《高中數(shù)學人教A版選修41學案：第1講 4 直角三角形的射影定理 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學人教A版選修41學案：第1講 4 直角三角形的射影定理 Word版含解析（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 四　直角三角形的射影定理 1．了解射影定理的推導過程． 2．會用射影定理進行相關(guān)計算與證明．(重點、難點) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　射影的相關(guān)概念 閱讀教材P20“探究”以上部分，完成下列問題． 1．點在直線上的正射影：從一點向一直線所引垂線的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影. 2．線段在直線上的正射影，是指線段的兩個端點在這條直線上的正射影間的線段． 3．射影：點和線段的正射影簡稱為射影． 教材整理2　射影定理 閱讀教材P20～P22“習題”以上部分，完成下列問題． 1．文字語言 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上

2、射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項． 2．圖形語言 如圖1-4-1，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高， 圖1-4-1 則有CD2＝AD·BD. AC2＝AD·AB. BC2＝BD·AB. 如圖1-4-2，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D且CD＝4，則AD·DB＝(　　) 圖1-4-2 A．16　　 B．4 C．2 D．不確定 【解析】　由射影定理AD·DB＝CD2＝42＝16. 【答案】　A [質(zhì)疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解

3、惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 　與射影定理有關(guān)的計算 　已知CD是直角三角形ABC斜邊AB上的高，如果兩直角邊AC，BC的長度比為AC∶BC＝3∶4. (1)求AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的長． 【精彩點撥】　先根據(jù)AC∶BC與AD∶BD之間的關(guān)系求出AD∶BD的值；再根據(jù)斜邊AB的長及AD∶BD的值分別確定AD與BD的值．最后由射影定理CD2＝AD·BD，求得CD的長． 【自主解答】　(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴＝， ∴＝2＝2＝， 即AD∶BD＝9∶16. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝

4、9∶16， ∴AD＝×25＝9(cm)，BD＝×25＝16(cm)， ∴CD＝＝＝12(cm)． 1．解答本題(1)時，關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為2. 2．解此類題目的關(guān)鍵是反復利用射影定理求解直角三角形中有關(guān)線段的長度．在解題時，要緊抓線段比之間的關(guān)系及線段的平方與乘積相等這些條件，緊扣等式結(jié)構(gòu)形式，達到最終目的． [再練一題] 1．如圖1-4-3，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的長. 圖1-4-3 【解】　∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12， ∴CD＝＝2(cm)． ∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)

5、＝16， ∴AC＝＝4(cm)． ∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝＝4(cm)． 故CD，AC，BC的長分別為2 cm,4 cm， 4 cm. [探究共研型] 射影定理 探究1　除了用直角三角形相似的判定定理證明射影定理之外，你能用勾股定理證明嗎？ 【提示】　如圖，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋BD)2＝AC2＋BC2， ∴AD2＋2AD·BD＋BD2＝AC2＋BC2， ∴2AD·BD＝AC2－AD2＋BC2－BD2. ∵AC2－AD2＝CD2， BC2－BD2＝CD2， ∴2AD·BD＝2CD2. ∴

6、CD2＝AD·BD. 在Rt△ACD中， AC2＝AD2＋CD2 ＝AD2＋AD·BD ＝AD(AD＋BD) ＝AD·AB. 同理可證BC2＝BD·AB. 探究2　直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何證明？ 【提示】　直角三角形射影定理的逆定理： 如果一個三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的比例中項，那么這個三角形是直角三角形． 符號表示：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，則△ABC為直角三角形． 證明如下： ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°. 又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD， ∴△ACD∽△CBD，∴

7、∠CAD＝∠BCD. 又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC為直角三角形． 　如圖1-4-4所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F. 圖1-4-4 求證：CD3＝AE·BF·AB. 【精彩點撥】　∠ACB＝90°，CD⊥AB→CD2＝AD·DB→CD3＝AE·BF·A B. 【自主解答】　∵∠BCA＝90°，CD⊥BA， ∴CD2＝AD·BD. 又∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC， ∴CD4＝AD2·BD2＝AE·AC·B

8、F·BC＝AE·BF·AC·BC. 而S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD4＝AE·BF·AB·CD， 即CD3＝AE·BF·AB. 1．解答本題的關(guān)鍵是利用S△ABC＝AC·BC＝AB·CD進行轉(zhuǎn)化． 2．在證明與直角三角形有關(guān)的問題時，常用射影定理來構(gòu)造比例線段，從而為證明三角形相似創(chuàng)造條件． [再練一題] 2．在本例條件不變的情況下，求證：＝. 【證明】　根據(jù)題意可得，DE＝CF，CE＝DF， DE2＝AE·CE，DF2＝BF·CF， ∴DE2·BF·CF＝DF2·AE·CE， ∴DE3·BF＝DF3·AE，即＝. [構(gòu)建·體系] 1

9、．如圖1-4-5所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CD＝2，BD＝3，則AC等于(　　) 圖1-4-5 A.　　　　 B. C. D. 【解析】　由射影定理知， CD2＝BD·AD，∴AD＝， ∴AB＝AD＋BD＝， ∴AC2＝AD·AB＝×＝， ∴AC＝. 【答案】　C 2．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，BC＝ cm，BD＝3 cm，則AD的長是(　　) A．5 cm B．2 cm C．6 cm D．24 cm 【解析】　∵BC2＝BD·AB， ∴15＝3AB，即AB＝5， ∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(

