幾何概型一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( )A. 710 B. 58 C. 38 D. 310（正確答案）B 【分析】本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)求出一名行人前25秒來(lái)到該路口遇到紅燈，即可求出至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率【解答】解：紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，一名行人前25秒來(lái)到該路口遇到紅燈，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為2540=58故選B2. 在區(qū)間-1,4上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x，則x1的概率為( )A. 25 B. 35 C. 15 D. 23（正確答案）A解：在區(qū)間-1,4上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x，x1的概率P=1-(-1)4-(-1)=25，故選：A根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可本題主要考查概率的計(jì)算，根據(jù)幾何概型的概率公式轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度之比是解決本題的關(guān)鍵3. 已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3，若在區(qū)間-4,4上取一個(gè)隨機(jī)數(shù)x0，則f(x0)0的概率是 ( )A. 34 B. 58 C. 12 D. 38（正確答案）C令-x2+2x+3=0可得x=-1或x=3，則x0-4，-1或x03，4時(shí)，f(x0)0所求概率為38+18=124. 如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為，其余部分記為.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則( )A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3（正確答案）A解：如圖：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b，a2=b2+c2，S=124bc=2bc，S=12a2-2bc，S=12c2+12b2-S=12c2+12b2-12a2+2bc=2bc，S=S，P1=P2，故選：A如圖：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b，分別求出，所對(duì)應(yīng)的面積，即可得到答案本題考查了幾何概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是求出對(duì)應(yīng)的面積，屬于基礎(chǔ)題5. 如圖所示，在ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則PBC的面積不超過(guò)ABC面積一半的概率是( )A. 12B. 14C. 13D. 34（正確答案）D解：記事件A=PBC的面積不超過(guò)S2， 基本事件空間是三角形ABC的面積，(如圖) 事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積(DE是三角形的中位線)，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e是整個(gè)三角形面積的34，所以P(A)=34，故選：D 先分析題目求在面積為S的ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則PBC的面積不超過(guò)S2的概率，即可考慮畫(huà)圖求解的方法，然后根據(jù)圖形分析出基本的事件空間與事件的幾何度量是什么.再根據(jù)幾何關(guān)系求解出它們的比例即可本題主要考查了幾何概型.由這個(gè)題目可以看出，解決有關(guān)幾何概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是認(rèn)清基本事件空間是指面積還是長(zhǎng)度或體積，同學(xué)們需要注意6. 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，ABC=6，若在菱形內(nèi)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率為( )A. 4 B. 1-4 C. 8 D. 1-8（正確答案）D解：分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑的圓，則所以概率對(duì)應(yīng)的面積為陰影部分，則四個(gè)圓在菱形內(nèi)的扇形夾角之和為2，則對(duì)應(yīng)的四個(gè)扇形之和的面積為一個(gè)整圓的面積S=12=，S菱形ABCD=ABBCsin6=4412=8，S陰影=S菱形ABCD-S空白=8-12=8-因此，該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率P=S陰影S菱形=8-8=1-8，故選：D根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積進(jìn)行求解即可本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)對(duì)應(yīng)分別求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵7. 甲、乙兩位同學(xué)約定周日早上8：00-8：30在學(xué)校門口見(jiàn)面，已知他們到達(dá)學(xué)校的時(shí)間是隨機(jī)的，則甲要等乙至少10分鐘才能見(jiàn)面的概率為( )A. 23 B. 13 C. 29 D. 79（正確答案）C解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是=(x,y)|0x30，0y30 事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是s=900，滿足條件的事件是A=(x,y)|0x30，0y30，y-x10，事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是122020=200，根據(jù)幾何概型概率公式得到P=29故選C由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是=(x,y)|0x30，0y30，做出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，寫(xiě)出滿足條件的事件是A=(x,y)|0x30，0y30，y-x10，算出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果本題是一個(gè)幾何概型，對(duì)于這樣的問(wèn)題，一般要通過(guò)把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域求出，根據(jù)集合對(duì)應(yīng)的圖形面積，用面積的比值得到結(jié)果8. 