專題能力提升練 二十二 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用(45分鐘80分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為()A.1,3B.-3,-1,1,3C.2-7,1,3D.-2-7,1,3【解析】選D.當(dāng)x0時(shí),函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;當(dāng)x<0時(shí),由f(x)是奇函數(shù)得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-7(正根舍去).選D.2.已知函數(shù)f(x)=ax+x-b的零點(diǎn)x0(n,n+1)(nZ),其中常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,則n的值為()A.2B.1C.-2D.-1【解題指南】根據(jù)指數(shù)函數(shù),一次函數(shù)的單調(diào)性,及增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可得函數(shù)f(x)=ax+x-b為增函數(shù),結(jié)合常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,可得f(-1)<0,f(0)>0,進(jìn)而可得n的值.【解析】選D.由題意得函數(shù)f(x)=ax+x-b為增函數(shù),常數(shù)a,b滿足0<b<1<a,所以f(-1)=1a-1-b<0,f(0)=1-b>0,所以函數(shù)f(x)=ax+x-b在(-1,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),故n=-1.3.汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油,乙車(chē)最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程,三輛車(chē)中,甲車(chē)消耗汽油最多C.甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí).相同條件下,在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油【解析】選D.根據(jù)圖象知消耗1升汽油,乙車(chē)最多行駛里程大于5千米,故選項(xiàng)A錯(cuò);以相同速度行駛時(shí),甲車(chē)燃油效率最高,因此以相同速度行駛相同路程時(shí),甲車(chē)消耗汽油最少,故選項(xiàng)B錯(cuò);甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升,行駛1小時(shí),里程為80千米,消耗8升汽油,故選項(xiàng)C錯(cuò);最高限速80千米/小時(shí),丙車(chē)的燃油效率比乙車(chē)高,因此相同條件下,在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油,故選項(xiàng)D對(duì).4.函數(shù)f(x)=sinx+4cosx+4+cos2x-log2|x|-12的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【解析】選B.由已知得f(x)=12cos2x+1+cos2x2-log2|x|-12=cos2x-log2|x|,令f(x)=0,即cos2x=log2|x|,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=cos2x與y=log2|x|的圖象,有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=|lnx|-1,g(x)=-x2+2x+3,用minm,n表示m,n中最小值,設(shè)h(x)=minf(x),g(x),則函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【解析】選C.由f(x)=0可得x=e,x=1e;由g(x)=0可得x=-1,x=3,且當(dāng)x=e時(shí),g(e)>0.當(dāng)x<0時(shí)無(wú)意義,結(jié)合函數(shù)的圖象可知方程h(x)=0有三個(gè)根.故應(yīng)選C.5.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=4f1x,當(dāng)x14,1時(shí),f(x)=lnx,若在14,4上,方程f(x)=kx有三個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.-8ln2,-4eB.(-4ln4,-2ln2C.-4e,-2ln2D.-4e,-2ln2【解析】選D.依題意可得f(x)=lnx,14x1,-4lnx,1<x4,畫(huà)出f(x)的圖象,如圖.根據(jù)圖象可得:當(dāng)直線y=kx過(guò)點(diǎn)B時(shí),與y=f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),此時(shí)k=-4ln44=-2ln2;當(dāng)直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切于點(diǎn)T時(shí),直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),此時(shí)切線方程為y-(-4lnx0)=-4x0(x-x0),可得:4lnx0=4,x0=e,切線的斜率k=-4x0=-4e,所以有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),-4e<k-2ln2.6.函數(shù)f(x)=a,x=0,1e|x|+1,x0,若關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五個(gè)不同的零點(diǎn),則a的取值范圍是()A.