10、cm)． 【答案】　B 3．在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，若BD＝3 cm，AC＝2 cm，則CD和BC的長分別為__________． 圖1-4-6 【解析】　設(shè)AD＝x， 則由射影定理得x(x＋3)＝4， 即x＝1(負值舍去)， 則CD＝＝(cm)， BC＝＝＝2(cm)． 【答案】　cm,2cm 4．如圖1-4-7，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E，若AB＝3AD，則的值為________． 圖1-4-7 【解析】　設(shè)圓O的直徑AB＝2R，則AD＝，DO＝，DB＝. 由相交弦定理，得CD2＝AD·DB，所以CD＝R

11、. 在Rt△CDO中，CO＝R，由射影定理可得EO＝＝， 于是CE＝R－＝，故＝8. 【答案】　8 5．如圖1-4-8所示，D為△ABC中BC邊上的一點，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的長． 圖1-4-8 【解】　在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8， 滿足AB2＝AD2＋BD2， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°. ∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°. 故在Rt△BAC中，AD⊥BC， 由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD， ∴CD＝. 我還有這些不足：

12、 (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學業(yè)分層測評(五) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，則AC∶BC的值是(　　) A．3∶2　　　　 B．9∶4 C.∶ D.∶ 【解析】　如圖，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， 又∵AD＝3，BD＝2， ∴AB＝AD＋BD＝5， ∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10. ∴＝＝，即AC∶BC＝∶， 故選C. 【答案】　C 2.如圖1-4-9所

13、示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D為垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，則AD的值是(　　) 圖1-4-9 A．6 B．3 C．18 D．3 【解析】　由題意知 ∴AD2＝18， ∴AD＝3. 【答案】　B 3．一個直角三角形的一條直角邊為3 cm，斜邊上的高為2.4 cm，則這個直角三角形的面積為(　　) A．7.2 cm2 B．6 cm2 C．12 cm2 D．24 cm2 【解析】　長為3 cm的直角邊在斜邊上的射影為＝1.8(cm)，由射影定理知斜邊長為＝5(cm)， ∴三角形面積為×5×2.4＝6(cm2)． 【答案】　B 4

14、．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若＝，則等于(　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】　如圖，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC， ∴＝＝2， 即＝， ∴＝. 【答案】　C 5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，則tan∠BCD的值是(　　) A. 　　　 B.　　　 C.　　　 D．2 【解析】　如圖，由射影定理得CD2＝AD·BD. 又∵BD∶AD＝1∶4， 令BD＝x，則AD＝4x(x>0)， ∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x， 在Rt△CDB中，ta

15、n∠BCD＝＝＝. 【答案】　C 二、填空題 6．如圖1-4-10，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，則對角線BD的長為________． 圖1-4-10 【解析】　∵OF＝a， ∴AD＝2a. ∵AE⊥BD， ∴AD2＝DE·BD. ∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD， ∴AD2＝BD·BD， ∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a. 【答案】　4a 7．如圖1-4-11，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則BD＝______cm. 圖1

16、-4-11 【解析】　連接CD，則CD⊥A B. 由AC＝3 cm，BC＝4 cm，得AB＝5 cm. 由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD. 所以BD＝ cm. 【答案】　 8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，則此梯形的面積為________． 【解析】　如圖，過C點作CE⊥AB于E. 在Rt△ACB中， ∵AB＝10 cm，AC＝6 cm， ∴BC＝8 cm， ∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm， ∴CE＝＝4.8(cm)， ∴AD＝4.8 cm. 又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，

17、 ∴DC＝AE＝3.6 cm. ∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)． 【答案】　32.64 cm2 三、解答題 9．已知直角三角形周長為48 cm，一銳角平分線分對邊為3∶5兩部分. (1)求直角三角形的三邊長； (2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長． 【解】　(1)如圖，設(shè)CD＝3x，BD＝5x，則BC＝8x，過D作DE⊥AB， 由題意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x， ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2， ∴AB＝2

18、0，AC＝12，BC＝16， ∴三邊長分別為20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F， ∴AC2＝AF·AB， ∴AF＝＝＝(cm)． 同理BF＝＝＝(cm)． ∴兩直角邊在斜邊上的射影長分別為 cm， cm. 10．如圖1-4-12所示，CD垂直平分AB，點E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，點F，G分別為垂足．求證：AF·AC＝BG·BE. 圖1-4-12 【證明】　∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均為直角三角形，并且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2，∴AF·

19、AC＝BG·BE. [能力提升] 1．已知直角三角形中兩直角邊的比為1∶2，則它們在斜邊上的射影比為 (　　) A．1∶2　　　　 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【解析】　設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為1和2，則斜邊長為，∴兩直角邊在斜邊上的射影分別為和. 【答案】　C 2．已知Rt△ABC中，斜邊AB＝5 cm，BC＝2 cm，D為AC上一點，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，則DE＝(　　) A．1.24 cm B．1.26 cm C．1.28 cm D．1.3 cm 【解析】　如圖，∵∠A＝∠A， ∴Rt△ADE∽Rt△ABC， ∴＝， DE

20、＝＝＝1.28. 【答案】　C 3．如圖1-4-13所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，則BC＝__________. 圖1-4-13 【解析】　由射影定理得， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴＝，即BC2＝. 又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝. ∴BC2＝＝＝64. ∴BC＝8. 【答案】　8 4．如圖1-4-14，已知BD，CE是△ABC的兩條高，過點D的直線交BC和BA的延長線于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求證：GD2＝FG·GH. 圖1-4-14 【證明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH， ∴△BCE∽△BHG， ∴∠BEC＝∠BGH＝90°， ∴HG⊥BC. ∵BD⊥AC，在Rt△BCD中， 由射影定理得，GD2＝BG·CG.?、? ∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H， ∴△FCG∽△BHG， ∴＝， ∴BG·CG＝GH·FG.　② 由①②得，GD2＝GH·FG. 最新精品資料