第八章立體幾何初步第1課時空間點、直線、平面之間的 位置關(guān)系理解空間點、線、面的基本位置關(guān)系；會用數(shù)學語言規(guī)范地表述空間點、線、面的位置關(guān)系了解公理1，2，3及公理3的推論1，2，3，并能正確判定；了解平行公理和等角定理理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，能判定空間兩直線的位置關(guān)系；了解異面直線所成的角1. (必修2P24練習2改編)用集合符號表示“點P在直線l外，直線l在平面內(nèi)”為_答案：Pl，l解析：考查點、線、面之間的符號表示2. (必修2P28練習2改編)已知ABPQ，BCQR，若ABC45，則PQR_答案：45或135解析：由等角定理可知PQR與ABC相等或互補，故答案為45或135.3. (原創(chuàng))若直線l上有兩個點在平面外，則_(填序號) 直線l上至少有一個點在平面內(nèi)； 直線l上有無窮多個點在平面內(nèi)； 直線l上所有點都在平面外； 直線l上至多有一個點在平面內(nèi)答案：解析：由已知得直線l，故直線l上至多有一個點在平面內(nèi)4. (必修2P31習題15改編)如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，G，H依次是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上除端點外的點，則下列結(jié)論中不正確的是_(填序號) 當時，四邊形EFGH是平行四邊形； 當時，四邊形EFGH是梯形； 當時，四邊形EFGH一定不是平行四邊形； 當時，四邊形EFGH是梯形答案：解析：由，得EHBD，且，同理得FGBD 且 ，當時，EHFG且EHFG.當時，EHFG，但EHFG，只有錯誤5. (必修2P30練習2改編)在正方體A1B1C1D1ABCD中，與AB異面的棱有_答案：A1D1，DD1，CC1，C1B11. 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面2. 空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個平行直線在同一平面內(nèi) 沒有異面直線不同在任何一個平面內(nèi)沒有3. 平行直線的公理及定理(1) 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行(2) 定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等4. 異面直線的判定(1) 判定定理：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線(2) 符號表示：若l，A，B，Bl，則直線AB與l是異面直線5. 異面直線所成的角(1) 定義：設(shè)a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線aa，bb，我們把直線a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角(2) 范圍：.(3) 若異面直線a，b所成的角是直角，就稱異面直線a，b互相垂直記作ab.備課札記,1平面的基本性質(zhì)),1)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點，畫出平面BED1F和平面ABCD的交線解：如圖，在平面ADD1A1內(nèi)延長D1F與DA交于一點P，則P平面BED1F. DA平面ABCD， P平面ABCD， 點P是平面ABCD與平面BED1F的一個公共點又點B是兩平面的一個公共點， PB為兩平面的交線如圖，在直角梯形ABDC中，ABCD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由解：顯然點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在交線上，由于AB>CD，則分別延長AC和BD交于點E，如圖所示 EAC，AC平面SAC， E平面SAC.同理，可證E平面SBD， 點E在平面SBD和平面SAC的交線上，連結(jié)SE，則直線SE是平面SBD和平面SAC的交線,2共點、共線、共面問題),2)如圖，在四邊形ABCD和四邊形ABEF中，BCAD，BCAD，BEFA，BEFA，點G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(1) 求證：四邊形BCHG是平行四邊形(2) C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1) 證明：因為點G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點，所以GHAD，GHAD.又BCAD，BCAD，所以GHBC，且GHBC，所以四邊形BCHG為平行四邊形(2) 解：C，D，F(xiàn)，E四點共面理由如下：由BEFA，BEFA，點G為FA的中點知，BEFG，BEFG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EFBG.由(1)知BGCH，BGCH，所以EFCH，所以EF與CH共面又DFH，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面變式訓練如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，A1C1與B1D1交于點O.求證：A1，C1，F(xiàn)，E四點共面證明：如圖，連結(jié)AC，因為點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以EF是ABC的中位線，所以EFAC.由直棱柱知AA1綊CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1.