新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第十六節(jié)定積分及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，了解微積分基本定理的含義. 知識(shí)梳理一、連續(xù)曲線一般地，如果函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間I上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么我們就把它稱為區(qū)間I上的_二、以直代曲求曲邊梯形的面積的方法與步驟1分割：n等分區(qū)間a，b2近似代替：取點(diǎn)i.來源:3求和： 4. 取極限： 三、定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)曲線，用分點(diǎn)ax0<x1<x2<<xi1<xi<<xnb將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式_，當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的_，記作_，即 其中f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，b，a分別叫做積分上限和下限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，“”稱為積分號(hào)四、定積分abf(x)dx的實(shí)質(zhì)1當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上大于0時(shí)，abf(x)dx表示_，這也是定積分的幾何意義(如圖)來源:2當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上小于0時(shí)，abf(x)dx表示_(如圖)來源:3當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上有正有負(fù)時(shí)，abf(x)dx表示_(如圖)五、微積分基本定理(牛頓萊布尼茲公式)一般地，如果f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么ab(x)dx_，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式，可以把F(b)F(a)記作F(x)|，即abf(x)dx_.其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)六、基本的積分公式ab0dx C；abxmdx xm1C(mQ，m1)；ab dxlnC；abexdx exC；abaxdx C；abcos xdx sin xC；absin xdx cos xC(各式中的C均為常數(shù))七、定積分的性質(zhì)1.abkf(x)dx_(k為常數(shù))來源:2.abf(x)±g(x)dx_.3.abf(x)dx_(其中a<c<b)八、利用函數(shù)的奇偶性求定積分若f(x)是a，a上的奇函數(shù)，則-aaf(x)dx0；若f(x)是a，a上的偶函數(shù)，則-aaf(x)dx20af(x)dx.九、定積分的求法1定義法(用微分思想求曲邊梯形的面積：分割、近似代替、求和、取極限)2牛頓萊布尼茲公式法3幾何意義法：若yf(x)，x軸與直線xa，xb之間的各部分區(qū)域是可求面積的規(guī)則圖形，則可直接求其面積如求-11dx.4利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)十、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1定積分在幾何中的應(yīng)用：如圖，曲線yf(x)，yg(x)與直線xa，xb圍成的曲邊梯形面積Sabf(x)g(x)dx.2定積分在物理中的應(yīng)用：(1)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：運(yùn)動(dòng)速度為V(t)，則在ta到tb時(shí)間內(nèi)物體的位移為Sabv(t)dt；(2)變力作功：力F是位移s的函數(shù)，則在sa到sb位移內(nèi)力所做的功為WabF(s)ds.3定積分與其他知識(shí)的綜合 基礎(chǔ)自測(cè)1. 寫成定積分的形式，可記為()A.0 sin xdxB.01 sin xdxC.0 sin xdx D.0 dx答案：A2. 已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()來源:A. B. C. D. 解析：根據(jù)圖象可得：yf(x)x21，再由定積分的幾何意義，可求得面積為S-11(x21)dx-11.故選B.答案：B3 (2013·韶關(guān)三模)計(jì)算03(2x1)dx_.解析：由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則知當(dāng)F(x)x2x時(shí)，F(xiàn)(x)2x1，由定積分定義得(2x1)dxF(3)F(0)936.答案：64 (2013·湖南卷)若x2dx9 ，則常數(shù)T的值為_解析： x2dx 9，解得T3.答案：3來源:1(2013·江西卷)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()AS1 < S2 < S3BS2 < S1 < S3CS2 < S3 < S1DS3 < S2 < S1解析：利用定積分的幾何意義知B正確來源:答案：B2 (2012·山東卷)設(shè)a0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析：由已知得S0adxx0aaa2，所以a，所以a. 答案：1由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4 C. D6來源:解析：y與yx2以及y軸所圍成的圖形面積為如圖所示的陰影部分，聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)，故所求面積為S04(x2)dx.答案：C 2已知f(x)x2axa(a2，xR)，g(x)ex，(x)f(x)·g(x)(1)當(dāng)a1時(shí)，求(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求g(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x1及曲線g(x)所圍成的封閉圖形的面積S.解析：(1)當(dāng)a1時(shí)，(x)(x2x1)·ex，(x)ex(x2x)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，(1，)(2)切線的斜率為kg(0)ex|x01，切線方程為yx1.g(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線yx1與直線x1及曲線g(x)ex所圍成的封閉圖形如下圖所示故所求封閉圖形面積為S01ex(x1)dx01(exx1)dx|01.來源:答案：見解析來源: