專題3.6 帶電粒子在有界勻強磁場中的臨界極值問題（1）該類問題主要解決外界提供什么樣以及多大的磁場，使運動電荷在有限的空間內(nèi)完成規(guī)定偏轉(zhuǎn)程度的要求，一般求解磁場分布區(qū)域的最小面積，它在實際中的應用就是磁約束。1. 從關(guān)鍵詞找突破口：許多臨界問題，題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件。2. 常用方法對稱法：如果磁場邊界是直線，那么粒子進入磁場時速度與邊界的夾角和射出磁場時速度和邊界的夾角相等。旋轉(zhuǎn)平移法：當帶電粒子進入磁場時的速率相同而方向不同時，粒子運動軌跡的圓周半徑是相同的，所以可將圓周以入射點為轉(zhuǎn)軸進行旋轉(zhuǎn)或平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)平移法”。 放縮法：粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速率的變化而變化，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮法”。【典例1】(2016全國卷) 平面OM和平面ON之間的夾角為30，其橫截面(紙面)如圖所示，平面OM上方存在勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點向左上方射入磁場，速度與OM成30角。已知該粒子在磁場中的運動軌跡與ON只有一個交點，并從OM上另一點射出磁場。不計重力。粒子離開磁場的出射點到兩平面交線O的距離為()A.B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，粒子在磁場中運動的軌跡半徑為R。設入射點為A，出射點為B，圓弧與ON的交點為P。由粒子運動的對稱性及粒子的入射方向知，ABR。由幾何圖形知，APR，則AOAP3R，所以OB4R。故選項D正確?！镜淅?】如圖所示，成30角的直線OA、OB間(含OA、OB線上)有一垂直紙面向里的勻強磁場，OA邊界上的S點有一電子源，在紙面內(nèi)向各個方向均勻發(fā)射速率相同的電子，電子在磁場中運動的半徑為r、周期為T。已知從OB邊界射出的電子在磁場中運動的最短時間為，則下列說法正確的是( )A沿某一方向發(fā)射的電子，可能從O點射出B沿某一方向發(fā)射的電子，可能沿垂直于OB的方向射出C從OA邊界射出的電子在磁場中運動的最長時間為D從OB邊界射出的電子在磁場中運動的最長時間為【答案】BC【解析】當出射點D與S點的連線垂直于OB時，弦SD最短，軌跡所對的圓心角最小，則粒子在磁場中運動的時間最短，tT，則60，如圖1所示：【典例3】如圖所示，在平面直角坐標系xOy的第四象限有垂直紙面向里的勻強磁場，一質(zhì)量為m5.0108 kg、電量為q1.0106 C的帶電粒子，從靜止開始經(jīng)U010 V的電壓加速后，從P點沿圖示方向進入磁場，已知OP30 cm，(粒子重力不計，sin 370.6，cos 370.8)，求：(1)帶電粒子到達P點時速度v的大??；(2)若磁感應強度B2.0 T，粒子從x軸上的Q點離開磁場，求OQ的距離；(3)若粒子不能進入x軸上方，求磁感應強度B滿足的條件?！敬鸢浮?1)20 m/s(2)0.90 m (3)B>5.33 T(取“”也可)【解析】(1)對帶電粒子的加速過程，由動能定理qU0mv2代入數(shù)據(jù)得：v20 m/s。(2)帶電粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，有：qvB得R代入數(shù)據(jù)得：R0.50 m而0.50 m故粒子的軌跡圓心一定在x軸上，粒子到達Q點時速度方向垂直于x軸，軌跡如圖甲所示。由幾何關(guān)系可知：OQRRsin 53故OQ0.90 m。(3)帶電粒子不從x軸射出(如圖乙)，由幾何關(guān)系得：OP>RRcos 53R由以上兩式并代入數(shù)據(jù)得：B> T5.33 T(取“”也可)?！镜淅?】(2018福州模擬)如圖所示，有一矩形區(qū)域abcd，水平邊長為s m，豎直邊長為h1 m，當該區(qū)域只存在大小為E10 N/C、方向豎直向下的勻強電場時，一比荷為0.1 C/kg的正粒子由a點沿ab方向以速率v0進入該區(qū)域，粒子運動軌跡恰好通過該區(qū)域的幾何中心。當該區(qū)域只存在勻強磁場時，另一個比荷也為0.1 C/kg的負粒子由c點沿cd方向以同樣的速率v0進入該區(qū)域，粒子運動軌跡也恰好通過該區(qū)域的幾何中心。不計粒子的重力，則( )A正、負粒子離開矩形區(qū)域時的速率均為 m/sB磁感應強度大小為 T，方向垂直紙面向外C正、負粒子各自通過矩形區(qū)域所用時間之比為D正、負粒子各自離開矩形區(qū)域時的動能相等【答案】C邊射出時：ht2，代入數(shù)據(jù)得t s，由上述分析，負粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)90后從ab邊射出，時間tT s，所以兩者的時間之比，所以選項C正確；由于正粒子在電場中是做勻加速曲線運動，所以速度將增加，而負粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，速度大小不變，且兩種粒子的比荷雖然相等，但質(zhì)量大小情況不明，所以兩種粒子離開矩形區(qū)域時動能不相等，所以選項D錯誤?！镜淅?】(2016全國卷)一圓筒處于磁感應強度大小為B的勻強磁場中，磁場方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度順時針轉(zhuǎn)動。在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi)，射入時的運動方向與MN成30角。