所以EFA1C1，故A1，C1，F(xiàn)，E四點共面,3空間直線位置關(guān)系問題),3)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別是A1B1，B1C1的中點求證：(1) AM和CN共面；(2) D1B和CC1是異面直線證明：(1) 如圖，連結(jié)MN，A1C1，AC. 點M，N分別是A1B1，B1C1的中點， MNA1C1. A1A綊C1C， 四邊形A1ACC1為平行四邊形， A1C1AC， MNAC， A，M，N，C四點共面，即AM和CN共面(2) ABCDA1B1C1D1是正方體， B，C，C1，D1不共面假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面， D1，B，C，C1，這與B，C，C1，D1不共面矛盾 假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線變式訓練已知空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD的中點(1) 求證：BC與AD是異面直線；(2) 求證：EG與FH相交證明：(1) 假設(shè)BC與AD不是異面直線，則BC與AD共面不妨設(shè)它們所共平面為，則B，C，A，D，所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾所以BC與AD是異面直線(2) 如圖，連結(jié)AC，BD，則EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，則EFGH為平行四邊形又EG，F(xiàn)H是平行四邊形EFGH的對角線，所以EG與FH相交1. 在下列命題中，不是公理的是_(填序號) 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線； 過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面； 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)； 平行于同一個平面的兩個平面相互平行答案：解析：不是公理，是個常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；是平面的基本性質(zhì)公理2. 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ABEF； AB與CM所成的角為60； EF與MN是異面直線； MNCD.以上結(jié)論中正確的是_(填序號)答案：解析：把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，ABEF，EF與MN是異面直線，ABCM，MNCD，只有正確3. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有_條答案：無數(shù)解析：在A1D1，C1D1上任取一點P，M，過點P，M與直線EF作一個平面，因CD與平面不平行，所以它們相交，設(shè)CDQ，連結(jié)PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線由點P的任意性知，有無數(shù)條直線與直線A1D1，EF，CD都相交4. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1及DD1的中點求證：BGCFD1E.證明： 點E，F(xiàn)，G分別是正方體的棱CC1，BB1，DD1的中點， CE平行且等于GD1，BF平行且等于GD1，則四邊形CED1G與四邊形BFD1G均為平行四邊形則GCD1E，GBD1F. BGC與FD1E對應兩邊的方向分別相同， BGCFD1E.5. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC，BD交于點M，點E為AB的中點，點F為AA1的中點求證：(1) C1，O，M三點共線；(2) E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(3) CE，D1F，DA三線共點證明：(1) C1，O，M平面BDC1，又C1，O，M平面A1ACC1，由公理3知，點C1，O，M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上， C1，O，M三點共線(2) 點E，F(xiàn)分別是AB，A1A的中點， EFA1B. A1BCD1， EFCD1. E，C，D1，F(xiàn)四點共面(3) 由(2)可知，E，C，D1，F(xiàn)四點共面 EFA1B，EFA1B， EFD1C， D1F，CE為相交直線，記交點為P.則PD1F平面ADD1A1，PCE平面ADCB， P平面ADD1A1平面ADCBAD， CE，D1F，DA三線共點1. 如圖，在正方體ABCDEFMN中，BM與ED平行；CN與BM是異面直線；CN與BE是異面直線；DN與BM是異面直線以上四個命題中，正確的命題是_(填序號)答案： 解析：觀察圖形，根據(jù)異面直線的定義可知，BM與ED是異面直線，CN與BM是異面直線，CN與BE不是異面直線，DN與BM是異面直線，故錯誤，正確即正確的命題是.2. 在空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30，點M，N分別是BC，AD的中點，求直線AB和MN所成的角解：如圖，取AC的中點P.連結(jié)PM，PN，則PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所以MPN為直線AB與CD所成的角(或所成角的補角)則MPN30或MPN150.若MPN30，因為PMAB，所以PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補角)又ABCD，所以PMPN，則PMN是等腰三角形，所以PMN75，即直線AB與MN所成的角為75.若MPN150，易知PMN是等腰三角形，所以PMN15，即直線AB與MN所成的角為15.故直線AB和MN所成的角為75或15.3. 