考點46 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要點闡述1圓的定義：在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓確定一個圓的基本要素是圓心和半徑2設(shè)圓的圓心是A（a，b），半徑長為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（xa）2（yb）2r2，當(dāng)圓的圓心在坐標(biāo)原點，圓的半徑為r時，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y2r23設(shè)點P到圓心的距離為d，圓的半徑為r，點P在圓外 d>r ;點P在圓上dr；點P在圓內(nèi) d<r 典型例題【例】圓心為（0，4），且過點（3，0）的圓的方程為（ ）Ax2+（y 4）2 =25Bx2+（y +4）2=25C（x4）2+y2=25D（x+4）2+y2=25【解題技巧】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑大??；反過來說，給出了圓的圓心和半徑，即可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這一點體現(xiàn)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的直觀性小試牛刀1圓（x2）2+（y+3）2=2的圓心和半徑分別是（ ）A（2，3），1B（2，3），3C（2，3），D（2，3），【答案】D【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)為（2，3），半徑為【規(guī)律方法】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（xa）2+（yb）2=r2 中有三個參數(shù)a，b，r，因此只要確定出這三個量，就可以確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而確定這三個參數(shù)（未知數(shù)）則需要三個獨立條件，其中圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小2方程(xa)2(yb)20表示的圖形是()A以(a，b)為圓心的圓B以(a，b)為圓心的圓C點(a，b)D點(a，b)【答案】C【解析】方程(xa)2(yb)20，解得，因此它只表示一個點(a，b)，故選C3已知點A(4，5)，B(6，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A(x1)2(y3)229B(x1)2(y3)229C(x1)2(y3)2116D(x1)2(y3)2116【答案】B【解析】圓心在線段AB的中點(1，3)，半徑為，所以所求圓的方程為(x1)2(y3)229故選B4若直線yaxb經(jīng)過第一、二、四象限，則圓(xa)2(yb)21的圓心位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】由題意，知(a，b)為圓(xa)2(yb)21的圓心由直線yaxb經(jīng)過第一、二、四象限，得到a0，b0，即a0，b0，故圓心位于第四象限5圓心在y軸上，半徑為1，且過點（1，2）的圓的方程為 （ ） Ax2+（y2）2=1 Bx2+（y+2）2=1C（x1）2+（y3）2 =1 Dx2+（y3）2=1【答案】A6求圓心在直線x2y3 =0上，且過點A（2，3），B（2，5）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（xa）2+（yb）2=r2由條件知 解得 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x+1）2+（y+2）2=10解法三：線段AB的中點為（0，4），弦AB的垂直平分線的斜率為k= 2線段AB的垂直平分線的方程為：y+4=2x，即y=2x4，圓心是直線y=2x4與直線x2y3=0的交點，由得即圓心為（1，2），圓的半徑為故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+2）2=10【解題反思】本題的三種解法各有優(yōu)劣，解法一采用圓的定義；解法二采用待定系數(shù)法構(gòu)造方程，此解法是通法，但計算量較大；解法三從另一個角度，借助圓的幾何性質(zhì)進行求解，此法較好，減少了計算量考題速遞1圓心為(2，3)，一條直徑的兩端點分別在x軸、y軸上，則此圓的方程是()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252【答案】A【解析】利用平面幾何知識得r2與圓(x2)2(y3)216同圓心且過點P(1,1)的圓的方程為_【答案】(x2)2(y3)225【解析】因為已知圓的圓心為(2，3)，所以所求圓的圓心為(2，3)又r5，所以所求圓的方程為(x2)2(y3)2253已知A（4，5），B（6，1），則以線段AB為直徑的圓的方程為 【答案】（x 1）2+（y+3）2=29【解析】AB的中點（1，3）為圓心， |AB|=R=4已知直線l與圓C相交于點P(1,0)和點Q(0,1)（1）求圓心所在的直線方程；（2）若圓C的半徑為1，求圓C的方程數(shù)學(xué)文化井蓋為什么是圓的通過學(xué)習(xí)圓我們知道：圓有無數(shù)條半徑和直徑，而且在同一個圓內(nèi)所有半徑與直徑的長度都相等，半徑的長度是直徑的一半因為圓形的每一條直徑都是相等的，井蓋做成圓形的話，這樣無論怎么放置，蓋子都不會掉到井里去了從數(shù)學(xué)的角度來分析，它就是利用了同一個圓內(nèi)的直徑都相等只有圓形的井蓋找不到對角線，這樣不論怎么移動井蓋，蓋子都不會掉下去，那么在下面施工的工作人員就有安全保障了其實除了安全以外，井蓋做成圓形還有另一個好處就是便于運輸井蓋大部分都是鐵制品，一般需要幾個人共同合作才能搬動把井蓋制成圓形以后，工人們就可以將井蓋滾動起來，這樣運輸便省力多了