新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第二節(jié)　空間幾何體的表面積和體積 [全盤鞏固] 1．設(shè)一個球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：選D　設(shè)球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則易知R2＝a2，即a＝R，則＝＝. 2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C. D．1 解析：選B　根據(jù)該三視圖可知，該幾何體是三棱錐，V＝××2＝. 3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為(　　) A．24－ B．24－ C．24－π D．24－ 解析：選A　據(jù)三視圖可得該幾何體為一長方體內(nèi)挖去一個半圓柱，其中長方體的棱長分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長為3，故其體積V＝2×3×4－×π×12×3＝24－. 4．某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積為(　　) A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2 解析：選C　該幾何體的上下部分為長方體，中間部分為圓柱．S表面積＝S下長方體＋S上長方體＋S圓柱側(cè)－2S圓柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π××1－2×π2＝94＋. 5．一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是(　　) A．96 B．16 C．24 D．48 解析： 選D　如圖設(shè)球的半徑R， 由πR3＝π，得R＝2. ∴正三棱柱的高h＝4. 設(shè)其底面邊長為a，則·a＝2， ∴a＝4. ∴V＝×(4)2×4＝48. 6．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)(單位：cm)，可知此幾何體的表面積是(　　) A．24 cm2 B. cm2 C．(6＋2＋2)cm2 D．(24＋8＋8)cm2 解析： 選D　如圖所示，依題意可知四棱錐P­ABCD是此幾何體的直觀圖，在四棱錐P ­ ABCD中，平面PAB與底面ABCD垂直，底面ABCD是正方形，△PAD≌△PBC，△PAB是等腰三角形，設(shè)M是AB的中點，N是CD的中點，連接PM、PN、MN，由題知PM＝AB＝4，MN＝4，則PN＝4，故此幾何體的表面積為S＝S正方形ABCD＋S△PAB＋2S△PBC＋S△PCD＝4×4＋×4×4＋2××4×2＋×4×4＝(24＋8＋8)cm2. 7．(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________． 解析：如圖所示，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因為AH∶HB＝1∶2，所以O(shè)H＝R. 由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由題意得πr2＝π， 則r＝1，故R2＝1＋2，即R2＝. 由球的表面積公式，得S＝4πR2＝. 答案： 8．(2014·杭州模擬)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為____________． 解析：據(jù)三視圖可知該幾何體為四棱錐，其中底面為正方形，對角線長為10，四棱錐的高為5，故側(cè)面高為h′＝＝，因此表面積S＝×4×5×＋×10×10＝50(1＋)． 答案：50(1＋) 9．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中的長度單位為cm，則該幾何體的體積為________cm3. 解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底為4 cm，下底為5 cm，高為3 cm，四棱柱的高為4 cm，所以該幾何體的體積為×3×4＝54 cm3. 答案：54 10.如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點，求四棱錐C1­B1EDF的體積． 解：連接EF，B1D. 設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝a. 由題意得， VC1­B1EDF＝VB1­C1EF＋VD­C1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝a3. 11．一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的表面積S.[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 解： (1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為. 所以V＝1×1×＝. (2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形， 所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2. 12.如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.記CD＝x，V(x)表示四棱錐F­ABCD的體積．[來源:] (1)求V(x)的表達式． (2)求V(x)的最大值． 解：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD且FA⊥AD， ∴FA⊥平面ABCD. ∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x， ∴FA＝2，BD＝(0<x<2)， S?ABCD＝CD·BD＝x， ∴V(x)＝S?ABCD·FA＝x(0<x<2)．[來源:] (2)V(x)＝x＝＝. ∵0<x<2，∴0<x2<4， ∴當(dāng)x2＝2，即x＝時，V(x)取得最大值，且V(x)max＝. [沖擊名校] 1．已知三棱錐S­ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由于三棱錐S­ABC與三棱錐O­ABC的底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S­ABC的高是三棱錐O­ABC高的2倍．所以三棱錐S­ABC的體積也是三棱錐O­ABC體積的2倍． 在三棱錐O­ABC中，其棱長都是1，如圖所示， S△ABC＝×AB2＝，高OD＝＝， 故VS­ABC＝2VO­ABC＝2×××＝. 2.如圖所示，動點P在正方體ABCD­A1B1C1D1的對角線BD1上．過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N兩點．設(shè)BP＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　) 解析：選B　顯然，只有當(dāng)P移動到中心O時，MN有唯一的最大值，排除選項A、C；P點移動時，取AA1的中點E，CC1的中點Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N兩點在菱形D1EBQ的邊界上運動，故x與y的關(guān)系應(yīng)該是線性的，排除選項D，選B. [高頻滾動] 1．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　)[來源:數(shù)理化網(wǎng)] [來源:] 解析：選C　側(cè)視圖是從圖形的左邊向右邊看，看到一個矩形的面，在面上有一條對角線，對角線是左下角與右上角的連線，故選C. 2．如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為正方形，PC與底面垂直．若該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，則該四棱錐中最長的棱的長度為(　　) A．1 B. C. D．2 解析：選C　在四棱錐P­ABCD中，連接AC，由正視圖和側(cè)視圖可得PC＝BC＝CD＝1，故AC＝，最長的棱為PA＝＝.