第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式考情分析通過(guò)分析近三年的高考試題可以看出，不但考查用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，還考查用數(shù)學(xué)歸納法證明新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的正確性數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過(guò)觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進(jìn)行，可通過(guò)變化分子或分母，通過(guò)裂項(xiàng)相消等方法達(dá)到證明的目的 真題體驗(yàn)1(2017浙江高考)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN)證明：當(dāng)nN時(shí)，(1)0<xn1<xn；(2)2xn1xn；(3)xn.證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0.當(dāng)n1時(shí)，x11>0.假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，xk>0，那么nk1時(shí)，若xk10，則0<xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk1>0.因此xn>0(nN)所以xnxn1ln(1xn1)>xn1.因此0<xn1<xn(nN)(2)由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)，f(x)ln(1x)>0(x>0)，所以函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN)(3)因?yàn)閤nxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn.由2xn1xn得2>0，所以22n12n2，故xn.綜上，xn(nN)2(2015安徽高考)數(shù)列xn滿足x10，xn1xxnc(nN)(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充分必要條件是c0；(2)求c的取值范圍，使xn是遞增數(shù)列解：(1)證明：先證充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是遞減數(shù)列；再證必要性，若xn是遞減數(shù)列，則由x2x1，可得c0.(2)(i)假設(shè)xn是遞增數(shù)列由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，對(duì)任意n1都有xn，注意到xn1xxnc(1xn)(xn)，由式和式可得1xn0，即xn1.由式和xn0還可得，對(duì)任意n1都有xn1(1)(xn)反復(fù)運(yùn)用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1.xn1和xn(1)n1兩式相加，知21(1)n1對(duì)任意n1成立根據(jù)指數(shù)函數(shù)y(1)n的性質(zhì)，得210，c，故0c.(ii)若0c，要證數(shù)列xn為遞增數(shù)列，即xn1xnxc0.即證xn對(duì)任意n1成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0c時(shí)，xn對(duì)任意n1成立(1)當(dāng)n1時(shí)，x10，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)結(jié)論成立，即：xk.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2xc在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk1f(xk)f()，這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立故xn對(duì)任意n1成立因此，xn1xnxcxn，即xn是遞增數(shù)列由(i)(ii)知，使得數(shù)列xn單調(diào)遞增的c的范圍是.歸納猜想證明不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探求結(jié)論，但結(jié)論是否為真有待證明，因而數(shù)學(xué)中我們常用歸納猜想證明的方法來(lái)解決與正整數(shù)有關(guān)的歸納型和存在型問(wèn)題例1若不等式>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論解當(dāng)n1時(shí)，>，即>，所以a<26，而aN，所以取a25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：>.(1)當(dāng)n1時(shí)，已證(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，結(jié)論成立，即>，則當(dāng)nk1時(shí)，有>，因?yàn)?gt;，所以>0，所以>也成立由(1)(2)可知，對(duì)一切nN，都有>，所以a的最大值為25.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題必須分兩個(gè)步驟：第一步論證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；第二步推證命題正確性的可傳遞性，是遞推的依據(jù)兩步缺一不可，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)特征例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1(nN)(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并給出證明解(1)當(dāng)n1時(shí)，方程x2a1xa10有一根為S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.當(dāng)n2時(shí)，方程x2a2xa20有一根為S21a1a21a2，2a2a20，解得a2.(2)由題意知(Sn1)2an(Sn1)an0，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)nk(kN，k1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時(shí)，Sk1.即當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立由可知Sn對(duì)任意的正整數(shù)n都成立例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)(2n1)能被6整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，123顯然能被6整除(2)假設(shè)nk時(shí)，命題成立，即k(k1)(2k1)2k33k2k能被6整除當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k2)(2k3)2k33k2k6(k22k1)因?yàn)?k33k2k,6(k22k1)都能被6整除，所以2k33k2k6(k22k1)能被6整除，即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)和(2)知，對(duì)任意nN原命題成立例4已知數(shù)列an，an0，a10，aan11a.求證：當(dāng)nN時(shí)，an<an1.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，因?yàn)閍2是方程aa210的正根，所以a1<a2.