1.2 圓周運(yùn)動(dòng)階段總結(jié)一、圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般步驟：(1)確定做圓周運(yùn)動(dòng)的物體為研究對(duì)象。明確圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面、圓心位置和半徑。(2)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。運(yùn)用平行四邊形定則或正交分解法求出外界提供的向心力F。(3)抓住所給的已知條件，是線速度v、角速度、還是周期T，根據(jù)向心力公式Fmm2rmrmv，選擇適當(dāng)形式確定物體所需要的向心力。(4)根據(jù)題意由牛頓第二定律及向心力公式列方程求解。例1 一根長為L2.5 m的輕繩兩端分別固定在一根豎直棒上的A、B兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為m0.6 kg的光滑小圓環(huán)C套在繩子上，如圖1所示，當(dāng)豎直棒以一定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓環(huán)以B為圓心在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(37，sin 370.6，cos 370.8，g10 m/s2)，求：圖1 (1)此時(shí)輕繩上的拉力大小等于多少？(2)豎直棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大？解析對(duì)圓環(huán)受力分析如圖(1)圓環(huán)在豎直方向所受合外力為零，得Fsin mg，所以F10 N，即繩子拉力大小為10 N。(2)圓環(huán)C在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于圓環(huán)光滑，所以圓環(huán)兩端繩的拉力大小相等。BC段繩水平時(shí)，圓環(huán)C做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑rBC，則有rL，解得r m則Fcos Fmr2，解得3 rad/s。答案(1)10 N(2)3 rad/s針對(duì)訓(xùn)練1 如圖2所示，一根細(xì)線下端拴一個(gè)金屬小球P，細(xì)線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔的水平桌面上。小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺)?，F(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖上未畫出)，兩次金屬塊Q都保持在桌面上靜止。則后一種情況與原來相比較，下面的判斷中正確的是()圖2A.Q受到桌面的靜摩擦力變大B.Q受到桌面的支持力變大C.小球P運(yùn)動(dòng)的角速度變小D.小球P運(yùn)動(dòng)的周期變大解析金屬塊Q保持在桌面上靜止，對(duì)金屬塊和小球研究，豎直方向上沒有加速度，根據(jù)平衡條件得知，Q受到桌面的支持力等于兩個(gè)物體的總重力，保持不變，故B錯(cuò)誤；設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為，細(xì)線的拉力大小為T，細(xì)線的長度為L。P球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，如圖，則有T，mgtan m2Lsin ，得角速度，周期T2，現(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，增大，cos 減小，則得到細(xì)線拉力T增大，角速度增大，周期T減小。對(duì)Q，由平衡條件知fTsin mgtan ，知Q受到桌面的靜摩擦力變大，故A正確，C、D錯(cuò)誤。答案A二、圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題1.臨界狀態(tài)：當(dāng)物體從某種特性變化為另一種特性時(shí)發(fā)生質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，通常叫做臨界狀態(tài)，出現(xiàn)臨界狀態(tài)時(shí)，既可理解為“恰好出現(xiàn)”，也可理解為“恰好不出現(xiàn)”。2.輕繩類：輕繩拴球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，過最高點(diǎn)時(shí)，臨界速度為v，此時(shí)F繩0。3.輕桿類(1)小球能過最高點(diǎn)的臨界條件：v0；(2)當(dāng)0v時(shí)，F(xiàn)為支持力；(3)當(dāng)v時(shí)，F(xiàn)0；(4)當(dāng)v時(shí)，F(xiàn)為拉力。4.汽車過拱形橋：如圖3所示，當(dāng)壓力為零時(shí)，即Gm0，v，這個(gè)速度是汽車能正常過拱形橋的臨界速度。v是汽車安全過橋的條件。圖35.摩擦力提供向心力：如圖4所示，物體隨著水平圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于靜摩擦力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)速度也達(dá)到最大，由Fmm得vm，這就是物體以半徑r做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度。圖4例2 如圖5所示，AB是半徑為R的光滑金屬導(dǎo)軌(導(dǎo)軌厚度不計(jì))，a、b為分別沿導(dǎo)軌上、下兩表面做圓周運(yùn)動(dòng)的小球(可看做質(zhì)點(diǎn))，要使小球不脫離導(dǎo)軌，則a、b在導(dǎo)軌最高點(diǎn)的速度va、vb應(yīng)滿足什么條件？圖5解析對(duì)a球在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得magNama要使a球不脫離軌道，則Na0由得va對(duì)b球在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得mbgNbmb要使b球不脫離軌道，則Nb0由得vb。答案vavb針對(duì)訓(xùn)練2 如圖6所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為R時(shí)，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩中張力為零)，物塊與轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其重力的k倍，求：圖6(1)轉(zhuǎn)盤的角速度為1時(shí)繩中的張力大小T1；(2)轉(zhuǎn)盤的角速度為2時(shí)繩中的張力大小T2。解析設(shè)角速度為0時(shí)繩剛好被拉直且繩中張力為零，則由題意有kmgmr解得0(1)當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度為1時(shí)，有1<0，物塊所受靜摩擦力足以提供物塊隨轉(zhuǎn)盤做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力即T10(2)當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度為2時(shí)，有2>0，物塊所受最大靜摩擦力不足以提供物塊隨轉(zhuǎn)盤做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力則kmgT2mr解得T2kmg答案(1)0(2)kmg三、圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)合的問題例3 如圖7所示，一水平軌道與一豎直半圓軌道相接，半圓軌道半徑為R1.6 m，小球沿水平軌道進(jìn)入半圓軌道，恰能從半圓軌道頂端水平射出(g取10 m/s2)。求：圖7(1)小球射出后在水平軌道上的落點(diǎn)與出射點(diǎn)的水平距離；(2)小球落到水平軌道上時(shí)的速度大小。解析因?yàn)樾∏蚯∧軓陌雸A軌道頂端水平射出，則在頂端小球由重力充當(dāng)向心力有mgm所以v04 m/s(1)水平射出后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則有豎直方向：2Rgt2水平方向：sv0t所以解得s3.2 m(2)因?yàn)関ygt8 m/s所以v4 m/s答案(1)3.2 m(2)4 m/s針對(duì)訓(xùn)練3 如圖8所示，一個(gè)人用一根長1 m、只能承受74 N拉力的繩子，拴著一個(gè)質(zhì)量為1 kg的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓心O離地面h6 m。轉(zhuǎn)動(dòng)中小球在最低點(diǎn)時(shí)繩子恰好斷了。(取g10 m/s2)。求：圖8(1)繩子斷時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的角速度為多大？(2)繩斷后，小球落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的水平距離是多少？解析(1)設(shè)繩斷時(shí)小球角速度為，由牛頓第二定律得Fmgm2L代入數(shù)據(jù)得8 rad/s。(2)繩斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，其初速度v0L8 m/s。由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有hLgt2。得t1 s。水平距離sv0t8 m。答案(1)8 rad/s(2)8 m