新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第三節(jié)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 例1(2013·安徽高考)如圖，正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))當(dāng)0<CQ<時(shí)，S為四邊形；當(dāng)CQ時(shí)，S為等腰梯形；當(dāng)CQ時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足 C1R；當(dāng)<CQ<1時(shí)，S為六邊形；當(dāng)CQ1時(shí)，S的面積為.自主解答對(duì)于，如圖1，因?yàn)檎襟wABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)CQ時(shí)，PQ，這時(shí)過A，P，Q三點(diǎn)的截面與正方體表面交于點(diǎn)D1，APD1Q，且PQAD1，截面S為等腰梯形，當(dāng)0<CQ<時(shí)，過A，P，Q三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱DD1上，截面S為四邊形，故正確；對(duì)于，如圖2，延長(zhǎng)QR交DD1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN交A1D1于點(diǎn)M，連接MC1.取AD的中點(diǎn)G，作GHPQ交DD1于點(diǎn)H，可得GHAN，且GHAN，設(shè)CQt，則DN2t，ND12t1，當(dāng)t時(shí)，可得C1R，故正確，當(dāng)<t<1時(shí)，S為五邊形，故錯(cuò)誤，當(dāng)t1時(shí)，M為A1D1的中點(diǎn)，來源:S為菱形APC1M，AN，APPC1，C1N，S的面積菱形APC1M的面積2SC1MN2×××，故正確答案【方法規(guī)律】共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合(2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)如圖所示，正方體ABCD ­A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)證明：(1)連接EF，CD1，A1B.E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E、C、D1、F四點(diǎn)共面(2)四邊形EFD1C是梯形，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA.CE、D1F、DA三線共點(diǎn)考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系 例2如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確結(jié)論的為_(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))自主解答直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以錯(cuò)誤點(diǎn)B、B1、N在平面B1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN、MB1是異面直線同理AM、DD1也是異面直線答案【互動(dòng)探究】在本例中，若M，N分別為BC1，CD1的中點(diǎn)，試判斷MN與A1B1的位置關(guān)系解：由于MN與平面DCC1D1相交于N點(diǎn)，C1D1平面DCC1D1，且C1D1與MN沒有公共點(diǎn)，所以MN與C1D1是異面直線又因?yàn)镃1D1A1B1，且A1B1與MN沒有公共點(diǎn)，所以A1B1與MN是異面直線 【方法規(guī)律】判定空間直線位置關(guān)系的三種類型及方法(1)異面直線，可采用直接法或反證法來源:數(shù)理化網(wǎng)(2)平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理(3)垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決如圖所示，G、H、M、N分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào))解析：圖(1)中，直線GHMN；圖(2)中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖(3)中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖(4)中，G、M、N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面來源:所以圖(2)、(4)中GH與MN異面答案：(2)(4)考點(diǎn)三異面直線所成的角 例3如圖所示，在三棱錐P­ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點(diǎn)已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐P­ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值自主解答(1)SABC×2×22，故三棱錐P­ABC的體積為V·SABC·PA×2×2.(2)如圖所示，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則DEBC，所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，則cosADE.即異面直線BC與AD所成角的余弦值為.【方法規(guī)律】1找異面直線所成的角的三種方法(1)利用圖中已有的平行線平移(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移(3)補(bǔ)形平移2求異面直線所成角的三個(gè)步驟(1)作：通過作平行線，得到相交直線(2)證：證明相交直線所成的角或其補(bǔ)角為異面直線所成的角來源:(3)算：通過解三角形，求出該角在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BAC90°，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30° B45° C60° D90°解析：選C分別取AB、AA1、A1C1的中點(diǎn)D、E、F，連接DE，EF，DF，如圖所示，則BA1DE，AC1EF.所以異面直線BA1與AC1所成的角為DEF(或其補(bǔ)角)，設(shè)ABACAA12，則DEEF，DF，由余弦定理得，cosDEF，則DEF120°.又因?yàn)楫惷嬷本€夾角的取值范圍為，所以異面直線BA1與AC1所成的角為60°.課堂歸納通法領(lǐng)悟2種方法異面直線的判定方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線(2)反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面來源:3個(gè)作用3個(gè)公理的作用(1)公理1的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)；由直線的直刻畫平面的平(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法(3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點(diǎn)共線