第一章 解三角形-小結(jié)與復(fù)習(xí)一、教學(xué)目標：知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)解三角形的基本問題；過程與方法： 通過對典型問題的解決，提高知識的綜合運用能力，加深對正、余弦定理的理解；情感、態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力二重點難點重點：運用正、余弦定理解決解三角形問題難點：對知識的綜合運用能力三、教材與學(xué)情分析首先通過對知識的梳理，達到知識的系統(tǒng)化。其次結(jié)合學(xué)生的實際情況，采用“提出問題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，幫助學(xué)生掌握解法，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，提高解題能力。四、教學(xué)方法 問題引導(dǎo)，主動探究，啟發(fā)式教學(xué)五、教學(xué)過程（一）知識梳理：1： 正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：知兩角及一邊解三角形； 知兩邊及其中一邊所對的角解三角形（要討論解的個數(shù)）（2）用余弦定理：知三邊求三角； 知道兩邊及這兩邊的夾角解三角形2：應(yīng)用舉例距離問題， 高度問題， 角度問題， 計算問題（二）典例解析題型一. 利用正、余弦定理解三角形例1.在ABC中，BAC，AB6，AC3，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長 解設(shè)ABC的內(nèi)角BAC，B，C所對邊的長分別是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由題設(shè)知0B，所以cos B.在ABD中，因為ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.規(guī)律方法1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運用正弦定理通過約分達到解決問題的目的2(1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用變式訓(xùn)練1(1)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，則角B的大小為()A30 B45 C60 D120(2)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.(1)A (2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 第一章 小結(jié)與復(fù)習(xí) 教案例2.在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足acos Abcos B，則ABC的形狀為()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形因為acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁2無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能變式訓(xùn)練2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形 法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因為AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.題型三. 與三角形面積有關(guān)的問題例3.已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)設(shè)B90，且a，求ABC的面積解(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac. 因為B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，進而可得ca.所以ABC的面積為1.規(guī)律方法三角形面積公式的應(yīng)用方法：(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化變式訓(xùn)練3ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C(2)由已知得absin C.又C，所以ab6由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5題型四. 解三角形應(yīng)用問題例4.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.100由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)例5.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向、距離A處(1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多長時間？ 解設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，則有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120.根據(jù)余弦定理，可得BC，由正弦定理，得sinABCsinBAC，ABC45，因此BC與正北方向垂直.于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30，又，即，得t.當(dāng)緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時.規(guī)律方法應(yīng)用解三角形知識解決實際問題需要下列三步：(1)根據(jù)題意，畫出示意圖，并標出條件；(2)將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中(如本例借助方位角構(gòu)建三角形)，通過合理運用正、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；(3)檢驗解出的結(jié)果是否符合實際意義，得出正確答案變式訓(xùn)練4江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.10如圖，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m) 變式訓(xùn)練5如圖，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0，在電視塔的南偏西60的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5，AB間的距離為35米，則這個電視塔的高度為_米5可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米設(shè)OCx米，則OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即352x2x2cos 150，整理得x5，所以此電視塔的高度是5米變式訓(xùn)練6如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值 解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)sinACB sin 30.六、課堂小結(jié)1在解三角形時，應(yīng)熟練運用內(nèi)角和定理：ABC，中互補和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)2判定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換3.解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解七、課后作業(yè)1.課時練與測八、教學(xué)反思