已知在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別是棱CD，AD的中點求證：(1) 四邊形MNA1C1是梯形；(2) DNMD1A1C1.證明：(1) 如圖，連結(jié)AC，在ACD中， 點M，N分別是CD，AD的中點， MN是三角形ACD的中位線， MNAC，MNAC.由正方體的性質(zhì)得ACA1C1，ACA1C1， MNA1C1且MNA1C1，即MNA1C1， 四邊形MNA1C1是梯形(2) 由(1)知MNA1C1.又 NDA1D1， DNM與D1A1C1相等或互補而DNM與D1A1C1均是直角三角形中的銳角， DNMD1A1C1.1. 證明點線共面的常用方法：一是依據(jù)題中所給部分條件先確定一個平面，然后證明其余的點或線都在平面內(nèi)；二是將所有元素分成幾個部分，然后分別確定幾個平面，再證這些平面重合；三是采用反證法2. 證明三線共點的方法：通常先證明兩條直線的交點在第三條直線上，而第三條直線是分別經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的一條交線3. 異面直線的證明方法：一是應用判定定理(過平面內(nèi)一點與平面外一點的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線)；二是采用反證法判定異面直線時通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理4. 對于異面直線所成的角，要注意角的范圍是以及兩條直線垂直的定義，平移法是解決此類問題的關(guān)鍵備課札記第2課時直線與平面的位置 關(guān)系(1) (對應學生用書(文)109110頁、(理)111112頁)了解直線與平面的位置關(guān)系，了解線面平行的有關(guān)概念；除了能熟練運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理外，還能運用定義判斷位置關(guān)系 要熟練掌握線面平行的定義、判定及性質(zhì). 要注意線線關(guān)系、線面關(guān)系以及面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化對于直線與平面所成的角，點到面的距離了解即可1. (必修2P35練習2改編)給出下列條件： l； l與至少有一個公共點； l與至多有一個公共點則能確定直線l在平面外的條件為_(填序號)答案：解析：直線l在平面外：l或直線l與平面僅有一個交點2. (必修2P35練習7改編)在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，則直線CD與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是_答案：平行或異面解析：因為ABCD，AB平面，CD平面，所以CD平面，所以CD與平面內(nèi)的直線可能平行，也可能異面3. (必修2P35練習4改編)在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的表面中，與A1F1平行的平面是_答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D解析：在正六棱柱中，易知A1F1AF，AF平面ABCDEF，且A1F1平面ABCDEF，所以A1F1平面ABCDEF.同理，A1F1C1D1，C1D1平面CC1D1D，且A1F1平面CC1D1D，所以A1F1平面CC1D1D.其他各面與A1F1均不滿足直線與平面平行的條件故答案為平面ABCDEF與平面CC1D1D.4. (原創(chuàng))P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出下列四個命題： OM平面PCD； OM平面PBC； OM平面PDA； OM平面PBA.其中正確命題的個數(shù)是_答案：2解析：由已知OMPD，得OM平面PCD且OM平面PAD.故正確的只有.5. (必修2P41習題5改編)在四面體ABCD中，點M，N分別是ACD，BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是_答案：平面ABC、平面ABD解析：如圖，連結(jié)AM并延長交CD于E，連結(jié)BN并延長交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點，且該點為CD的中點E，由，得MNAB，因此，MN平面ABC，且MN平面ABD.1. 一條直線和一個平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：位置關(guān)系直線a在平面內(nèi)直線a與平面相交直線a與平面平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示aaAa圖形表示2. 直線與平面平行判定定理性質(zhì)定理文字如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行符號圖形作用線線平行線面平行線面平行線線平行,1基本概念辨析),1)下列命題中真命題的個數(shù)為. 直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則l； 若直線a在平面外，則a； 若直線ab，直線b，則a； 若直線ab，b，那么直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.答案：1解析： 直線l雖與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面內(nèi)， l不一定平行于. 是假命題. 直線a在平面外，包括兩種情況：a和a與相交， a和不一定平行. 是假命題. 直線ab，b，則只能說明a和b無公共點，但a可能在平面內(nèi)， a不一定平行于. 是假命題. ab，b，那么a或a， a可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行. 是真命題.綜上可知，真命題的個數(shù)為1.下列命題中正確的是.