(1,2)B.32,2C.1,32D.1,3232,2【解析】選D.作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示:令f(x)=t,則2t2-(2a+3)t+3a=0,所以t=a或t=32.(1)若a1或a2時(shí),則由圖象可知f(x)=a只有一解x=0,而f(x)=32有兩解,關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有三個(gè)不同的零點(diǎn),不符合題意;(2)若a=32,由圖象可知f(x)=a有三解,關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有三個(gè)不同的零點(diǎn),不符合題意;(3)若1<a<32或32<a<2,則由圖象可知f(x)=a有三解,f(x)=32有兩解,關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五個(gè)不同的零點(diǎn),符合題意.綜上,a的范圍是1,3232,2.【加固訓(xùn)練】(2018德陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)=xex-1,若關(guān)于x的方程f2(x)-m|f(x)|-2m-3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是()A.-32,0B.-32,-23C.-32,-23D.-23,0【解析】選C.f(x)=1-xex-1,可得x(-,1)時(shí),f(x)>0,x(1,+)時(shí),f(x)<0,所以f(x)在(-,1)遞增,在(1,+)遞減.可知y=|f(x)|的大致圖象如圖所示,設(shè)|f(x)|=t,則|f(x)|2-m|f(x)|-2m-3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即為t2-mt-2m-3=0有兩個(gè)根t1,t2,若t1=1,t2=0時(shí),t1+t2=m=1,t1t2=-2m-3=0,不存在實(shí)數(shù)m,若t1=1,t2>1時(shí),當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí),12-m-2m-3=0,m=-23,代入t2-mt-2m-3=0另一根為-53,不符合題意.t1(0,1),t2(-,0)時(shí),設(shè)h(t)=t2-mt-2m-3,h(1)=12-m-2m-3>0,h(0)=-2m-3<0,-32<m<-23,所以m的取值范圍為-32,-23.二、填空題(每小題5分,共10分)7.(2018達(dá)州一模)已知函數(shù)f(x)=mlnx-x(mR)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則x1,x2,e的大小關(guān)系是_(用“<”連接).【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mlnx-x有兩個(gè)零點(diǎn),所以m0,由方程mlnx-x=0,得mlnx=x,即lnx=1mx,若m<0,兩函數(shù)y=lnx與y=1mx的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意;若m>0,設(shè)直線y=1mx與曲線y=lnx相切于(x0,lnx0),則y|x=x0=1x0,所以切線方程為y-lnx0=1x0(x-x0),把原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)代入,可得-lnx0=-1,即x0=e.因?yàn)閮珊瘮?shù)y=lnx與y=1mx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2(x1<x2),所以x1<e<x2.答案:x1<e<x28.(2018南充一模)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)xR,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x2,3時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是_.【解析】因?yàn)閒(x+2)=f(x)-f(1),且f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),令x=-1可得f(-1+2)=f(-1)-f(1),又f(-1)=f(1),所以f(1)=0,則有f(x+2)=f(x),所以f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù).當(dāng)x2,3時(shí),f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2,函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下、頂點(diǎn)為(3,0)的拋物線段.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至少有三個(gè)零點(diǎn),令g(x)=loga(|x|+1),則f(x)的圖象和g(x)的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閒(x)0,所以g(x)0,可得0<a<1,要使函數(shù)y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則有g(shù)(2)>f(2),可得loga(2+1)>f(2)=-2,即loga3>-2,所以3<1a2,解得-33<a<33,又0<a<1,所以0<a<33,答案:0,33三、解答題(每小題10分,共40分)9.有一種新型的洗衣液,去污速度特別快.已知每投放k(1k4,且kR)個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=kf(x),其中f(x)=248-x-1,0x4,7-12x,4<x14.