1 1專題能力訓(xùn)練3平面向量與復(fù)數(shù)能力突破訓(xùn)練1.(20xx全國,理3)設(shè)有下面四個命題p1:若復(fù)數(shù)z滿足1zR,則zR;p2:若復(fù)數(shù)z滿足z2R,則zR;p3:若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2R,則z1=z2;p4:若復(fù)數(shù)zR,則zR.其中的真命題為()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.設(shè)a,b是兩個非零向量,則下列結(jié)論一定成立的為()A.若|a+b|=|a|-|b|,則abB.若ab,則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實數(shù),使得b=aD.若存在實數(shù),使得b=a,則|a+b|=|a|-|b|3.若z=1+2i,則4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i4.在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點與5i1+2i的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,則z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.26.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=2-1+i的四個命題:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共軛復(fù)數(shù)為1+i,p4:z的虛部為-1,其中的真命題為()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p47.已知菱形ABCD的邊長為a,ABC=60°,則BD·CD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a28.已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n(tm+n),則實數(shù)t的值為()A.4B.-4C.94D.-949.(20xx浙江,10)如圖,已知平面四邊形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O,記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.(20xx全國,理13)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=. 11.(20xx天津,理13)在ABC中,A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且AD·AE=-4,則的值為. 12.設(shè)aR,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上,則a=. 13.(20xx浙江,12)已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=,ab=. 14.設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點,|AD|=12|AB|,|BE|=23|BC|.若DE=1AB+2AC(1,2為實數(shù)),則1+2的值為. 思維提升訓(xùn)練15.在ABC中,已知D是AB邊上一點,CD=13CA+CB,則實數(shù)=()A.-23B.-13C.13D.2316.已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若點P是ABC所在平面內(nèi)的一點,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,則PB·PC的最大值等于()A.13B.15C.19D.2117.已知兩點M(-3,0),N(3,0),點P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點,且|MN|·|MP|+MN·NP=0,則動點P(x,y)到點M(-3,0)的距離d的最小值為()A.2B.3C.4D.618.(20xx浙江,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是. 19.在任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點,若EF=AB+DC,則+=. 20.(20xx天津,理9)已知aR,i為虛數(shù)單位,若a-i2+i為實數(shù),則a的值為. 參考答案專題能力訓(xùn)練3平面向量與復(fù)數(shù)能力突破訓(xùn)練1.B解析p1:設(shè)z=a+bi(a,bR),則1z=1a+bi=a-bia2+b2R,所以b=0,所以zR.故p1正確;p2:因為i2=-1R,而z=iR,故p2不正確;p3:若z1=1,z2=2,則z1z2=2,滿足z1z2R,而它們實部不相等,不是共軛復(fù)數(shù),故p3不正確;p4:實數(shù)的虛部為0,它的共軛復(fù)數(shù)是它本身,也屬于實數(shù),故p4正確.2.C解析設(shè)向量a與b的夾角為.對于A,可得cos=-1,因此ab不成立;對于B,滿足ab時|a+b|=|a|-|b|不成立;對于C,可得cos=-1,因此成立,而D顯然不一定成立.3.C解析由題意知z=1-2i,則4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故選C.4.D解析5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=5(i+2)5=2+i所對應(yīng)的點為(2,1),它關(guān)于虛軸對稱的點為(-2,1),故z=-2+i.5.C解析2a+b=(1,0),又a=(1,-1),(2a+b)·a=1+0=1.6.C解析z=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,故|z|=2,p1錯誤;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正確;z的共軛復(fù)數(shù)為-1+i,p3錯誤;p4正確.7.D解析如圖,設(shè)BA=a,BC=b.則BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+12a2=32a2.8.B解析由4|m|=3|n|,可設(shè)|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故選B.9.C解析由題圖可得OA<12AC<OC,OB<12BD<OD,AOB=COD>90°,BOC<90°,所以I2=OB·OC>0,I1=OA·OB<0,I3=OC·OD<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故選C.10.23解析因為|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12,所以|a+2b|=12=23.11.311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4,AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23AB·AC=-4,23×4-13×9+3-23×3=-4,即113-5=-4,解得=311.12.-1解析(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR,a+1=0,即a=-1.13.52解析由題意可得a2-b2+2abi=3+4i,則a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,則a2+b2=5,ab=2.14.12解析由題意DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=-16AB+23AC,故1=-16,2=23,即1+2=12.思維提升訓(xùn)練15.D解析如圖,D是AB邊上一點,過點D作DEBC,交AC于點E,過點D作DFAC,交BC于點F,則CD=CE+CF.因為CD=13CA+CB,所以CE=13CA,CF=CB.由ADEABC,得DEBC=AEAC=23,所以ED=CF=23CB,故=23.16.A解析以點A為原點,AB,AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,0),B1t,0,C(0,t),AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),點P的坐標(biāo)為(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17-4+17=13.當(dāng)且僅當(dāng)1t=4t,即t=12時取“=”,PB·PC的最大值為13.17.B解析因為M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y),NP=(x-3,y).由|MN|·|MP|+MN·NP=0,得6(x+3)2+y2+6(x-3)=0,化簡得y2=-12x,所以點M是拋物線y2=-12x的焦點,所以點P到M的距離的最小值就是原點到M(-3,0)的距離,所以dmin=3.18.425解析設(shè)向量a,b的夾角為,由余弦定理得|a-b|=12+22-2×1×2×cos=5-4cos,|a+b|=12+22-2×1×2×cos(-)=5+4cos,則|a+b|+|a-b|=5+4cos+5-4cos.令y=5+4cos+5-4cos,則y2=10+225-16cos216,20,據(jù)此可得(|a+b|+|a-b|)max=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.19.1解析如圖,因為E,F分別是AD與BC的中點,所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因為AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.同理EF=ED+DC+CF.由+得,2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC).所以=12,=12.所以+=1.20.-2解析a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i為實數(shù),-a+25=0,即a=-2.