在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，若事件“3x-m<0”發(fā)生的概率為16，則實(shí)數(shù)m=( )A. 1 B. 12 C. 13 D. 16（正確答案）A解：解不等式3x-m<0，可得x<m3，以長(zhǎng)度為測(cè)度，則區(qū)間長(zhǎng)度為m3，又在區(qū)間0,2上，區(qū)間長(zhǎng)度為2，在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，若事件“3x-m<0”發(fā)生的概率為16，可得：m32=16，則m=1故選：A解不等式3x-m<0，可得x<m3，以長(zhǎng)度為測(cè)度，即可求在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x，通過(guò)概率，列出方程即可得到的參數(shù)m本題考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是：解不等式，確定其測(cè)度，概率的求法9. 在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“-1log12(x+12)1”發(fā)生的概率為( )A. 34 B. 23 C. 13 D. 14（正確答案）A解：利用幾何概型，其測(cè)度為線段的長(zhǎng)度-1log12(x+12)112x+122解得0x32，0x2，所求的概率為：P=322=34故選：A先解已知不等式，再利用解得的區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間0,2的長(zhǎng)度求比值即可得本題主要考查了幾何概型，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型10. 已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-b，若a，b都是從0,4上任取的一個(gè)數(shù)，則滿足f(1)>0時(shí)的概率( )A. 132 B. 932 C. 3132 D. 2332（正確答案）B【分析】本題主要考查幾何概型.如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型.古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè).本題利用幾何概型求解即可.在a-o-b坐標(biāo)系中，畫(huà)出f(1)>0對(duì)應(yīng)的區(qū)域，和a、b都是在區(qū)間0,4內(nèi)表示的區(qū)域，計(jì)算它們的比值即得【解答】解：f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1，如圖，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC=92，P=9244=932，故選B11. 如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線成軸對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )A. 14B. 12C. 8D. 4（正確答案）C解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則正方形面積為4，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分的面積S=1212=2在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是P=24=8故選：C設(shè)出正方形邊長(zhǎng)，求出正方形面積，再求出正方形內(nèi)切圓中的黑色部分的面積，由面積比得答案本題考查幾何概型，關(guān)鍵是明確測(cè)度比為面積比，是基礎(chǔ)題12. 在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 16（正確答案）D解：由幾何概型可知，事件“3x-1<0”可得x<13，在區(qū)間0,2上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為：P(3x-1<0)=132=16故選：D利用幾何概型求概率.先解不等式，再利用解得的區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間0,2的長(zhǎng)度求比值即得本題主要考查了幾何概型，簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)=x2，若在矩形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_ （正確答案）512解：由已知，矩形的面積為4(2-1)=4，陰影部分的面積為12(4-x2)dx=(4x-13x3)|12=53，由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于512；故答案為：512分別求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式，解答本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的運(yùn)用；關(guān)鍵是求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式解答14. 設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域x-y+100x1y0內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，則滿足a2+b21的概率是_（正確答案）6解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即B(1,2)，A(1,0)，C(0,1)，則四邊形OABC的面積S=1+221=32，則第一象限內(nèi)對(duì)應(yīng)a2+b21的面積為14，根據(jù)幾何概型的概率公式可得滿足a2+b21的概率是432=6，故答案為：6作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積是解決本題的關(guān)鍵15. 已知|x|2，|y|2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，當(dāng)x，yR時(shí)，點(diǎn)P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率為_(kāi)（正確答案）16解：如圖，點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD及其內(nèi)部 滿足(x-2)2+(y-2)24的點(diǎn)位于的區(qū)域是以C(2,2)為圓心，半徑等于2的圓及其內(nèi)部P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率為P1=S扇形S正方形=142244=16故答案為：16根據(jù)題意，滿足|x|2且|y|2的點(diǎn)P在如圖的正方形ABCD及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，而滿足(x-2)2+(y-2)24的點(diǎn)P在以C為圓心且半徑為2的圓及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).