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，0ak<ak1，則由aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)>0，得ak1<ak2，即當(dāng)nk1時(shí)，anan1也成立根據(jù)(1)和(2)可知，an<an1對(duì)任何nN都成立 (時(shí)間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1等式122232n2(5n27n4)()An為任何正整數(shù)時(shí)都成立B僅當(dāng)n1,2,3時(shí)成立C當(dāng)n4時(shí)成立，n5時(shí)不成立D僅當(dāng)n4時(shí)不成立解析：選B分別用n1,2,3,4,5驗(yàn)證即可2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<2(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A1<2 B1<2C1<2 D1<2解析：選A第一步驗(yàn)證n2時(shí)不等式成立，即1<2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(a1)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析：選C左端為n2項(xiàng)和，n1時(shí)應(yīng)為三項(xiàng)和，即1aa2.4用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>n2(nN，n5)成立時(shí)，第二步歸納假設(shè)的正確寫(xiě)法是()A假設(shè)nk時(shí)命題成立B假設(shè)nk(kN)時(shí)命題成立C假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立D假設(shè)nk(k>5)時(shí)命題成立解析：選Ck應(yīng)滿足k5，C正確5數(shù)列an中，已知a11，當(dāng)n2時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A3n2Bn2C3n1 D4n3解析：選B計(jì)算出a11，a24，a39，a416，可猜想ann2.6平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()Af(k)1 Bf(k)kCf(k)k1 Dkf(k)解析：選B第k1條直線與前k條直線都相交且有不同交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，此時(shí)應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)7用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時(shí)，若nk時(shí)，命題成立，欲證當(dāng)nk1時(shí)命題成立，對(duì)于34(k1)152(k1)1可變形為()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：選A由34(k1)152(k1)18134k12552k12534k12534k15634k125(34k152k1)8已知f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的關(guān)系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：選Af(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故選A.9用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫(xiě)成()A假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，xkyk能被xy整除B假設(shè)當(dāng)n2k(kN)時(shí)，xkyk能被xy整除C假設(shè)當(dāng)n2k1(kN)時(shí)，xkyk能被xy整除D假設(shè)當(dāng)n2k1(kN)時(shí)，xkyk能被xy整除解析：選D第k個(gè)奇數(shù)應(yīng)是n2k1，kN.10已知f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)<k2成立C若f(7)49成立，則當(dāng)k<7時(shí)，均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析：選Df(k)k2成立時(shí)f(k1)(k1)2成立，當(dāng)k4時(shí)，f(4)25>1642成立當(dāng)k4時(shí)，有f(k)k2成立二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分把答案填寫(xiě)在題中的橫線上)11用數(shù)學(xué)歸納法證明1234n2(nN)，則nk1時(shí)，左端應(yīng)為在nk時(shí)的基礎(chǔ)上加上_解析：nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k1)2.所以增加了(k21)(k1)2.答案：(k21)(k1)212設(shè)f(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)3，在假設(shè)nk時(shí)成立后，f(k1)與f(k)的關(guān)系是f(k1)f(k)_.解析：f(k)，f(k1)f(k1)f(k).答案：13設(shè)數(shù)列an滿足a12，an12an2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an42n12的第二步中，設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak42k12，那么當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)證明等式_成立答案：ak142(k1)1214在數(shù)列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為_(kāi)，猜想Sn_.解析：因?yàn)镾n，Sn1,2S1成等差數(shù)列所以2Sn1Sn2S1，又S1a11.所以2S2S12S13S13，于是S2，2S3S22S12，于是S3，由此猜想Sn.答案：，三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)于nN，都有.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，所以等式成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即，當(dāng)nk1時(shí)，.即nk1時(shí)等式成立由(1)(2)可知，對(duì)于任意的自然數(shù)n等式都成立16(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊.左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)不等式成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立17(本小題滿分12分)如果數(shù)列an滿足條件：a14，an1(n1,2，)，證明：對(duì)任何自然數(shù)n，都有an1>an且an<0.證明：(1)由于a14，a2>a1.且a1<0，因此，當(dāng)n1時(shí)不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，ak1>ak且ak<0，那么ak1<0，ak2ak1>0.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立，根據(jù)(1)(2)，不等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立因此，對(duì)任何自然數(shù)n，都有an1>an，且an0.18(本小題滿分14分)已知數(shù)列an滿足a12，an12ana(nN)(1)若1，證明數(shù)列l(wèi)g(an1)為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若0，是否存在實(shí)數(shù)，使得an2對(duì)一切nN恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)1，則an1a2an，an11(an1)2，lg(an11)2lg(an1)，lg(an1)是公比為2的等比數(shù)列，且首項(xiàng)為lg 3，lg(an1)2n1lg 3，an132n1，an32n11(nN)(2)由a22a142，得3，猜想3時(shí)，對(duì)一切nN，an2恒成立當(dāng)n1時(shí)，a12，猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN)時(shí)，ak2，則由an1，得ak120，nk1時(shí)，ak12，猜想成立由可知，當(dāng)3時(shí)，對(duì)一切nN，恒有an2.