新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第第 3 3 講講平面向量平面向量一、選擇題1(2016全國卷)已知向量BA12，32 ，BC32，12 ，則ABC()A30B45C60D120解析：|BA|1，|BC|1，cos ABCBABC|BA|BC|32.因?yàn)锳BC0，180，所以ABC30.答案：A2(2017北京卷)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：存在負(fù)數(shù)，使得mn，則mnnn|n|20，因而是充分條件，反之mn0，不能推出m，n方向相反，則不是必要條件答案：A3(2017長春中學(xué)聯(lián)考)設(shè)xR，向量a(x，1)，b(4，2)，且ab，則|ab|()A. 5B5C.852D.854解析：因?yàn)閍b，所以x(2)14，得x2，所以ab(2，1)，|ab| 221 5.答案：A4.如圖，BC、DE是半徑為 1 的圓O的兩條直徑，BF2FO，則FDFE等于()A34B89C14D49解析：因?yàn)锽F2FO，圓O的半徑為 1，所以|FO|13，所以FDFE(FOOD)(FOOE)FO2FO(OEOD)ODOE1320189.答案：B5(2017安徽江淮十校第二次聯(lián)考)已知平面向量a、b(a0，ab)滿足|a|3，且b與ba的夾角為 30，則|b|的最大值為()(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410109)A2B4C6D8解析：令OAa，OBb，則baOBOAAB，如圖，因?yàn)閎與ba的夾角為 30，所以O(shè)BA30，因?yàn)閨a|OA|3，所以由正弦定理|OA|sin OBA|OB|sin OAB得，|b|OB|6sin OAB6.答案：C二、填空題6(2017全國卷)已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，則m_解析：由題意，得233m0，所以m2.答案：27(2017濰坊二模)如圖，在ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB1，AC3，向量AB，AC的夾角為 60，則|OA|_解析：向量AB，AC的夾角為 60，所以ABAC|AB|AC|cos 60131232，又AO12(ABAC) ， 所 以AO214(ABAC)214(AB2 2ABACAC2) ， 即AO2答案：1328(2017濟(jì)南調(diào)研)在ABC中，已知ABACtanA，當(dāng)A6時(shí)，ABC的面積為_解析：令角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則ABAC|AB|AC|cosAcbcosAtanA，因?yàn)锳6，所以32bc33，即bc23，所以ABC的面積S12bcsinA12231216.答案：16三、解答題9設(shè)向量a( 3sinx，sinx)，b(cosx，sinx)，x0，2 .(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410110)(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1)由題意，得|a|2( 3sinx)2(sinx)24sin2x，|b|2cos2xsin2x1，因?yàn)閨a|b|，所以 4sin2x1.由x0，2 ，從而 sinx12，所以x6.(2)f(x)ab 3sinxcosxsin2x32sin 2x12cos 2x12sin2x6 12，當(dāng)x30，2 時(shí)，sin2x6 取最大值 1.所以f(x)的最大值為32.10已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量p(cosBsinB，2sinB2)，q(sinBcosB，1sinB)，且pq.(1)求B的大??；(2)若b2，ABC的面積為 3，求a，c.解：(1)因?yàn)閜q，所以pq(cosBsinB)(sinBcosB)(2sinB2)(1sinB)0，則 sin2Bcos2B2sin2B20，即 sin2B34，又角B是銳角三角形ABC的內(nèi)角，所以 sinB32，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面積為 3，所以SABC12acsinB，即ac4.由余弦定理得b2a2c22accosB，又b2，所以a2c28，取立，解得ac2.11 (2017淄博診斷)已知函數(shù)f(x) 3sinxcosxcos2x12(0)， 與f(x)圖象的對稱軸x3相鄰的f(x)的零點(diǎn)為x12.