新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料課時(shí)限時(shí)檢測(四十五)立體幾何中的向量方法(時(shí)間：60分鐘滿分：80分)命題報(bào)告考查知識(shí)點(diǎn)及角度題號(hào)及難度基礎(chǔ)中檔稍難利用空間向量解決平行、垂直問題1,36,10利用空間向量求線線角、線面角2,48,9利用空間向量求二面角5,7空間向量的綜合應(yīng)用11、12一、選擇題(每小題5分，共30分)1若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，有可能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】若l，則a·n0.而選項(xiàng)A中a·n2.選項(xiàng)B中a·n156.選項(xiàng)C中a·n1，選項(xiàng)D中a·n330，故選D.【答案】D2平面的一個(gè)法向量為n(1，0)則y軸與平面所成的角的大小為()A.B.C.D.【解析】y軸的方向向量為m(0,1,0)，設(shè)y軸與平面所成的角為，則sin |cosm，n|，cosm，n，sin ，.【答案】B3已知平面，的法向量分別為(2,3，5)，v(3，1，4)則()A BC、相交但不垂直 D以上都不正確【解析】，與v不是共線向量，又·v2×33×(1)(5)×4290，與v不垂直，平面與平面相交但不垂直【答案】C4在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，則直線AM與CN所成角的余弦值為()圖7711A. B.C. D.【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，.故·0×1×01×，|，|，cos ，即直線AM與CN所成角的余弦值為.故選A.【答案】A5二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150° B45° C60° D120°【解析】如圖所示，二面角的大小就是，22222(···)2222··(2)262428224.因此·24，cos，60°，故二面角為60°.【答案】C6如圖7712，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上且AM平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()圖7712A(1,1,1) B.C. D.【解析】M在EF上，設(shè)MEx，M，A(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)，(，0，1)，(0，1)，(x，x，1)設(shè)平面BDE的法向量n(a，b，c)，由得abc.故可取一個(gè)法向量n(1,1，)n·0，x1，M.【答案】C二、填空題(每小題5分，共15分)7在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_【解析】以A為原點(diǎn)建系，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)，設(shè)平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)，平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.【答案】8在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，(0,2,0)，設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，設(shè)D1C1與平面A1BC1所成角為，則sin |cos，n|，即直線D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為.【答案】9正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_【解析】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，則(2a,0,0)，(a，a,0)，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n，可取n(0,1,1)，則cos，n，n60°，直線BC與平面PAC所成的角為90°60°30°.【答案】30°三、解答題(本大題共3小題，共35分)10(10分)(2014·青島二中月考)圖7713四棱錐PABCD底面是平行四邊形，面PAB面ABCD，PAPBABAD，BAD60°，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)(1)求證：EF面PAB；(2)求證：EF面PBD；(3)求二面角DPAB的余弦值【解】(1)ABD中，AD2AB，BAD60°，由余弦定理得BD2AB2AD22AB×AD×cos 60°AD2AB2，所以BDAB，ABD90°.面PAB面ABCD，BDAB，DB面PAB.建系，z令A(yù)B2，A(2,0,0)，D(0,2，0)，P(1,0，)，C(2,2 ,0)(3,0，)(，0,1)因?yàn)槠矫鍼AB的法向量n2(0,1,0)，·n20，EF面PAB.(2)(0,2，0)，(1,0，)，·0，·0，EFBD，EFBP，EF面PBD.(3)設(shè)平面PAD的法向量為n1(x1，y1，z1)，(1,0，)，(2,2，0)，令x所以n1(，1,1)，平面PAB的法向量n2(0,1,0)，cosn1，n2，即二面角DPAB的余弦值為.11(12分)(2013·江蘇高考)圖7714如圖7714，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4). 因?yàn)閏os，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1,1,0)，(0,2,4)，所以n1·0，n1·0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.12(13分)如圖7715，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，PDQA，QAADPD.圖7715(1)求證：平面PQC平面DCQ；(2)若二面角QBPC的余弦值為.求的值【解】(1)證明法一設(shè)AD1，則DQ，DP2，又PDQA，PDQAQD45°，在DPQ中，由余弦定理可得PQ.DQ2PQ2DP2，PQDQ.又PD平面ABCD，PDDC.CDDA，DAPDD，CD平面ADPQ.PQ平面ADPQ，CDPQ，又CDDQD，PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.法二如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)AD1，ABm(m0)依題意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0,2,0)，Q(1,1,0)則(0,0，m)，(1,1,0)(1，1,0)，所以·0，·0，即PQDC，PQDQ.又DQDCD.所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依題意有B(1,0，m)，(1,0,0)，(1,2，m)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，則即因此可取n1(0，m,2)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，則即可取n2(m，m,1)又二面角QBPC的余弦值為，|cosn1，n2|.整理得m47m280.又m0，解得m1.因此，所求的值為1.