一平行線等分線段定理 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P1] 1．平行線等分線段定理 (1)如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等． (2)用符號(hào)語(yǔ)言表述：已知a∥b∥c，直線m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A、B、C和A′、B′、C′(如圖)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′. [說(shuō)明] (1)定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的一組特殊的平行線；它是由三條或三條以上的平行線組成的． (2)“相等線段”是指在“同一條直線”上截得的線段相等． 2．平行線等分線段定理的推論 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 推 論 1 經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊 在△ABC中，若AB′＝B′B，B′C′平行于BC交AC于點(diǎn)C′，則AC′＝C′C 推 論 2 經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰 在梯形ABCD中，AD∥BC，若AE＝EB，EF平行于BC交DC于F點(diǎn)，則DF＝FC [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P1] 平行線等分線段定理 [例1]　已知如圖，直線l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分別交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD. 求證：A1B1＝B1C1＝C1D1. [思路點(diǎn)撥]　直接利用平行線等分線段定理即可． [證明]　∵直線l1∥l2∥l3，且AB＝BC， ∴A1B1＝B1C1. ∵直線l2∥l3∥l4且BC＝CD， ∴B1C1＝C1D1， ∴A1B1＝B1C1＝C1D1. 平行線等分線段定理的應(yīng)用非常廣泛，在運(yùn)用的過(guò)程中要注意其所截線段的確定與對(duì)應(yīng)，分析存在相等關(guān)系的線段，并會(huì)運(yùn)用相等線段來(lái)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明． 1．已知：如圖，l1∥l2∥l3，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A．由AB＝BC可得FG＝GH B．由AB＝BC可得OB＝OG C．由CE＝2CD可得CA＝2BC D．由GH＝FH可得CD＝DE 解析：OB、OG不是一條直線被平行線組截得的線段． 答案：B 2．如圖，已知線段AB，求作線段AB的五等分點(diǎn)． 作法：如圖，(1)作射線AC； (2)在射線AC上依任意長(zhǎng)順次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH； (3)連接HB； (4)過(guò)點(diǎn)G，F(xiàn)，E，D分別作HB的平行線GA1，F(xiàn)A2，EA3，DA4，分別交AB于點(diǎn)A1，A2，A3，A4. 則A1，A2，A3，A4就是所求的五等分點(diǎn)． 證明：過(guò)點(diǎn)A作MN∥HB， 則MN∥DA4∥EA3∥FA2∥GA1∥HB. 又AD＝DE＝EF＝FG＝GH， ∴AA4＝A4A3＝A3A2＝A2A1＝A1B(平行線等分線段定理)． 平行線等分線段定理推論1的運(yùn)用 [例2]　如圖，在△ABC中，AD，BF為中線，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延長(zhǎng)線于E. 求證：AG＝2DE. [思路點(diǎn)撥] →→→ [證明]　在△AEC中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故DG＝DE，即GE＝2DE， 因此AG＝2DE. 此類問(wèn)題往往涉及平行線等分線段定理的推論1的運(yùn)用，尋找便于證明三角形中線段相等或平行的條件，再結(jié)合三角形全等或相似的知識(shí)，達(dá)到求解的結(jié)果． 3.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的長(zhǎng)． 解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以O(shè)A＝OC，BC＝AD. 又因?yàn)锳B∥DC，OE∥AB， 所以DC∥OE∥AB. 又因?yàn)锳D＝6， 所以BE＝EC＝BC＝AD＝3. 4．已知：AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F. 求證：AF＝AC. 證明：如圖，過(guò)D作DG∥BF交AC于G. 在△BCF中，D是BC的中點(diǎn)， DG∥BF， ∴G為CF的中點(diǎn)．即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中點(diǎn)，EF∥DG， ∴F是AG的中點(diǎn)．即AF＝FG. ∴AF＝AC. 平行線等分線段定理推論2的運(yùn)用 [例3]　已知，如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中點(diǎn)，求證： AM＝BM. [思路點(diǎn)撥]　解答本題應(yīng)先通過(guò)作輔助線構(gòu)造推論2的應(yīng)用條件． [證明]　過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB于點(diǎn)E， ∵AD∥BC， ∴AD∥EM∥BC. 又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)， ∴E是AB的中點(diǎn)． ∵∠ABC＝90°， ∴ME垂直平分AB. ∴AM＝BM. 有梯形且存在線段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)該點(diǎn)作平行線，構(gòu)造平行線等分線段定理的推論2的基本圖形，進(jìn)而進(jìn)行幾何證明或計(jì)算． 5．若將本例中“M是CD的中點(diǎn)”與“AM＝BM”互換，那么結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明． 解：結(jié)論成立．