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2019-2020年北師大版必修5高中數(shù)學第三章《簡單線性規(guī)劃的應用》word教案 教學目的： 1.能應用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題 2.增強學生的應用意識.培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的觀點 教學重點：求得最優(yōu)解 教學難點：求最優(yōu)解是整數(shù)解 教材分析： 線性規(guī)劃的兩類重要實際問題：第一種類型是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣安排運用這些資源，能使完成的任務量最大，收到的效益最大；第二種類型是給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務的人力、物力資源量最小 教學過程： 一、復習引入： 1．二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線） 2. 目標函數(shù), 線性目標函數(shù)線性規(guī)劃問題,可行解，可行域, 最優(yōu)解 3．用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟： （1）根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即不等式組所表示的公共區(qū)域）; （2）設，畫出直線; （3）觀察、分析，平移直線，從而找到最優(yōu)解; （4）最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值 4.求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的格式與步驟： （1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)； （2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域； （3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解 5．判斷可行區(qū)域的方法： 由于對在直線同一側(cè)的所有點(x,y)，把它的坐標（x,y)代入，所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當C≠0時，常把原點作為此特殊點） 二、講解新課： 例1：醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐，甲種原料每含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價3元；乙種原料每含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價2元。若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，試問：應如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最?。? 解：設甲、乙兩種原料分別用和，需要的費用為 病人第餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為 同理，對鐵質(zhì)的要求可表示為 問題成為：在約束條件下 求目標函數(shù)的最小值 作出可行域，令，作直線 由圖可知，把直線平移至頂點時，取最小值 由，元 所以用甲種原料，乙種原料，費用最省 例2：某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本為27元/，售價為50元/，生產(chǎn)中，每千克產(chǎn)品產(chǎn)生的污水，污水有兩種排放方式： 方式一：直接排入河流 方式二：經(jīng)廠內(nèi)污水處理站處理后排入河流，但受污水處理站技術(shù)水平的限制，污水處理率只有，污水處理站最大處理能力是，處理污水的成本是5元/ 另外，環(huán)保部門對排入河流的污水收費標準是元/，，且允許該廠排入河流中污水的最大量是，那么，該廠應選擇怎樣的生產(chǎn)與排污方案，可使其每凈收益最大？ 分析：為了解決問題，首先要搞清楚是什么因素決定收益 凈收益 = 售出產(chǎn)品的收入—生產(chǎn)費用 其中生產(chǎn)費用包括生產(chǎn)成本、污水處理、排污費等 設該廠生產(chǎn)的產(chǎn)量為，直接排入河流的污水為，每小時凈收益為元，則（1）售出產(chǎn)品的收入為元/ （2）產(chǎn)品成本為元/ （3）污水產(chǎn)生量為，污水處理量為，污水處理費為元/ （4）污水未處理率為，所以污水處理廠處理后的污水排放量為，環(huán)保部門要征收的排污費為元/ （5） 需要考慮的約束條件是： （1）污水處理能力是有限的，即 （2）允許排入河流的污水量也是有限的即 解：根據(jù)題意，本問題可歸納為：在約束條件下， 求目標函數(shù)的最大值 作出可行域，令 作直線， 由圖可知，平移直線，在可行域中的 頂點處，取得最大值 由 故該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品，直接排入 河流的污水為時，可使每小時 凈收益最大，最大值為（元） 答：該廠應安排生產(chǎn)該產(chǎn)品，直接排入河流的污水為時，其每小時凈收益最大。 三、課堂練習： 已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和300萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應怎樣編制調(diào)運方案，能使總運費最少? 解：設甲煤礦向東車站運萬噸煤，乙煤礦向東車站運萬噸煤，那么總運費z=x+1.5(200 －x)+0.8y+1.6(300－y)(萬元) 即z=780－0.5x－0.8y. x、y應滿足： 作出上面的不等式組所表示的平面區(qū)域 設直線x+y=280與y軸的交點為M，則M(0，280) 把直線l：0.5x+0.8y=0向上平移至經(jīng)過平面區(qū)域上的點M時，z的值最小 ∵點M的坐標為(0，280)， ∴甲煤礦生產(chǎn)的煤全部運往西車站、乙煤礦向東車站運280萬噸向西車站運20萬噸時，總運費最少 四、課堂小結(jié)： 求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的格式與步驟： （1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)； （2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域； （3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解 五、課后作業(yè)： 1、P109頁 B組第2題 2、要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格，每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的短鋼管的根數(shù)如下表所示： 規(guī)格類型 鋼管類型 A規(guī)格 B規(guī)格 C規(guī)格 甲種鋼管 2 1 4 乙種鋼管 2 3 1 今需A、B、C三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根，問各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規(guī)格鋼管，且使所用鋼管根數(shù)最少 解：設需截甲種鋼管x根，乙種鋼管y根，則 作出可行域(如圖)： 目標函數(shù)為，作出一組平行直線中(t為參數(shù))經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線4x+y=18和直線x+3y=16的交點A()，直線方程為.由于和都不是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點()不是最優(yōu)解 經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與原點距離最近的直線是，經(jīng)過的整點是B(4，4)，它是最優(yōu)解 答：要截得所需三種規(guī)格的鋼管，且使所截兩種鋼管的根數(shù)最少方法是，截甲種鋼管、乙種鋼管各4根