因此，所求概率等于圓C與正方形ABCD重疊部分扇形面積與正方形ABCD的面積之比，根據(jù)扇形面積和正方形面積計(jì)算公式，即可求出本題的概率本題給出點(diǎn)P滿足的條件，求點(diǎn)P到點(diǎn)C(2,2)距離小于或等于2的概率.著重考查了正方形、扇形面積計(jì)算公式和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題16. 已知水池的長(zhǎng)為30m，寬為20m，一海豚在水池中自由游戲，則海豚嘴尖離池邊超過(guò)4m的概率為_(kāi)（正確答案）1125【分析】本題考查幾何概型，明確測(cè)度，正確求解面積是關(guān)鍵.測(cè)度為面積，找出點(diǎn)離岸邊不超過(guò)4m的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，并將其和長(zhǎng)方形面積一齊代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解【解答】解：如圖所示：長(zhǎng)方形面積為2030，小長(zhǎng)方形面積為2212，陰影部分的面積為2030-2212，海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率為P=1-22122030=1125故答案為1125三、解答題（本大題共3小題，共40分）17. 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0(1)若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率（正確答案）解：設(shè)事件A為“方程有實(shí)根”當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為ab (1)由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件共12個(gè)：(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2) 其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P=912=34 (2)由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a,b)|0a3，0b2 滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?a,b)|0a3，0b2，ab 所求的概率是32-122232=23首先分析一元二次方程有實(shí)根的條件，得到ab (1)本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件可以通過(guò)列舉得到結(jié)果數(shù)，滿足條件的事件在前面列舉的基礎(chǔ)上得到結(jié)果數(shù)，求得概率(2)本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a,b)|0a3，0b2，滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?a,b)|0a3，0b2，ab，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率本題考查古典概型及其概率公式，考查幾何概型及其概率公式，本題把兩種概率放在一個(gè)題目中進(jìn)行對(duì)比，得到兩種概率的共同之處和不同點(diǎn)18. 如圖，扇形AOB的圓心角為90，點(diǎn)P在弦AB上，且OP=2AP，延長(zhǎng)OP交弧AB于點(diǎn)C，現(xiàn)向該扇形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形AOC內(nèi)的概率為_(kāi)（正確答案）13解：設(shè)AP=x，OP=2x，由正弦定理可求得， sinAOP=APsinOAPOP=2222=12，所以POA=30，所以扇形AOC的面積為1314OA2，扇形AOB的面積為14OA2，從而所求概率為1314OA214OA2=13故答案為：13求出扇形AOC的面積，扇形AOB的面積，從而得到所求概率本題主要考查幾何概型，正確求出扇形的面積是關(guān)鍵19. 某市小型機(jī)動(dòng)車駕照“科二”考試中共有5項(xiàng)考查項(xiàng)目，分別記作，項(xiàng)目學(xué)員編號(hào)(1)TTT(2)TTT(3)TTTT(4)TTT(5)TTTT(6)TTT(7)TTTT(8)TTTTT(9)TTT(10)TTTTT 注“T”表示合格，空白表示不合格(1)某教練將所帶10名學(xué)員的“科二”模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(如表所示)，并打算從恰有2項(xiàng)成績(jī)不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補(bǔ)測(cè)(只測(cè)不合格的項(xiàng)目)，求補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類不超過(guò)3項(xiàng)的概率；(2)如圖，某次模擬演練中，教練要求學(xué)員甲倒車并轉(zhuǎn)向90，在汽車邊緣不壓射線AC與射線BD的前提下，將汽車駛?cè)胫付ǖ耐＼囄?根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)員甲轉(zhuǎn)向90后可使車尾邊緣完全落在線段CD上，且位于CD內(nèi)各處的機(jī)會(huì)相等.若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽車寬度為1.8m，求學(xué)員甲能按教練要求完成任務(wù)的概率（正確答案）解：(1)由題意得共有5名學(xué)員(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2兩項(xiàng)成績(jī)不合格，從中任意抽取2人進(jìn)行補(bǔ)測(cè)，共有10種情況：學(xué)員編號(hào)補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)(1)(2)3(1)(4)4(1)(6)3(1)(9)3(2)(4)3(2)(6)4(2)(9)3(4)(6)3(4)(9)4(6)(9)4由表格可知全部的10種情況中有6種情況補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目不超過(guò)3項(xiàng)，補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目不超過(guò)3項(xiàng)的概率為P=610=35；(2)在線段CD上取兩點(diǎn)B，D，使得BB=DD=1.8m，記汽車尾部左端點(diǎn)為M，則當(dāng)M位于線段AB上時(shí)，學(xué)員可按教練要求完成任務(wù)學(xué)員甲能按要求完成任務(wù)的概率為(1)利用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值；(2)利用幾何概型的概率公式，計(jì)算所求的概率值本題考查了列舉法求古典概型的概率和幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是中檔題