新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第第 2 2 講講概率概率一、選擇題1(2016天津卷)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，甲獲勝的概率是13，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.56B.25C.16D.13解析：設(shè)“兩人下成和棋”為事件A， “甲獲勝”為事件B.事件A與B是互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蔖P(AB)P(A)P(B)121356.答案：A2(2017天津卷)有 5 支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫從這 5 支彩筆中任取 2 支不同顏色的彩筆， 則取出的 2 支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.45B.35C.25D.15解析：從 5 支彩筆中任取 2 支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫、黃藍、黃綠、黃紫、藍綠、藍紫、綠紫，共 10 種，其中取出的 2 支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫，共 4 種所以所求概率P41025.答案：C3(2017榆林二模)若函數(shù)f(x)ex，0 x1，lnxe，1xe在區(qū)間0，e上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù) e 的概率是()A.1eB11eC.e1eD.11e解析：當(dāng) 0 x1 時，恒有f(x)exe，不滿足題意當(dāng) 1xe 時，f(x)lnxe.由 lnxee，得 1xe.所以所求事件的概率Pe1e11e.答案：B4(2016全國卷)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A.815B.18C.115D.130解析：小敏輸入密碼的所有可能情況如下：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共 15 種而能開機的密碼只有一種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率為115.答案：C5有一底面半徑為 1，高為 2 的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于 1 的概率為()A.13B.23C.34D.14解析：設(shè)點P到點O的距離小于等于 1 的概率為P1，由幾何概型，可知P1V半球V圓柱231312213.故點P到點O的距離大于 1 的概率P11323.答案：B二、填空題6(2017江蘇卷)記函數(shù)f(x) 6xx2的定義域為D.在區(qū)間4，5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_解析：由 6xx20，得2x3，即D2，3，所以所求事件的概率P3（2）5（4）59.答案：597(2017黃山二模)從集合A2，4中隨機抽取一個數(shù)記為a，從集合B1，3中隨機抽取一個數(shù)記為b，則f(x)12ax2bx1 在(，1上是減函數(shù)的概率為_解析：依題意，數(shù)對(a，b)所有取值為(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共 4 種情況記“f(x)在區(qū)間(，1上是減函數(shù)”為事件A.則A發(fā)生時，xba1，即ab，所以事件A發(fā)生時，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共 3 種情況，故所求事件的概率P(A)34.答案：348(2017福建莆田 3 月質(zhì)檢改編)從區(qū)間(0，1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長不大于 1 的概率是_解析：任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸)故所求概率P1412114.答案：4三、解答題9(2017山東卷)某旅游愛好者計劃從 3 個亞洲國家A1，A2，A3和 3 個歐洲國家B1，B2，B3中選擇 2 個國家去旅游(導(dǎo)學(xué)號 55410136)(1)若從這 6 個國家中任選 2 個，求這 2 個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選 1 個，求這 2 個國家包括A1但不包括B1的概率解： (1)由題意知， 從6個國家中任選兩個國家， 其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 15 個所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共 3 個則所求事件的概率為P31515.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共 9個包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共 2 個，則所求事件的概率為P29.10某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的 200 名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記A為事件“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；(2)記B為事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的 160%” ，求P(B)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值解：(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于 2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于 2 的頻率為60502000.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于 1 且小于 4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于 1 且小于 4 的頻率為30302000.3.