若多次投放,則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中冼衣液的濃度不低于4克/升時(shí),它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液,當(dāng)兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3克/升,求k的值.(2)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘?(3)若第一次投放2個(gè)單位的洗衣液,10分鐘后再投放1個(gè)單位的洗衣液,則在第12分鐘時(shí)洗衣液是否還能起到有效去污的作用?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意知k248-2-1=3,所以k=1.(2)因?yàn)閗=4,所以y=968-x-4,0x4,28-2x,4<x14.當(dāng)0x4時(shí),由968-x-44,解得-4x<8,所以0x4.當(dāng)4<x14時(shí),由28-2x4,解得x12,所以4<x12.綜上可知,當(dāng)y4時(shí),0x12,所以只投放一次4個(gè)單位的洗衣液的有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘.(3)在第12分鐘時(shí),水中洗衣液的濃度為27-1212+1248-(12-10)-1=5(克/升),又5>4,所以在第12分鐘時(shí)還能起到有效去污的作用.10.已知函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m為常數(shù).(1)若對(duì)任意xR有f(x)0成立,求m的取值范圍.(2)當(dāng)m>1時(shí),判斷f(x)在0,2m上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.【解析】(1)f(x)=ex-m-1,令f(x)=0,得x=m.故當(dāng)x(-,m)時(shí),ex-m<1,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(m,+)時(shí),ex-m>1,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=m時(shí),f(m)為極小值,也是最小值.令f(m)=1-m0,得m1,即若對(duì)任意xR有f(x)0成立,則m的取值范圍是(-,1.(2)當(dāng)m>1時(shí),f(x)在0,2m上有兩個(gè)零點(diǎn),理由如下:由(1)知f(x)在0,2m上至多有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)m>1時(shí),f(m)=1-m<0.因?yàn)閒(0)=e-m>0,f(0)f(m)<0,所以f(x)在(0,m)上有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)閒(2m)=em-2m,令g(m)=em-2m,因?yàn)楫?dāng)m>1時(shí),g(m)=em-2>0,所以g(m)在(1,+)上單調(diào)遞增,所以g(m)>g(1)=e-2>0,即f(2m)>0.所以f(m)f(2m)<0,所以f(x)在(m,2m)上有一個(gè)零點(diǎn).所以f(x)在0,2m上有兩個(gè)零點(diǎn).【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+e2x(x>0).(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍.(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.【解析】(1)因?yàn)間(x)=x+e2x2e2=2e(x>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=e2x時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)x=e時(shí),g(x)有最小值2e.因此g(x)=m有零點(diǎn),只需m2e.所以m2e,+).(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根,則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).如圖所示,作出函數(shù)g(x)=x+e2x(x>0)的大致圖象.因?yàn)閒(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其對(duì)稱軸為x=e,f(x)max=m-1+e2.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),必須有m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1.即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根,則m的取值范圍是(-e2+2e+1,+).11.如圖,陰影部分為古建筑群所在地,其形狀是一個(gè)長(zhǎng)為2km,寬為1km的矩形,矩形兩邊AB,AD緊靠在兩條互相垂直的路上,現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)C修一條直線的路l,這條路不能穿過(guò)古建筑群,且與另兩條路交于點(diǎn)P和Q.(1)設(shè)AQ=x(km),將APQ的面積S表示為x的函數(shù).(2)求APQ的面積S(k2m)的最小值.【解析】(1)AQ=x,則由AQBC=APBP=APAP-AB得:x=APAP-2,即AP=2xx-1,故S=12APAQ=x2x-1(x>1).(2)由(1)得:S=x2-2x(x-1)2(x>1);當(dāng)x(1,2)時(shí),S<0,當(dāng)x(2,+)時(shí),S>0,故x=2時(shí),Smin=4.12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為3.當(dāng)1x3時(shí),f(x)=x2+4.(1)求f(5)+f(7)的值.