課時分層作業(yè)(十六) 空間向量的正交分解及其坐標表示(建議用時：40分鐘)基礎(chǔ)達標練一、選擇題1給出下列命題：若a，b，c可以作為空間的一個基底，d與c共線，d0，則a，b，d也可以作為空間的一個基底；已知向量ab，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底；A，B，M，N是空間四點，若，不能構(gòu)成空間的一個基底，則A，B，M，N四點共面；已知a，b，c是空間的一個基底，若mac，則a，b，m也是空間的一個基底其中正確命題的個數(shù)是()A1 B2C3D4D根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底顯然正確中由，不能構(gòu)成空間的一個基底，知，共面又，過相同點B，知A，B，M，N四點共面所以正確下面證明正確：假設(shè)d與a，b共面，則存在實數(shù)，使得dab，d與c共線，c0，存在實數(shù)k，使得dkCd0，k0，從而cab，c與a，b共面，與條件矛盾，d與a，b不共面同理可證也是正確的于是四個命題都正確，故選D2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M是上底面對角線AC與BD的交點，若a，b，c，則可表示為()AabcBabcCabcDabcD由于()abc，故選D3正方體ABCDABCD中，O1，O2，O3分別是AC，AB，AD的中點，以1，2，3為基底，x1yz3，則x，y，z的值是()Axyz1BxyzCxyzDxyz2A()()()，由空間向量的基本定理，得xyz1.4已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a，向量b，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是() 【導(dǎo)學(xué)號：46342150】A BC D或C因為ab2，所以a，b與共面，不能構(gòu)成空間的一個基底5如圖3133，在空間直角坐標系中，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，B1EA1B1，則等于()圖3133ABCDC由圖知B(1,1,0)，E，所以.二、填空題6已知空間的一個基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m與n共線，則x_，y_.11因為m與n共線，所以存在實數(shù)，使mn，即abcxaybc，于是有解得7如圖3134, 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC和BD的交點，若a，b，c，則_.圖3134abc()()abC8已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如圖3135所示的空間直角坐標系，M，N分別是AB，PC的中點，并且PAAD1，則的坐標為_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342151】圖3135PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，M，P(0,0,1)，C(1,1,0)，則N.三、解答題9如圖3136，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，試用a，b，c表示.圖3136解連接AN，則.由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形，從而可得ab，(ab)，又bc，故b(bc)，所以(ab)b(bc)(abc)10如圖3137，在正四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，O是AC與BD的交點，PO1，M是PC的中點設(shè)a，b，C圖3137(1)用向量a，b，c表示.(2)在如圖的空間直角坐標系中，求的坐標. 【導(dǎo)學(xué)號：46342152】解(1)，()()abC(2)a(1,0,0)，b(0,1,0)A(0,0,0)，O，P，c，abc(1,0,0)(0,1,0).能力提升練1已知M，A，B，C四點互不重合且任意三點不共線，則下列式子中能使向量，成為空間的一個基底的是()AOAOBOCBCD2C對于選項A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四點共面，知，共面；對于選項B，D，易知，共面，故選C2已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底，下的坐標為(2,1，3)，則向量a在基底，下的坐標為()A(2,1，3)B(1,2，3)C(1，8,9)D(1,8，9)Ba232323DD1，向量a在基底，下的坐標為(1,2，3)，故選B3在空間四邊形ABCD中，a2c，5a5b8c，對角線AC，BD的中點分別是E，F(xiàn)，則_.3ab3c()()()()3ab3c4已知向量p在基底a，b，c下的坐標為(2,1，1)，則p在基底2a，b，c下的坐標為_；在基底ab，ab，c下的坐標為_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342153】(1,1,1)由題意知p2abc，則向量p在基底2a，b，c下的坐標為(1,1,1)設(shè)向量p在基底ab，ab，c下的坐標為(x，y，z)，則px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc又p2abc，解得x，y，z1；p在基底ab，ab，c下的坐標為.5已知e1，e2，e3為空間的一個基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判斷P，A，B，C四點是否共面(2)能否以，作為空間的一個基底？若能，試以這一基底表示；若不能，請說明理由解(1)假設(shè)P，A，B，C四點共面，則存在實數(shù)x，y，z，使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)比較對應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于x，y，z的方程組，解得，與xyz1矛盾，故P，A，B，C四點不共面(2)若OA，共面，則存在實數(shù)m，n，使mn，同(1)可證，不共面，因此，可以作為空間的一個基底，令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，得，所以2e1e23e32(3ab5c)(ac)3(4ab7c)17a5b30c17530.