（填序號） 若直線a不在平面內(nèi)，則a； 若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l； 若直線l與平面平行，則l與內(nèi)的任意一條直線都平行； 若l與平面平行，則l與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點； 平行于同一平面的兩直線可以相交.答案：解析：如圖，aA時，a， 錯誤；直線l與相交時，l上有無數(shù)個點不在內(nèi)， 錯誤；l時，內(nèi)的直線與l平行或異面， 錯誤；l，l與無公共點， l與內(nèi)任一直線都無公共點，正確；如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行， 正確.,2線面平行的判定),2)如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，點E是PC的中點.求證：PA平面BDE.證明：如圖，連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OE.在平行四邊形ABCD中，O是AC的中點，又E是PC的中點， OEPA. PA平面BDE，OE平面BDE， PA平面BDE.變式訓練如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中， E，F(xiàn)分別是A1B，AC1的中點.求證：EF平面ABC.證明：如圖，連結(jié)A1C，因為三棱柱A1B1C1ABC中，四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以點F在A1C上，且為A1C的中點.在A1BC中，因為E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點，所以EFBC.因為BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N，P分別為棱AB，BC，C1D1的中點.求證：AP平面C1MN.證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為點M，P分別為棱AB，C1D1的中點，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1，所以四邊形AMC1P為平行四邊形.從而APC1M.又AP 平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.,3線面平行的性質(zhì)),3)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CC14，M是棱CC1上的一點.若點N是AB的中點，且CN平面AB1M，求CM的長.解：（解法1）如圖，取AB1的中點P，連結(jié)NP，PM.因為點N是AB的中點，所以NPBB1.因為CMBB1，所以NPCM，所以NP與CM共面.因為CN平面AB1M，平面CNPM平面AB1MMP，所以CNMP.所以四邊形CNPM為平行四邊形，所以CMNPCC12. （解法2）如圖，設(shè)NC與CC1確定的平面交AB1于點P，連結(jié)NP，PM.因為CN平面AB1M，CN平面CNPM，平面AB1M平面CNPMPM，所以CNMP.因為BB1CM，BB1平面CNPM，CM平面CNPM，所以BB1平面CNPM.又BB1平面ABB1，平面ABB1平面CNPMNP，所以BB1NP，所以CMNP，所以四邊形CNPM為平行四邊形.因為點N是AB的中點，所以CMNPBB1CC12.（解法3）如圖，取BB1的中點Q，連結(jié)NQ，CQ.因為點N是AB的中點，所以NQAB1.因為NQ平面AB1M，AB1平面AB1M，所以NQ平面AB1M.因為CN平面AB1M，NQNCN，NQ，NC平面NQC，所以平面NQC平面AB1M.因為平面BCC1B1平面NQCQC，平面BCC1B1平面AB1MMB1，所以CQMB1.因為BB1CC1，所以四邊形CQB1M是平行四邊形，所以CMB1QCC12.（解法4）如圖，分別延長BC，B1M，設(shè)交點為S，連結(jié)AS.因為CN平面AB1M，CN平面ABS，平面ABS平面AB1MAS，所以CNAS.由于ANNB，所以BCCS.又CMBB1，同理可得SMMB1，所以CMBB1CC12.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AC1與A1C交于點O，E是棱AB上一點，且OE平面BCC1B1.求證：點E是AB的中點.證明：連結(jié)BC1，因為OE平面BCC1B1，OE平面ABC1，平面BCC1B1平面ABC1BC1，所以O(shè)EBC1.在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是平行四邊形，AC1A1CO，所以點O是AC1的中點，所以1，即點E是AB的中點.1. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，點M，N，P分別為BC，CC1，BB1的中點.求證：A1N平面AMP.證明：取C1B1的中點D，連結(jié)A1D，DN，DM，B1C.由于點D，M分別為C1B1，CB的中點，所以DMCC1且DMCC1，故DMAA1且DMAA1，則四邊形A1AMD為平行四邊形，所以A1DAM.又A1D平面APM，AM平面APM，所以A1D平面APM.由于D，N分別為C1B1，CC1的中點，所以DNB1C.又點P，M分別為BB1，CB的中點，所以MPB1C.所以DNMP.又DN平面APM，MP平面APM，所以DN平面APM.由于A1DDND，所以平面A1DN平面APM.由于A1N平面A1DN，所以A1N平面APM.2. 如圖，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD為矩形，點M，N分別是AE，CD的中點.求證：直線MN平面EBC.證明：取BE中點F，連結(jié)CF，MF.因為點M是AE的中點，所以MF綊AB.又點N是矩形ABCD邊CD的中點，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MNCF.