(2)若關(guān)于x的方程f(x)=mx2(mR)在區(qū)間4,6上有實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為3,所以f(5)=f(2)=8,f(7)=f(4)=f(1)=5,所以f(5)+f(7)=13.(2)設(shè)x4,6,則x-31,3,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為3,所以f(x)=f(x-3)=(x-3)2+4.方程f(x)=mx2在4,6上有實(shí)根(x-3)2+4x2=m在4,6上有實(shí)根,設(shè)g(x)=(x-3)2+4x2=13x2-6x+1=131x-3132+413,因?yàn)閤4,6,所以1x16,14,因?yàn)?1316,14,所以g(x)min=413,又因?yàn)?4-313<313-16,所以g(x)max=g(6)=1336,所以g(x)413,1336,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為413,1336.(建議用時(shí):50分鐘)1.已知函數(shù)f(x)=2x-a,x1,-x+a,x>1,則“函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充分不必要條件是a()A.(0,2B.(1,2C.(1,2)D.(0,1【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x-a,x1,-x+a,x>1,則“函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”2-a0,-1+a>0,a>0,解得1<a2.所以“函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充分不必要條件是a(1,2).2.(2018德陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)=xx+1,x(-1,+),若關(guān)于x的方程f2(x)+m|f(x)|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是()A.-32,0B.-32,-43C.-32,-43D.-43,0【解析】選C.f(x)=1+-1x+1,y=|f(x)|,x(-1,+)的圖象如圖:設(shè)|f(x)|=t,則|f(x)|2+m|f(x)|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即為t2+mt+2m+3=0有兩個(gè)根,t=0時(shí),代入t2+mt+2m+3=0得m=-32,即t2-32t=0,另一根為32,只有一個(gè)交點(diǎn),舍去;一個(gè)在(0,1)上,一個(gè)在1,+)上時(shí),設(shè)h(t)=t2+mt+2m+3,h(0)=2m+3>0,h(1)=1+m+2m+30,解得-32<m-43.3.設(shè)函數(shù)f(x)=-x,g(x)=lg(ax2-4x+1),若對(duì)任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(-,4B.(0,4C.(-4,0D.4,+)【解析】選A.f(x)=-x0,所以f(x)的值域是(-,0.設(shè)g(x)的值域?yàn)锳,因?yàn)閷?duì)任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),所以(-,0A.設(shè)y=ax2-4x+1的值域?yàn)锽,則(0,1B.顯然當(dāng)a=0時(shí),上式成立.當(dāng)a>0時(shí),=16-4a0,解得0<a4.當(dāng)a<0時(shí),ymax=4a-164a1,即1-4a1恒成立.綜上,a4.4.已知函數(shù)f(x)=(x2-x-1)ex,設(shè)關(guān)于x的方程f2(x)-mf(x)=5e(mR)有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則n的所有可能的值為()A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6【解析】選A.f(x)=ex(2x-1)+(x2-x-1)ex=ex(x2+x-2),所以當(dāng)x<-2或x>1時(shí),f(x)>0,當(dāng)-2<x<1時(shí),f(x)<0,所以f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,f(x)的極大值為f(-2)=5e2,f(x)的極小值為f(1)=-e.作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示:因?yàn)閒2(x)-mf(x)=5e(mR),所以f2(x)-mf(x)-5e=0,=m2+20e>0,令f(x)=t,則t1t2=-5e.不妨設(shè)t1<0<t2,(1)若t1<-e,則0<t2<5e2,此時(shí)f(x)=t1無(wú)解,f(x)=t2有三解;(2)若t1=-e,則t2=5e2,此時(shí)f(x)=t1有一解,f(x)=t2有兩解;(3)若-e<t1<0,則t2>5e2,此時(shí)f(x)=t1有兩解,f(x)=t2有一解;綜上,f2(x)-mf(x)=5e有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x0,若關(guān)于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0(aR)有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是()A.0,14B.13,3C.(1,2)D.2,94【解析】選D.令f(x)=t,作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象可知關(guān)于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,需要求一個(gè)f(x)的值有四個(gè)不同x對(duì)應(yīng).