模塊綜合檢測(cè) (時(shí)間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1不等式|3x2|>4的解集是()Ax|x>2B.C. D.解析：選C因?yàn)閨3x2|>4，所以3x2>4或3x2<4，所以x>2或x<.2已知a0，1b0，那么下列不等式成立的是()Aaabab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析：選D因?yàn)?b0，所以bb21.又因?yàn)閍0，所以abab2a.3用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，反設(shè)正確的是()A假設(shè)三內(nèi)角都不大于60B假設(shè)三內(nèi)角都大于60C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60解析：選B至少有一個(gè)不大于60是指三個(gè)內(nèi)角有一個(gè)或者兩個(gè)或者三個(gè)小于或等于60，所以反設(shè)應(yīng)該是它的對(duì)立情況，即假設(shè)三內(nèi)角都大于60.4若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式一定成立的是()Aa2>b2B.<1Clg(ab)>0 D.a<b解析：選D因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x在R上是減函數(shù)，又a>b，所以a<b，故選D.5若a>0，使不等式|x4|x3|<a在R上的解集不是空集的a的取值范圍是()A(0,1) B1C(1，) D以上均不對(duì)解析：選C函數(shù)y|x4|x3|的最小值為1，所以若|x4|x3|<a的解集不是空集，需滿足a>1.6若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x1|x3|a22a1的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(3，) B(，0)(3，)C(1,3) D1,3解析：選C|x1|x3|的幾何意義是數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1,3對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離之和，故它的最小值為2.原不等式的解集為，a22a1<2，即a22a3<0，解得1<a<3.7若存在xR，使|2xa|2|3x|1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A2,4 B(5,7)C5,7 D(，57，)解析：選C|2xa|2|3x|2xa|62x|2xa62x|a6|，|a6|1，解得5a7.8若直線1過(guò)點(diǎn)M(cos ，sin )，則()Aa2b21 Ba2b21C.1 D.1解析：選D因?yàn)橹本€1過(guò)點(diǎn)M(cos ，sin )，所以1.由柯西不等式可知2(cos2sin2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故1.9已知不等式|y4|y|2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立，則常數(shù)a的最小值為()A1 B2C3 D4解析：選D由題意得(|y4|y|)max2x，而|y4|y|y4y|4，因此2x4a2x(42x)max，而2x(42x)24，當(dāng)且僅當(dāng)2x2，即x1時(shí)取等號(hào)，所以a4，amin4.10設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且1，則xy的最小值為()A4 B4C9 D16解析：選D因?yàn)?，所以0<<1,0<<1，即x>1，y>1，所以x，所以xyy(y1)102 1016，當(dāng)且僅當(dāng)y4時(shí)等號(hào)成立二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分把答案填寫(xiě)在題中的橫線上)11.3的解集是_解析：3，|2x1|3|x|.兩邊平方得4x24x19x2，5x24x10，解得x或x1.所求不等式的解集為.答案：(，1)12若x<0，則函數(shù)f(x)x2x的最小值是_解析：令tx，因?yàn)閤<0，所以2，所以t2，則g(t)t2t22，所以f(x)ming(2)4.答案：413不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|當(dāng)1<x<2時(shí)，由2x11，解得1x<2.又當(dāng)x2時(shí)，f(x)3>1.所以不等式的解集為x|x1答案：1，)14設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2b3c4，a2b2c2的最小值為_(kāi)解析：由柯西不等式，得(a2b2c2)(122232)(a2b3c)2，因?yàn)閍2b3c4，故a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)取“”答案：三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x).(1)當(dāng)a5時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍解：(1)由題設(shè)知：|x1|x2|50，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y|x1|x2|5的圖像，可知定義域?yàn)?，23，)(2)由題設(shè)知，當(dāng)xR時(shí)，恒有|x1|x2|a0，即|x1|x2|a.|x1|x2|x12x|3，a3，a3.a的取值范圍是3，)16(本小題滿分12分)設(shè)不等式2<|x1|x2|<0的解集為M，a，bM.(1)證明：<；(2)比較|14ab|與2|ab|的大小，并說(shuō)明理由解：(1)證明：記f(x)|x1|x2|由2<2x1<0，解得<x<，則M.所以|a|b|<.(2)由(1)得a2<，b2<.因?yàn)閨14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)>0，所以|14ab|2>4|ab|2，故|14ab|>2|ab|.17(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)|x1|x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)a2a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)原不等式等價(jià)于或或解得x或x或x.不等式的解集為.(2)由題意得，關(guān)于x的不等式|x1|x1|a2a在R上恒成立|x1|x1|(x1)(x1)|2，a2a2，即a2a20，解得1a2.實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,218(本小題滿分14分)已知f(n)1，g(n)，nN.(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大??；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明解：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)，g(2)，所以f(2)<g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)，g(3)，所以f(3)<g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN)時(shí)不等式成立，即1<.那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)<.因?yàn)閒(k1)g(k1)<0，所以f(k1)<g(k1)由可知，對(duì)一切nN，都有f(n)g(n)成立