又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN平面EBC.3. 如圖，在正三棱柱ABCABC中，D是AA上的點，點E是BC的中點，且AE平面DBC.試判斷D點在AA上的位置，并給出證明.解：點D為AA的中點.證明如下：如圖，取BC的中點F，連結(jié)AF，EF，設(shè)EF與BC交于點O，連結(jié)DO，BE，CF，在正三棱柱ABCABC中，點E是BC的中點，所以EFBBAA，且EFBBAA，所以四邊形AEFA是平行四邊形.因為AE平面DBC，AE平面AEFA，且平面DBC平面AEFADO，所以AEDO.在正三棱柱ABCABC中，點E是BC的中點，所以ECBC且ECBF，所以四邊形BFCE是平行四邊形，所以點O是EF的中點.因為在平行四邊形AEFA中， AEDO，所以點D為AA的中點.4. 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，點E是A1C1的中點.求證：BE平面ACD1.證明：如圖，連結(jié)B1D1交A1C1于點E，連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)OD1. 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形， D1EBO且D1EBO， 四邊形BED1O是平行四邊形， BEOD1. OD1平面ACD1，BE平面ACD1， BE平面ACD1.5. 如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面PAD，ABCD，CD2AB2BC，點M，N分別是棱PA，CD的中點.求證：PC平面BMN.證明：設(shè)ACBNO，連結(jié)MO，AN.因為ABCD，ABCD，點N為CD的中點，所以ABCN，ABCN，所以四邊形ABCN為平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點.又點M為PA的中點，所以MOPC.因為MO平面BMN，PC 平面BMN，所以PC平面BMN.1. 如圖，在三棱錐PABC中，點M，N分別為AB，PA的中點.求證：PB平面MNC.證明：因為點M，N分別為AB，PA的中點，所以MNPB.因為MN平面MNC，PB 平面MNC，所以PB平面MNC.2. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，點D是AB的中點.求證：BC1 平面A1CD.證明：連結(jié)AC1，設(shè)交A1C于點O，連結(jié)OD. 四邊形AA1C1C是矩形， O是AC1的中點. 在ABC1中， O，D分別是AC1，AB的中點， ODBC1. OD平面A1CD，BC1平面A1CD， BC1平面A1CD.3. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，點PBB1（P不與B，B1重合）.PAA1BM，PCBC1N.求證：MN平面ABCD.證明：連結(jié)AC，A1C1，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，且AA1CC1， 四邊形ACC1A1是平行四邊形. ACA1C1. AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1， AC平面A1BC1. AC平面PAC，平面A1BC1平面PACMN， ACMN. MN平面ABCD，AC平面ABCD， MN平面ABCD.1. 判定或證明直線與平面平行的常用方法（1） 利用直線與平面平行的定義（無公共點）.（2） 利用直線與平面平行的判定定理（a，b，aba）.（3） 利用平面與平面平行的性質(zhì)（，aa）.注意不管用哪種方法，都應將相應的條件寫全，缺一不可.2. 直線與平面平行的性質(zhì)定理的作用是證線線平行，應用時常常需構(gòu)造輔助平面，和在平面幾何中添加輔助線一樣，在構(gòu)造輔助平面時要確認這個平面的存在性.3. 證明平行問題時要注意“轉(zhuǎn)化思想”的應用，要抓住線線、線面、面面之間的平行關(guān)系，實現(xiàn)“空間問題”與“平面問題”之間的轉(zhuǎn)化.備課札記第3課時直線與平面的位置 關(guān)系（2） （對應學生用書（文）111113頁、（理）113115頁）了解直線與平面的位置關(guān)系，了解空間垂直的有關(guān)概念；熟練運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.要注意線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化.可以按照要證明的目標重新整理知識點.1. （必修2P38練習2（3）改編）已知直線l，a，b，平面.若la，a，b，則l與b的位置關(guān)系是.答案：平行解析：由線面垂直的性質(zhì)可知，若a，b，則ab.因為la，所以lb.2. 已知兩條異面直線平行于一平面，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個平面與這條直線的位置關(guān)系是.（填序號） 平行； 垂直； 斜交； 不能確定.答案：解析：設(shè)a，b為異面直線，a平面，b平面，直線la，lb.過a作平面a，則aa， la.同理過b作平面b，則lb. a，b異面， a與b相交， l.3. 設(shè)l，m表示直線，m是平面內(nèi)的任意一條直線，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的條件.（選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案：充要解析：由線面垂直的定義知，直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，則直線與平面垂直，說明是充分條件，反之，直線垂直于平面，則直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，說明是必要條件，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的充要條件.4. （必修2P42習題9改編）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上不同于A，B的任一點，則圖中直角三角形的個數(shù)為.