當筒轉(zhuǎn)過90時，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒。不計重力。若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為()A.B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示，粒子在磁場中做勻速圓周運動，圓弧所對應的圓心角由幾何知識知為30，則，即，選項A正確?！靖櫽柧殹?.如圖所示，在x>0、y>0的空間有恒定的勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于xOy平面向里，大小為B，現(xiàn)有四個質(zhì)量及電荷量均相同的帶電粒子，由x軸上的P點以不同的初速度平行于y軸射入此磁場，其出射方向如圖所示，不計重力的影響，則()A初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子B初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子C在磁場中運動時間最長的是沿方向射出的粒子D在磁場中運動時間最短的是沿方向射出的粒子【答案】A 2如圖所示，在一擋板的上方，有磁感應強度為的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里。為上的一個粒子發(fā)射源，它能連續(xù)垂直磁場方向發(fā)射速率為、質(zhì)量為、帶電量為的粒子，假設不計粒子的重力和粒子間的相互作用，粒子打到擋板上時均被擋板吸收。則在垂直于磁場的平面內(nèi)，有粒子經(jīng)過的區(qū)域面積是 A B C D 【答案】C【解析】由題意可知粒子在磁場中的運動半徑，所有粒子在磁場中半徑相同， 由圖可知，由O點射入水平向右的粒子恰好應為最右端邊界；隨著粒子的速度方向偏轉(zhuǎn)，粒子轉(zhuǎn)動的軌跡圓可認為是以O點為圓心以2R為半徑轉(zhuǎn)動。如圖所示，由幾何圖形可知，帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域的面積為：，故選C. 3. 如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點是cd邊的中點。一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0后剛好從c點射出磁場。現(xiàn)設法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是()A若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從cd邊射出磁場B若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從ad邊射出磁場C若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從bc邊射出磁場D若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從ab邊射出磁場【答案】AC【解析】如圖所示， 4. 如圖所示，在平面直角坐標系中有一垂直紙面向里的圓形勻強磁場(未畫出)，其邊界過原點O和y軸上的點a(0，L)。一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從a點以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場，并從x軸上的b點射出磁場，此時速度的方向與x軸正方向的夾角為60，下列說法正確的是()A電子在磁場中運動的時間為B電子在磁場中運動的時間為C磁場區(qū)域的圓心坐標為D電子在磁場中做圓周運動的圓心坐標為(0，2L)【答案】BC【解析】 設電子的軌跡半徑為R，電子運動軌跡如圖所示，由幾何知識，Rcos 60RL，得R2L，電子在磁場中運動時間t，而T，得：t，A錯誤，B正確；設磁場區(qū)域的圓心坐標為(x，y)，其中xRsin 60L，y，所以磁場圓心坐標為，故C正確；由R2L，且入射點坐標為(0，L)，所以電子的圓周運動的圓心坐標為(0，L)，故D錯誤。5如圖所示，在一個圓形區(qū)域內(nèi)，兩個方向相反且都垂直于紙面的勻強磁場分布在以直徑A2A4為邊界的兩個半圓形區(qū)域、中，A2A4與A1A3的夾角為60。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子以某一速度從區(qū)的邊緣點A1處沿與A1A3成30角的方向射入磁場，隨后該粒子沿垂直于A2A4的方向經(jīng)過圓心O進入?yún)^(qū)，最后再從A4處射出磁場。已知該粒子從射入到射出磁場所用的時間為t，求：(1)畫出粒子在磁場和中的運動軌跡；(2)粒子在磁場和中的軌跡半徑R1和R2的比值；(3)區(qū)和區(qū)中磁感應強度的大小(忽略粒子重力)?！敬鸢浮浚?1)見解析(2)21(3)【解析】(1)畫出粒子在磁場和中的運動軌跡如圖所示。(2)設粒子的入射速度為v，已知粒子帶正電，故它在磁場中先順時針做圓周運動，再逆時針做圓周運動，最后從A4點射出，用B1、B2，R1、R2，T1、T2分別表示在磁場、區(qū)的磁感應強度、軌跡半徑和周期。設圓形區(qū)域的半徑為r，已知帶電粒子過圓心且垂直于A2A4進入?yún)^(qū)磁場，連接A1A2，A1OA2為等邊三角形，A2為帶電粒子在區(qū)磁場中運動軌跡的圓心，由幾何關(guān)系知，其半徑R1A1A2OA2r粒子在區(qū)磁場中運動的軌跡半徑R2即21。圓心角A1A2O60，帶電粒子在區(qū)磁場中運動的時間為t1T1在區(qū)磁場中運動的時間為t2T2帶電粒子從射入到射出磁場所用的總時間tt1t2由以上各式可得B1，B2。