(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410111)(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間12，512 上的單調(diào)性；(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且c 3，f(C)1，若向量m(1，sinA)與向量n(2，sinB)共線，求a，b的值解 ： (1)f(x) 32sin 2 x1cos 2x21232sin 2 x12cos 2 xsin2x6 ，由于f(x)圖象的對稱軸x3相鄰的零點(diǎn)為x12，得14223124，所以1，則f(x)sin2x6 .令z2x6，函數(shù)ysinz單調(diào)增區(qū)間是22k，22k，kZ，由22k2x622k，得6kx3k，kZ.設(shè)A12，512 ，Bx|6kx3k，kZ，易知AB12，3 ，所以當(dāng)x12，512 時(shí)，f(x)在區(qū)間12，3 上單調(diào)遞增，在區(qū)間3，512 上單調(diào)遞減(2)sin2C6 10，則 sin2C6 1.因?yàn)?0C，所以62C6116，從而 2C62，解得C3.因?yàn)閙(1，sinA)與向量n(2，sinB)共線，所以 sinB2sinA，由正弦定理得，b2a，由余弦定理得c2a2b22abcos3，即a2b2ab3由解得a1，b2.(對應(yīng)學(xué)生用書 P33)典例(本小題滿分 12 分)(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；(2)若c 7，ABC的面積為3 32，求ABC的周長規(guī)范解答：(1)因?yàn)?2cosC(acosBbcosA)c，由正弦定理，得 2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，(1 分)得 2cosCsin(AB)sinC(3 分)因?yàn)锳BC，A，B，C(0，)，所以 sin(AB)sinC0，所以 2cosC1，cosC12.(5 分)因?yàn)镃(0，)，所以C3.(6 分)(2)由余弦定理c2a2b22abcosC，得 7a2b22ab12，(ab)23ab7，S12absinC34ab3 32，所以ab6，(10 分)所以(ab)2187，ab5，所以ABC的周長為abc5 7.(12 分)1牢記公式，正確求解：在三角函數(shù)及解三角形類解答題中，通常涉及三角恒等變換公式、誘導(dǎo)公式及正弦定理和余弦定理，這些公式和定理是解決問題的關(guān)鍵，因此要牢記公式和定理如本題第(2)問要應(yīng)用到余弦定理及三角形的面積公式2注意利用第(1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上，可以直接用， 有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無法解決， 如本題即是在第(1)問的基礎(chǔ)上求解3寫全得分關(guān)鍵：在三角函數(shù)及解三角形類解答題中，應(yīng)注意解題中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則不得分，所以在解答題時(shí)一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問中，沒有將正弦定理表示出來的過程，則不得分；第(2)問中沒有將面積表示出來則不得分，只有將面積轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)ab6 才能得分解題程序第一步：利用正弦定理將已知的邊角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式；第二步：利用三角恒等變換化簡關(guān)系式；第三步：求C的余弦值，求角C的值第四步：利用三角形的面積為3 32，求出ab的值；第五步：根據(jù)c 7，利用余弦定理列出a，b的關(guān)系式；第六步：求(ab)2的值，進(jìn)而求ABC的周長跟蹤訓(xùn)練(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為a23sinA.(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410035)(1)求 sinBsinC；(2)若 6cosBcosC1，a3，求ABC的周長解：(1)因?yàn)锳BC面積Sa23sinA，且S12bcsinA，所以a23sinA12bcsinA，所以a232bcsin2A，由正弦定理得 sin2A32sinBsinCsin2A，由 sinA0 得 sinBsinC23.(2)由(1)及題設(shè)，得 sinBsinC23，cosBcosC16，因?yàn)锳BC，所以 cosAcos(BC)cos(BC)sinBsinCcosBcosC12，又因?yàn)锳(0，)，所以A3，sinA32，cosA12，由余弦定理得a2b2c2bc9.由正弦定理得basinAsinB，casinAsinC，所以bca2sin2AsinBsinC8，由得bc 33，所以abc3 33，即ABC周長為 3 33.