課時(shí)分層作業(yè)(十三) 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(建議用時(shí)：40分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、選擇題1方程y2所表示曲線的形狀是()D方程y2等價(jià)于故選D.2過(guò)拋物線C：y212x的焦點(diǎn)作直線l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1x26，則|AB|()A16 B12C10D8B由題意知p6，故|AB|x1x2p12.3過(guò)點(diǎn)(2,4)的直線與拋物線y28x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342115】A1條B2條 C3條D4條B點(diǎn)(2,4)在拋物線y28x上，則過(guò)該點(diǎn)與拋物線相切的直線和過(guò)該點(diǎn)與x軸平行的直線都與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故選B.4已知拋物線y22px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 ()Ax1Bx1Cx2Dx2B易知拋物線的焦點(diǎn)為F，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線的方程為yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系得p2(y1，y2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線的方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1.5設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么|PF|()A4B8 C8D16B設(shè)P(x0，y0)，則A(2，y0)，又F(2,0)所以，即y04.由y8x0得8x048，所以x06.從而|PF|628.二、填空題6直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k_.0或1當(dāng)k0時(shí)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，當(dāng)k0時(shí)，聯(lián)立方程消去y得k2x24(k2)x40，由題意16(k2)216k20，k1.72017設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若FAC120，則圓的方程為_(kāi)(x1)2(y)21由y24x可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x1.由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，圓的半徑為1，CAO90.又因?yàn)镕AC120，所以O(shè)AF30，所以|OA|，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為.所以圓的方程為(x1)2(y)21.8拋物線y24x上的點(diǎn)到直線xy40的最小距離為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342116】設(shè)與直線xy40平行且與拋物線y24x相切的直線方程為xym0.由得x2(2m4)xm20則(2m4)24m20，解得m1即直線方程為xy10直線xy40與直線xy10的距離為d.即拋物線y24x上的點(diǎn)到直線xy40的最小距離為.三、解答題9已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P(4，m)到焦點(diǎn)的距離為6.(1)求拋物線C的方程(2)若拋物線C與直線ykx2相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值解(1)由題意設(shè)拋物線方程為y22px，其準(zhǔn)線方程為x，因?yàn)镻(4，m)到焦點(diǎn)的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離，所以46，所以p4，所以拋物線C的方程為y28x.(2)由消去y，得k2x2(4k8)x40.因?yàn)橹本€ykx2與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則有k0，64(k1)>0，解得k>1且k0.又2，解得k2或k1(舍去)，所以k的值為2.10已知AB是拋物線y22px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)求證：(1)若AB的傾斜角為，則|AB|；(2)x1x2，y1y2p2；(3)為定值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342117】證明(1)設(shè)直線AB的方程為xmy，代入y22px，可得y22pmyp20，y1y2p2，y1y22pm，yy2p(x1x2)(y1y2)22y1y24p2m22p2，x1x22pm2p，90時(shí)，m0，x1x2p，|AB|x1x2p2p；90時(shí)，m，x1x2p，|AB|x1x2p2p.|AB|.(2)由(1)知，y1y2p2，x1x2；(3).能力提升練1已知拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為30的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若(0,1)，則()A. B. C. D.C因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F，故過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30的直線的方程為yx，與拋物線方程聯(lián)立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以，故選C.2過(guò)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上，且MNl，則M到直線NF的距離為()A.B2 C2D3C拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線MF的方程為y(x1)聯(lián)立得方程組解得或點(diǎn)M在x軸的上方，M(3,2)MNl，N(1,2)|NF|4，|MF|MN|4.MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為2.故選C.3已知點(diǎn)A(2,0)，B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y24x上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是_(0,0)設(shè)P(x0，y0)，則(x02，y0)，(x04，y0)，所以(x02)(x04)y，又y4x0，所以x10x08(x05)217，因?yàn)閤00，所以當(dāng)x00時(shí)，取得最小值此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)4已知拋物線y24x，過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則yy的最小值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342118】32y4x1，y4x2，則yy4(x1x2)若過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線垂直于x軸，則直線方程為x4，此時(shí)x1x28，yy32，若過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線存在斜率，則設(shè)直線方程為yk(x4)，由得k2x2(8k24)x16k20，則x1x28>8，此時(shí)yy>32因此yy的最小值為32.5已知點(diǎn)A，B是拋物線y22px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OAOB.(1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積(2)求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)解(1)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有kOA，kOB.因?yàn)镺AOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因?yàn)閥2px1，y2px2，所以y1y20.因?yàn)閥10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)證明：因?yàn)閥2px1，y2px2，兩式相減得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直線AB的方程為yy1(xx1)，所以yy1，即y.因?yàn)閥2px1，y1y24p2，代入整理得y，所以y(x2p)，即直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0).