則關(guān)于t的方程t2-3t+a=0在(1,2)上有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,令g(t)=t2-3t+a,則=9-4a>0,g(1)=a-2>0,g(2)=a-2>0,解得2<a<94.5.(2018荊州一模)習(xí)總書(shū)記在十九大報(bào)告中明確指出,“要著力解決突出環(huán)境問(wèn)題,堅(jiān)持全民共治,源頭防治,持續(xù)實(shí)施大氣污染防治行動(dòng),打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)”.為落實(shí)十九大報(bào)告精神,某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為:f(x)=2xx2+42xx2+4-a+34,x0,24,其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù),且a0,12.(1)令t(x)=2xx2+4,x0,24,求t(x)的最值.(2)若用每天f(x)的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),市政府規(guī)定:每天的綜合污染指數(shù)不得超過(guò)2.試問(wèn)目前市中心的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)?【解析】(1)由t(x)=2xx2+4,x0,24,得t(x)=2(x2+4)-2x2x(x2+4)2=-2(x+2)(x-2)(x2+4)2,x0,24,令t(x)0,得(x+2)(x-2)0,即0x2,令t(x)<0,得(x+2)(x-2)>0,即x>2,所以t(x)在0,2上遞增,在(2,+)上遞減,所以當(dāng)x=0時(shí),t(x)min=0;當(dāng)x=2時(shí),t(x)max=12.(2)由(1)t=2xx2+4,x0,24,令g(t)=f(x)=t|t-a|+34,t0,12,則g(t)=-t2+at+34,0tat2-at+34,a<t12,因?yàn)間(t)在0,a2和a,12上遞增,在a2,a上遞減,且ga2=34+a24,g12=1-a2,ga2-g12=a24+a2-14,令a24+a2-140,解得2-1a12;令a24+a2-14<0,解得0a<2-1,所以f(x)max=1-12a,0a<2-1,34+a24,2-1<a12,因?yàn)閒(x)max1,所以目前市中心的綜合污染指數(shù)沒(méi)有超標(biāo).6.已知函數(shù)y=f(x),若在定義域內(nèi)存在x0,使得f(-x0)=-f(x0)成立,則稱x0為函數(shù)f(x)的局部對(duì)稱點(diǎn).(1)若aR且a0,證明:函數(shù)f(x)=ax2+x-a必有局部對(duì)稱點(diǎn).(2)若函數(shù)f(x)=2x+b在區(qū)間-1,2內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.(3)若函數(shù)f(x)=4x-m2x+1+m2-3在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)由f(x)=ax2+x-a得f(-x)=ax2-x-a,代入f(-x)=-f(x)得ax2+x-a+ax2-x-a=0,得到關(guān)于x的方程ax2-a=0(a0),其中=4a2,由于aR且a0,所以>0恒成立,所以函數(shù)f(x)=ax2+x-a必有局部對(duì)稱點(diǎn).(2)f(x)=2x+b在區(qū)間-1,2內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),所以方程2x+2-x+2b=0在區(qū)間-1,2上有解,于是-2b=2x+2-x,設(shè)t=2x,12t4,所以-2b=t+1t,其中2t+1t174,所以-178b-1.(3)因?yàn)閒(-x)=4-x-m2-x+1+m2-3,由f(-x)=-f(x),所以4-x-m2-x+1+m2-3=-(4x-m2x+1+m2-3),于是4x+4-x-2m(2x+2-x)+2(m2-3)=0(*)在R上有解,令t=2x+2-x(t2),則4x+4-x=t2-2,所以方程(*)變?yōu)閠2-2mt+2m2-8=0在區(qū)間2,+)內(nèi)有解,需滿足條件:=4m2-8(m2-4)0,2m+4(8-m2)22,即-22m22,1-3m22,化簡(jiǎn)得1-3m22.【加固訓(xùn)練】(2018資陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=-x(x+2)2,-3x0,2ex(4-x)-8,x>0,如果使等式f(x1)x1+4=f(x2)x2+2=2f(x3)2x3+1成立的實(shí)數(shù)x1,x3分別都有3個(gè),而使該等式成立的實(shí)數(shù)x2僅有2個(gè),則f(x2)x2+2的取值范圍是_.【解析】當(dāng)-3x0時(shí),y=-x(x+2)2的導(dǎo)數(shù)為y=-(x+2)(3x+2),可得-2<x<-23時(shí),函數(shù)遞增;-3<x<-2,-23<x<0時(shí),函數(shù)遞減;當(dāng)x>0時(shí),y=2ex(4-x)-8的導(dǎo)數(shù)為y=2ex(3-x),當(dāng)x>3時(shí),函數(shù)遞減;0<x<3時(shí),函數(shù)遞增,x=3時(shí),y=2e3-8,作出函數(shù)f(x)的圖象.等式f(x1)x1+4=f(x2)x2+2=2f(x3)2x3+1=k表示點(diǎn)(-4,0),(-2,0),-12,0與f(x)圖象上的點(diǎn)的連線的斜率相等,由(-3,3)與(-4,0)的連線與f(x)有3個(gè)交點(diǎn),且斜率為3,則k的最大值為3;由題意可得,過(guò)(-2,0)的直線與f(x)的圖象相切,轉(zhuǎn)到斜率為3的時(shí)候,實(shí)數(shù)x2僅有2個(gè),設(shè)切點(diǎn)為(m,n)(-2<m<0),求得切線的斜率為-(m+2)(3m+2)=-m(m+2)2m+2,解得m=-1,此時(shí)切線的斜率為1,則k的范圍是(1,3.答案:(1,3