第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系考綱傳真1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1l2.2兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解3距離P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|d點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間的距離d1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(4)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(5)若點(diǎn)P，Q分別是兩條平行線l1，l2上的任意一點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)的最小距離就是兩條平行線的距離()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)2(教材改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A.B2C.1D1C由題意得1，即|a1|，又a>0，a1.3直線l：(a2)x(a1)y60，則直線l恒過定點(diǎn)_(2，2)直線l的方程變形為a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直線l恒過定點(diǎn)(2，2)4已知直線l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，則實(shí)數(shù)a的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：57962375】2由2，得a2.5(20xx·唐山調(diào)研)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為_由l1l2，得a(a2)1×3，a3或a1.但a3時，l1與l2重合，舍去，a1，則l1：xy60，l2：xy0.故l1與l2間的距離d.兩條直線的平行與垂直(1)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則直線xsin Aayc0與直線bxysin Bsin C0的位置關(guān)系是()A平行B垂直C重合D相交但不垂直(1)A(2)B(1)當(dāng)a1時，顯然l1l2，若l1l2，則a(a1)2×10，所以a1或a2.所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件(2)在ABC中，由正弦定理，得·1.又xsin Aayc0的斜率k1，bxysin Bsin C0的斜率k2，因此k1·k2·1，兩條直線垂直規(guī)律方法1.判定直線間的位置關(guān)系，要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，還要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件2在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，可避免討論另外當(dāng)A2B2C20時，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時，有時比較方便變式訓(xùn)練1已知過點(diǎn)A(2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2xy10為l2，直線xny10為l3.若l1l2，l2l3，則實(shí)數(shù)mn的值為()A10B2C0D8Al1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，×(2)1，解得n2，mn10.兩直線的交點(diǎn)與距離問題(1)直線l過點(diǎn)P(1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(2)過點(diǎn)P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2xy20和l2：xy30所截的線段AB以P為中點(diǎn)，求此直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：57962376】(1)x3y50或x1法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意法二：當(dāng)ABl時，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)l過AB中點(diǎn)時，AB的中點(diǎn)為(1,4)，直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.(2)設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點(diǎn)B(6x0，y0)，2分由題意知解得6分即A，從而直線l的斜率k8，10分直線l的方程為y8(x3)，即8xy240.12分規(guī)律方法1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程；也可利用過交點(diǎn)的直線系方程，再求參數(shù)2利用距離公式應(yīng)注意：點(diǎn)P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等變式訓(xùn)練2若直線l過點(diǎn)A(1，1)與已知直線l1：2xy60相交于B點(diǎn)，且|AB|5，求直線l的方程解過點(diǎn)A(1，1)與y軸平行的直線為x1.解方程組求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時|AB|5，即直線l的方程為x1.4分設(shè)過點(diǎn)A(1，1)且與y軸不平行的直線為y1k(x1)，解方程組得x且y(k2，否則l與l1平行)則B點(diǎn)坐標(biāo)為.8分又A(1，1)，且|AB|5，所以52，解得k.10分因此y1(x1)，即3x4y10.綜上可知，所求直線的方程為x1或3x4y10.12分對稱問題(1)平面直角坐標(biāo)系中直線y2x1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱的直線方程是_ (2)光線從A(4，2)點(diǎn)射出，到直線yx上的B點(diǎn)后被直線yx反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點(diǎn)D(1,6)，則BC所在的直線方程是_(1)y2x3(2)10x3y80(1)法一：在直線l上任取一點(diǎn)P(x，y)，其關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對稱點(diǎn)P(2x,2y)必在直線y2x1上，2y2(2x)1，即2xy30.因此，直線l的方程為y2x3.法二：由題意，l與直線y2x1平行，設(shè)l的方程為2xyc0(c1)，則點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等，解得c3.因此所求直線l的方程為y2x3.法三：在直線y2x1上任取兩個點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱的點(diǎn)M(2,1)，B關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱的點(diǎn)N(1，1)由兩點(diǎn)式求出對稱直線MN的方程為，即y2x3. (2)作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)為A，D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D，則易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為，即10x3y80.遷移探究1在題(1)中“將結(jié)論”改為“求點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y2x1的對稱點(diǎn)”，則結(jié)果如何？解設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y2x1的對稱點(diǎn)為A(a，b)，2分則AA的中點(diǎn)為，4分所以解得10分故點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y2x1的對稱點(diǎn)為.12分遷移探究2在題(1)中“關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱”改為“關(guān)于直線xy0對稱”，則結(jié)果如何？解在直線y2x1上任取兩個點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于直線xy0的對稱點(diǎn)為M(1,0)，點(diǎn)B關(guān)于直線xy0的對稱點(diǎn)為N(3,1)，6分根據(jù)兩點(diǎn)式，得所求直線的方程為，即x2y10.12分規(guī)律方法1.第(1)題求解的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將直線關(guān)于點(diǎn)的中心對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱2解決軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點(diǎn)問題，關(guān)鍵是要抓住兩點(diǎn)，一是已知點(diǎn)與對稱點(diǎn)的連線與對稱軸垂直；二是已知點(diǎn)與對稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對稱軸上變式訓(xùn)練3(20xx·廣州模擬)直線x2y10關(guān)于直線xy20對稱的直線方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30B由題意得直線x2y10與直線xy20的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)在直線x2y10上取點(diǎn)A(1,0)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線xy20的對稱點(diǎn)為B(m，n)，則解得故所求直線的方程為，即2xy10.思想與方法1兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1·k21.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意2對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對稱，點(diǎn)與線的對稱，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法易錯與防范1判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨(dú)考慮2(1)求點(diǎn)到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式；(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等