答案：4解析：因為AB是圓O的直徑，所以ACBC，ACB是直角三角形；由PA平面ABC可得，PAAB，PAAC，所以PAB與PAC是直角三角形；因為PA平面ABC，且BC平面ABC，所以PABC.又BCAC，PAACA，所以BC平面PAC.而PC平面PAC，所以BCPC，PCB是直角三角形.故直角三角形的個數(shù)為4.5. （必修2P38練習3改編）在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB1，則點C到平面B1BDD1的距離為.答案：解析：連結(jié)AC，則ACBD，又BB1AC，故AC平面B1BDD1，所以點C到平面B1BDD1的距離為AC.1. 直線與平面垂直的定義：如果一條直線a與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a與平面互相垂直，記作a，直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足.2. 結(jié)論：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.3. 直線與平面垂直判定定理性質(zhì)定理文字如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行符號圖形作用線線垂直線面垂直線面垂直線線平行4. 點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.5. 直線和平面的距離一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.6. 直線與平面所成的角（1） 斜線一條直線與一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫做斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫做這個點到平面的斜線段.（2） 射影過平面外一點P向平面引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的正投影（簡稱射影），線段P1Q就是斜線段PQ在平面內(nèi)的射影，如圖.（3） 直線和平面所成的角平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角.特別地，如果直線和平面垂直，那么就說這條直線與平面所成的角是直角；如果直線與平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角.備課札記,1直線與平面垂直的判定),1)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，A1C1與B1D1交于點O.若底面ABCD是菱形，且ODA1E，求證：OD平面A1C1FE.證明：連結(jié)BD，因為直棱柱中DD1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1A1C1.因為底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1B1D1.又DD1B1D1D1，所以A1C1平面BB1D1D.因為OD平面BB1D1D，所以O(shè)DA1C1.又ODA1E，A1C1A1EA1，A1C1平面A1C1FE，A1E平面A1C1FE，所以O(shè)D平面A1C1FE.變式訓練如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點.若ACBC，求證：PA平面MNC.證明：因為M，N分別為AB，PA的中點，所以MNPB.又因為PAPB，所以PAMN.因為ACBC，AMBM，所以CMAB.因為平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以CM平面PAB.因為PA平面PAB，所以CMPA.又因為PAMN，MN平面MNC，CM平面MNC，MNCMM，所以PA平面MNC.,2直線與平面垂直性質(zhì)的應用),2)如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PAB，APAB.（1） 求證：CDAP；（2） 若CDPD，求證：CD平面PAB.證明：（1） 因為AD平面PAB，AP平面PAB，所以ADAP.因為APAB，ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AP平面ABCD.因為CD平面ABCD，所以CDAP.（2） 因為CDAP，CDPD，且PDAPP，PD平面PAD，AP平面PAD，所以CD平面PAD.因為AD平面PAB，AB平面PAB，所以ABAD.因為APAB，APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以AB平面PAD.由得CDAB，因為CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB.變式訓練如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交.求證：（1） EF平面AB1C；（2） EFBD1.證明：（1） 在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1ABCD，且A1B1ABCD，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1DB1C.因為EFA1D，所以EFB1C.又因為EFAC，ACB1CC，AC平面AB1C，B1C 平面AB1C，所以EF平面AB1C.（2） 連結(jié)BD，則BDAC.因為DD1平面ABCD，AC平面ABCD，所以DD1AC.