故P(B)的估計值為 0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得：保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的 200 名續(xù)保人的平均保費為085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.15 1.75a0.102a0.051.192 5a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為 1.192 5a.11 (2017成都診斷檢測)某省 2017 年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85 分及以上，記為A等；分?jǐn)?shù)在70，85)內(nèi)，記為B等；分?jǐn)?shù)在60，70)內(nèi)，記為C等；60 分以下，記為D等同時認(rèn)定A，B，C等為合格，D等為不合格已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在50，100內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績， 分別抽取 50 名學(xué)生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計 按照50， 60)， 60，70)，70，80)，80，90)，90，100的分組作出甲校樣本的頻率分布直方圖如圖 1 所示，乙校的樣本中等級為C，D的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖 2 所示圖 1圖 2(1)求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲、乙兩校的合格率；(2)在乙校的樣本中，從成績等級為C，D的學(xué)生中隨機抽取 2 名學(xué)生進行調(diào)研，求抽出的 2 名學(xué)生中至少有 1 名學(xué)生成績等級為D的概率解：(1)由題意，可知 10 x0.012100.056100.018100.010101，所以x0.004，所以甲學(xué)校的合格率為(1100.004)100%0.96100%96%.所以乙學(xué)校的合格率為1250 100%0.96100%96%.所以甲、乙兩校的合格率均為 96%.(2)由題意，將乙校的樣本中成績等級為C，D的 6 名學(xué)生分別記為C1，C2，C3，C4，D1，D2，則隨機抽取 2 名學(xué)生的基本事件有C1，C2，C1，C3，C1，C4，C1，D1，C1，D2，C2，C3)，C2，C4，C2，D1，C2，D2，C3，C4，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共 15 個基本事件其中“至少有 1 名學(xué)生成績等級為D”包含C1，D1，C1，D2，C2，D1，C2，D2，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共 9 個基本事件所以抽取的 2 名學(xué)生中至少有 1 名學(xué)生成績等級為D的概率為P91535.典例(本小題滿分 12 分)(2016全國卷)某公司計劃購買 1 臺機器， 該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200 元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個 500 元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件， 為此搜集并整理了 100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：記x表示 1 臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示 1 臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)(1)若n19，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于 0.5，求n的最小值；(3)假設(shè)這 100 臺機器在購機的同時每臺都購買 19 個易損零件，或每臺都購買 20 個易損零件，分別計算這 100 臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買 1 臺機器的同時應(yīng)購買 19 個還是 20 個易損零件？解：(1)當(dāng)x19 時，y3 800；當(dāng)x19 時，y3 800500(x19)500 x5 700，(2 分)所以y與x的函數(shù)解析式為y3 800，x19，500 x5 700，x19(xN)(3 分)(2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于 18 的頻率為 0.46，不大于 19 的頻率為 0.7，故n的最小值為 19.(5 分)(3)若每臺機器在購機同時都購買 19 個易損零件，則這 100 臺機器中有 70 臺在購買易損零件上的費用為 3 800，20 臺的費用為 4 300，10 臺的費用為 4 800，因此這 100 臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(3 800704 300204 80010)4 000.(8分)若每臺機器在購機同時都購買 20 個易損零件， 則這 100 臺機器中有 90 臺在購買易損零件上的費用為 4 000，10 臺的費用為 4 500，因此這 100 臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(4 000904 50010)4 050.(11 分)比較兩個平均數(shù)可知，購買 1 臺機器的同時應(yīng)購買 19 個易損零件(12 分)高考狀元滿分心得1正確閱讀理解，弄清題意：與概率統(tǒng)計有關(guān)的應(yīng)用問題經(jīng)常以實際生活為背景，且?？汲Ｐ拢鉀Q問題的關(guān)鍵是理解題意，弄清本質(zhì)，掌握知識間的聯(lián)系，本題第(1)問與函數(shù)問題相結(jié)合，求分段函數(shù)解析式，要注意分段求x19，x19 時的解析式2注意利用第(1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無法解決，如本題第(3)問在第(1)問的基礎(chǔ)上來正確理解題意，才能順利求解3計算要準(zhǔn)確，步驟要規(guī)范在第(3)問中，分別求出購買 19 個易損零件，20 個易損零件的相關(guān)費用及平均數(shù)，且結(jié)果正確，才能得分；通過比較，準(zhǔn)確下結(jié)論，否則會失去最后 1 分解題程序第一步：分別求出x19，x19 時的函數(shù)解析式第二步：寫出y與x的函數(shù)解析式第三步：通過柱狀圖求n的最小值第四步：求購買 19 個易損零件時，所需費用的平均數(shù)第五步：求購買 20 個易損零件時，所需費用的平均數(shù)第六步：作出判斷，反思檢驗，規(guī)范解題步驟跟蹤訓(xùn)練(2015安徽卷)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況， 隨機訪問 50 名職工，根據(jù)這 50 名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為40，50)，50，60)，80，90)，90，100(導(dǎo)學(xué)號 55410063)(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于 80 的概率；(3)從評分在40，60)的受訪職工中，隨機抽取 2 人，求此 2 人評分都在40，50)的概率解：(1)由頻率分布直方圖知(0.004a0.0180.02220.028)101，解得a0.006.(2)由頻率分布直方圖可知，評分不低于 80 分的頻率為(0.0220.018)100.4.所以可估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于 80 的概率為 0.4.(3)受訪職工中評分在50，60)的有：500.006103(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在40，50)的有：500.004102(人)，記為B1，B2.從這 5 名受訪職工中隨機抽取 2 人，所有可能的結(jié)果共有 10 種，記為A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因為所抽取 2 人的評分都在40，50)的結(jié)果有 1 種，即B1，B2故所求的概率為P110.