證明如下： 過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB. ∵M(jìn)E⊥AB，∴ME∥BC∥AD. ∵AM＝BM，且ME⊥AB， ∴E為AB的中點(diǎn)，∴M為CD的中點(diǎn)． 6．已知：如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A，B，C，D，O分別作直線a的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，D′，O′； 求證：A′D′＝B′C′. 證明：∵?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于O點(diǎn)， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′. 同理：O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P3] 一、選擇題 1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝2 cm，則AB＋CD等于(　　) A．1 cm　　　　　　　　　　 B．2 cm C．3 cm D．4 cm 解析：由梯形中位線定理知EF＝(AB＋CD)， ∴AB＋CD＝4 cm. 答案：D 2．如圖，AD是△ABC的高，E為AB的中點(diǎn)，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 解析：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD. 又E為AB的中點(diǎn)，由推論1知F為BD的中點(diǎn)， 即BF＝FD. 又DC＝BD，∴DC＝BF. ∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF. 答案：A 3．梯形的中位線長(zhǎng)為15 cm，一條對(duì)角線把中位線分成3∶2兩段，那么梯形的兩底長(zhǎng)分別為(　　) A．12 cm　18 cm B．20 cm　10 cm C．14 cm　16 cm D．6 cm　9 cm 解析：如圖，設(shè)MP∶PN＝2∶3，則MP＝6 cm，PN＝9 cm. ∵M(jìn)N為梯形ABCD的中位線，在△BAD中，MP為其中位線， ∴AD＝2MP＝12 cm. 同理可得BC＝2PN＝18 cm. 答案：A 4．梯形的一腰長(zhǎng)10 cm，該腰和底邊所形成的角為30°，中位線長(zhǎng)為12 cm，則此梯形的面積為(　　) A．30 cm2 B．40 cm2 C．50 cm2 D．60 cm2 解析：如圖，過(guò)A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位線長(zhǎng)為12 cm， ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面積S＝(AD＋BC)·AE ＝×5×24＝60 (cm2)． 答案：D 二、填空題 5．如圖所示，已知a∥b∥c，直線m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，則B′C′＝________. 解析：直接利用平行線等分線段定理． 答案： 6.如圖，在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2 cm，則AC＝______；若BD＝10 cm，則EF＝________. 解析：由E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD， 得EG＝AD＝FD＝2 cm， 結(jié)合CD＝AD， 可以得到F、D是AC的三等分點(diǎn)， 則AC＝3EG＝6(cm)． 由EF∥BD，得EF＝BD＝5(cm)． 答案：6 cm　5 cm 7．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB的中點(diǎn)，EF∥BC，G是BC邊上任一點(diǎn)，如果S△GEF＝2 cm2，那么梯形ABCD的面積是________cm2. 解析：因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，EF∥BC， 所以EF為梯形ABCD的中位線， 所以EF＝(AD＋BC)， 且△EGF的高是梯形ABCD高的一半， 所以S梯形ABCD＝4S△EGF＝4×2 ＝8(cm2)． 答案：8 三、解答題 8．已知△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)(BE>CE)，AE、CD交于點(diǎn)F. 求證：F是CD的中點(diǎn)． 證明：如圖，過(guò)D作DG∥AE交BC于G， 在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE， ∴BG＝GE. ∵E是BC的三等分點(diǎn)， ∴BG＝GE＝EC. 在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF， ∴DF＝CF. 即F是CD的中點(diǎn)． 9．如圖，先把矩形紙片ABCD對(duì)折后展開(kāi)，并設(shè)折痕為MN；再把點(diǎn)B疊在折痕線上，得到Rt△AB1E.沿著EB1線折疊，得到△EAF.求證：△EAF是等邊三角形． 證明：因?yàn)锳D∥MN∥BC，AM＝BM， 所以B1E＝B1F. 又因?yàn)椤螦B1E＝∠B＝90°， 所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF. 根據(jù)折疊，得∠BAE＝∠B1AE， 所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°， 所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等邊三角形． 10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四邊形ABDE是平行四邊形，AD的延長(zhǎng)線交EC于F. 求證：EF＝FC. 證明：法一：如圖，連接BE交AF于O， ∵四邊形ABDE是平行四邊形， ∴BO＝OE. 又∵AF∥BC， ∴EF＝FC. 法二：如圖，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)H， ∵四邊形ABDE是平行四邊形， ∴AB∥ED，AB∥DH， AB＝ED. 又∵AF∥BC， ∴四邊形ABHD是平行四邊形． ∴AB＝DH. ∴ED＝DH. ∴EF＝FC. 法三：如圖，延長(zhǎng)EA交CB的延長(zhǎng)線于M， ∵四邊形ABDE是平行四邊形， ∴BD∥EA，AE＝BD. 又AD∥BC. ∴四邊形AMBD是平行四邊形． ∴AM＝BD. ∴AM＝AE. ∴EF＝FC. 最新精品資料