因為ACBD，DD1BDD，DD1平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，所以AC平面BDD1B1.又BD1平面BDD1B1，所以ACBD1.同理可證BD1B1C，又ACB1CC，AC平面AB1C，B1C平面AB1C，所以BD1平面AB1C.又EF平面AB1C，所以EFBD1.,3直線與平面垂直的探索題),3)在正三棱柱ABCA1B1C1中，點D是BC的中點，BCBB1.（1） 若P是CC1上任一點，求證：AP不可能與平面BCC1B1垂直；（2） 試在棱CC1上找一點M，使MBAB1.（1） 證明：（反證法）假設(shè)AP平面BCC1B1， BC平面BCC1B1， APBC.又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BC，APCC1P，AP平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1， BC平面ACC1A1.而AC平面ACC1A1， BCAC，這與ABC是正三角形矛盾，故AP不可能與平面BCC1B1垂直.（2） 解：M為CC1的中點. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1， 四邊形BCC1B1是正方形. 點M為CC1的中點，點D是BC的中點， B1BDBCM， BB1DCBM，BDB1CMB. BB1DBDB1， CBMBDB1， BMB1D. ABC是正三角形，D是BC的中點， ADBC. 平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC， AD平面BB1C1C. BM平面BB1C1C， ADBM. ADB1DD， BM平面AB1D. AB1平面AB1D， MBAB1.如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點.試確定點F的位置，使得D1E平面AB1F.解：如圖，連結(jié)A1B，CD1，則A1BAB1. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，D1A1平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1， A1D1AB1.又A1D1A1BA1，A1D1，A1B平面A1BCD1， AB1平面A1BCD1.又D1E平面A1BCD1， AB1D1E.于是使D1E平面AB1F等價于使D1EAF.連結(jié)DE，易知D1DAF，若有AF平面D1DE，只需證DEAF. 四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點， 當且僅當點F是CD的中點時，DEAF，即當點F是CD的中點時，D1E平面AB1F.1. 如圖，在矩形ABCD中，AB1，BCa（a>0），PA平面ABCD，且PA1，問BC邊上是否存在點Q，使得PQQD，并說明理由.解：假設(shè)存在點Q，使得PQQD.連結(jié)AQ. PA平面ABCD，且DQ平面ABCD， PADQ. PQDQ，且PQPAP，PQ平面PAQ，PA平面PAQ， DQ平面PAQ. AQ平面PAQ， AQDQ.設(shè)BQx，則CQax，AQ2x21，DQ2（ax）21. AQ2DQ2AD2， x21（ax）21a2，即x2ax10（*）.方程（*）的判別式a24. a>0， 當<0，即0<a<2時，方程（*）無實根；當0，即a2時，方程（*）有惟一實根，此時x1；當>0，即a>2時，方程（*）有兩個不等實根，設(shè)兩個實根分別為x1，x2.由于x1x2a>0，x1x21>0，則這兩個實根均為正數(shù).因此，當0<a<2時，BC邊上不存在點Q使PQQD；當a2時，BC邊上存在惟一一點Q（即BC的中點），使PQQD；當a>2時，BC邊上存在不同的兩點Q，使PQQD.2. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBCECAA1.（1） 求證：AC1平面BDE；（2） 求證：A1E平面BDE.證明：（1） 連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OE.在長方體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABCD是正方形，點O為AC的中點，AA1CC1且AA1CC1，由ECAA1，得ECCC1，即點E為CC1的中點，于是在CAC1中，AC1OE.因為OE平面BDE，AC1平面BDE，所以AC1平面BDE.（2） 連結(jié)B1E.設(shè)ABa，則在BB1E中，BEB1Ea，BB12a.所以BE2B1E2BB，所以B1EBE.在長方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BE平面BB1C1C，所以A1B1BE.因為B1EA1B1 B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，所以BE平面A1B1E.因為A1E平面A1B1E，所以A1EBE.同理A1EDE.又因為BEDEE，BE 平面BDE，DE 平面BDE，所以A1E平面BDE.3. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，點E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，PAAD.求證：（1） CDPD；（2） EF平面PCD.證明：（1） PA底面ABCD， CDPA.又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，AD，PA平面PAD， CD平面PAD， CDPD.（2） 如圖，取PD的中點G，連結(jié)AG，F(xiàn)G. 點G，F(xiàn)分別是PD，PC的中點， GF綊CD， GF綊AE， 四邊形AEFG是平行四邊形， AGEF. PAAD，G是PD的中點， AGPD， EFPD. CD平面PAD，AG平面PAD， CDAG， EFCD. PDCDD，PD，CD平面PCD， EF平面PCD.4. