稱點處也

9、一定符合|PF1||PF2|＝a2；③三角形的面積S△F1F2P2≤，很顯然 S△F1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正確． 答案 ②③ 三、解答題 11.如圖，已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且· ＝·.求動點P的軌跡C的方程． 解 法一：設點P(x，y)，則Q(－1，y)， 由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1， y)·(－2，y)，化簡得C：y2＝4x. 法二：由·＝·， 得·(＋)＝0，∴(－)·(＋)＝0， ∴2－2＝0.∴||＝||. ∴點P的

10、軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為y2＝4x. 12．設橢圓方程為x2＋＝1，過點M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點，點P滿足＝(＋)，點N的坐標為，當直線l繞點M旋轉時，求： (1)動點P的軌跡方程； (2)||的最大值，最小值． 解　(1)直線l過定點M(0,1)，當其斜率存在時設為k，則l的方程為y＝kx＋1. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標滿足方程組消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 則Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. P(x，y)是AB的中點， 則由 消去k得4x2＋y2

11、－y＝0. 當斜率k不存在時，AB的中點是坐標原點，也滿足這個方程，故P點的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0. (2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤ 而|NP|2＝2＋2＝2＋ ＝－32＋， ∴當x＝－時，||取得最大值， 當x＝時，||取得最小值. 13．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經過點A，且點F(0，－1)為其一個焦點． (1)求橢圓E的方程； (2)設隨圓E與y軸的兩個交點為A1，A2，不在y軸上的動點P在直線y＝b2上運動，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點M，N，證明：直線MN通過一個定點，且△FMN的周長為定值． 解　(1

12、)根據題意可得可解得 ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)為直線y＝4上一點(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PA1方程為y＝x＋2，直線PA2方程為y＝x－2，點M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標滿足方程組可得 點N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標滿足方程組可得由于橢圓關于y軸對稱，當動點P在直線y＝4上運動時，直線MN通過的定點必在y軸上，當x0＝1時，直線MN的方程為y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜測定點的坐標為(0,1)，并記這個定點為B.則直線BM的斜率kBM＝＝＝，直線BN的斜率kBN＝＝＝，

13、∴kBM＝kBN，即M，B，N三點共線，故直線MN通過一個定點B(0，1)， 又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點， ∴△FMN周長為|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，為定值． 14．已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)． (1)求點Q(x，y)的軌跡C的方程； (2)設曲線C與直線y＝kx＋m相交于不同的兩點M、N，又點A(0，－1)，當|AM|＝|AN|時，求實數m的取值范圍． 解　(1)由題意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(x＋)(x－)＋y·y

14、＝0. 化簡得＋y2＝1，∴Q點的軌跡C的方程為＋y2＝1. (2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直線與橢圓有兩個不同的交點， ∴Δ>0，即m2<3k2＋1. ① (i)當k≠0時，設弦MN的中點為P(xP，yP)，xM、xN分別為點M、N的橫坐標，則xP＝＝－， 從而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN. 則－＝－，即2m＝3k2＋1， ② 將②代入①得2m>m2，解得00，解得m>， 故所求的m的取值范圍是. (ii)當k＝0時，|AM|＝|AN|， ∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1