2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系【選題明細表】 知識點、方法題號空間中直線之間的位置關系1,3,5平行公理與等角定理4,8,13異面直線所成的角2,6,7,9,10,11,12基礎鞏固1.(2018陜西漢中期末)一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線,則它與另一條(C)(A)相交 (B)異面(C)相交或異面(D)平行解析:一條直線與兩條平行線中的一條異面,則它與另一條可能相交,也可能異面.故選C.2.在三棱錐P-ABC中,PC與AB所成的角為70,E,F,G分別為PA,PB, AC的中點,則FEG等于(D)(A)20(B)70(C)110(D)70或110解析:因為E,F,G分別為PA,PB,AC的中點,所以EFAB,EGPC,所以FEG或其補角為異面直線PC與AB所成的角,又AB與PC所成的角為70,所以FEG為70或110.3.已知異面直線a,b分別在平面,內,且=c,那么直線c一定(C)(A)與a,b都相交(B)只能與a,b中的一條相交(C)至少與a,b中的一條相交(D)與a,b都平行解析:如圖,a與b異面,但ac,故A錯;a與b異面,且都與c相交,故B錯;若ac,bc,則ab,與a,b異面矛盾,故D錯.4.(2018寧夏育才中學高二上期末)空間四邊形的兩條對角線相互垂直,順次連接四邊中點的四邊形一定是(B)(A)空間四邊形(B)矩形(C)菱形(D)正方形解析:如圖,E,F,G,H為空間四邊形ABCD各邊中點,則EF12AC,HG12AC.所以四邊形EFGH為平行四邊形.又FGBD,ACBD,所以EFFG,所以四邊形EFGH為矩形,故選B.5.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點,則下列敘述正確的是(C)(A)CC1與B1E是異面直線(B)C1C與AE共面(C)AE,B1C1是異面直線(D)AE與B1C1所成的角為60解析:由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內,故C1C與B1E是共面的,所以A錯誤;由于C1C在平面C1B1BC內,而AE與平面C1B1BC相交于E點,點E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線,B錯誤;同理AE與B1C1是異面直線,C正確;而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,E為BC中點,ABC為正三角形,所以AEBC,D錯誤.故選C.6.如圖所示,AB是圓O的直徑,點C是弧AB的中點,D,E分別是VB,VC的中點,則異面直線DE與AB所成的角為.解析:因為D,E分別是VB,VC的中點,所以BCDE,因此ABC是異面直線DE與AB所成的角,又因為AB是圓O的直徑,點C是弧AB的中點,所以ABC是以ACB為直角的等腰直角三角形,于是ABC=45,故異面直線DE與AB所成的角為45.答案:457.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AD,AA1的中點.(1)直線AB1和CC1所成的角為;(2)直線AB1和EF所成的角為.解析:(1)因為BB1CC1,所以AB1B即為異面直線AB1與CC1所成的角,AB1B=45.(2)連接B1C,易得EFB1C,所以AB1C即為直線AB1和EF所成的角.連接AC,則AB1C為正三角形,所以AB1C=60.答案:(1)45(2)608.(2018吉林四平月考)如圖所示,在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點.(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;(2)如果AC=BD,求證:四邊形EFGH是菱形.證明:(1)在ABD中,因為E,H分別為AB,AD的中點,所以EHBD且EH=12BD.同理在BCD中,FGBD且FG=12BD.所以EHFG且EH=FG,所以四邊形EFGH為平行四邊形.(2)同(1)可得,EF=HG=12AC,而BD=AC,所以EH=HG=GF=FE,所以四邊形EFGH是菱形.能力提升9.如圖所示,在正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H,I,J分別為AF,AD,BE,DE的中點,將ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后,HG與IJ所成角的度數為(B)(A)90(B)60(C)45(D)0解析:將三角形折成空間幾何體,如圖所示,HG與IJ是一對異面直線.因為IJAD,HGDF,所以DF與AD所成的角為HG與IJ所成的角,又ADF=60,所以HG與IJ所成的角為60.10.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結論:ABEF;AB與CM所成的角為60;EF與MN是異面直線;MNCD.以上結論中正確結論的序號為.解析:還原成正方體如圖所示,可知正確.ABCM,不正確.正確.MNCD.不正確.答案:11.如圖,在四面體A-BCD中,AC=BD=a,對棱AC與BD所成的角為60,M,N分別為AB,CD的中點,則線段MN的長為.解析:取BC的中點E,連接EN,EM,因為M為AB的中點,所以MEAC,且ME=12AC=a2,同理得,ENBD,且EN=a2,所以MEN或其補角為異面直線AC與BD所成的角,在MEN中,EM=EN,若MEN=60,則MEN為等邊三角形,所以MN=a2.若MEN=120,可得MN=32a.答案:a2或32a12.如圖,正方體ABCD-EFGH中,O為側面ADHE的中心,求:(1)BE與CG所成的角;(2)FO與BD所成的角.解:(1)如圖,因為CGBF,所以EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角,又BEF中,EBF=45,所以BE與CG所成的角為45.(2)連接FH,因為HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四邊形HFBD為平行四邊形,所以HFBD,所以HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角.連接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以AFH為等邊三角形,又依題意知O為AH的中點,所以HFO=30,即FO與BD所成的角是30.探究創(chuàng)新13.如圖,E,F,G,H分別是三棱錐A-BCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,且AEEB=AHHD=,CFFB=CGGD=.(1)若=,判斷四邊形EFGH的形狀;(2)若,判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若=12,且EGHF,求ACBD的值.解:(1)因為AEEB=AHHD=,所以EHBD,且EH=1+BD. 又因為CFFB=CGGD=.所以FGBD,且FG=1+BD. 又=,所以EHFG(公理4).因此=時,四邊形EFGH為平行四邊形.(2)若,由,知EHFG,但EHFG,因此時,四邊形EFGH為梯形.(3)因為=,所以四邊形EFGH為平行四邊形.又因為EGHF,所以四邊形EFGH為菱形.所以FG=HG.所以AC=(+1)HG=32HG=32FG,又BD=1+FG=3FG,所以ACBD=12.