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點為D，B1CBC1E. 求證：（1） DE平面AA1C1C；（2） BC1AB1.證明：（1） 由題意知，點E為B1C的中點，又點D為AB1的中點，因此DEAC.因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.（2） 因為棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因為AC平面ABC，所以ACCC1.因為ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.因為BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因為BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因為AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.因為AB1平面B1AC，所以BC1AB1.5. 如圖，在四邊形ABEF中，AFBF，點O為AB的中點，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直.（1） 求證：AF平面CBF；（2） 設(shè)FC的中點為M，求證：OM平面DAF.證明：（1） 因為平面ABCD平面ABEF，在矩形ABCD中，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，所以CB平面ABEF.又AF平面ABEF，則AFCB.又AFBF，且BFBCB，BF，BC平面CBF，所以AF平面CBF.（2） 設(shè)DF的中點為N，如圖，連結(jié)AN，NM，則MN綊CD.又AO綊CD，則MN綊AO，所以四邊形MNAO為平行四邊形，所以O(shè)MAN.又AN平面DAF，OM平面DAF，所以O(shè)M平面DAF.【示例】（本題模擬高考評分標準，滿分14分）如圖，四棱錐PABCD的底面為平行四邊形，PD平面ABCD，點M為PC的中點.（1） 求證：AP平面MBD；（2） 若ADPB，求證：BD平面PAD.學生錯解：證明：（1） 如圖，連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OM.則點O為AC的中點.又點M為PC的中點，所以O(shè)MPA.因為OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP平面MBD.（2） 因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.因為ADPB，所以AD平面PBD.因為BD平面PBD，所以ADBD.因為PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD.因為BDAD，所以BD平面PAD.錯因分析：本題（2）中利用直線與平面垂直的判定定理時，條件交待不全，導致失分.審題引導： 使用有關(guān)定理，必須寫全條件，并且不能出現(xiàn)多余條件，嚴格按照定理描述進行表達.規(guī)范解答： 證明：（1） 如圖，連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OM.因為底面ABCD是平行四邊形，所以點O為AC的中點.（2分）又點M為PC的中點，所以O(shè)MPA.（4分）因為OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP平面MBD.（6分）（2） 因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.（8分）因為ADPB，PDPBP，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD平面PBD.（10分）因為BD平面PBD，所以ADBD.（12分）因為PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD.因為BDAD，ADPDD，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD平面PAD.（14分）1. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點.若B1MN是直角，則C1MN.答案：90解析： 在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1C1平面ABB1A1， B1C1MN. MNB1M，B1MB1C1B1，B1M平面C1B1M，B1C1平面C1B1M， MN平面C1B1M， MNC1M， C1MN90.2. 如圖，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BEBC，AEBE， M為CE上一點，且BM平面ACE.（1） 求證：AEBC；（2） 如果點N為線段AB的中點，求證：MN平面ADE.證明：（1） 因為BM平面ACE，AE平面ACE，所以BMAE. 因為AEBE，BEBMB，BE，BM平面EBC，所以AE平面EBC. 因為BC平面EBC，所以AEBC. （2） 取DE中點H，連結(jié)MH，AH.因為BM平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC.因為BEBC，所以點M為CE的中點.所以MH為EDC的中位線.所以MH綊DC.因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以DC綊AB，故MH綊AB.因為點N為AB中點，所以MH綊AN.所以四邊形ANMH為平行四邊形，所以MNAH. 因為MN平面ADE，AH平面ADE，所以MN平面ADE. 3. 如圖，已知矩形ABCD，過A點作SA平面ABCD，再過A點作AESB交SB于點E，過E點作EFSC交SC于點F.（1） 求證：AFSC；（2） 若平面AEF交SD于點G，求證：AGSD.證明：