專題四平面向量命題觀察·高考定位(對應學生用書第12頁)1(20xx·江蘇高考)如圖41，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1，與的夾角為，且tan 7，與的夾角為45°.若mn(m，nR)，則mn_.圖413法一因為tan 7，所以cos ，sin .過點C作CDOB交OA的延長線于點D，則，OCD45°.又因為mn，所以m，n，所以|m，|n.在COD中，由正弦定理得，因為sin ODCsin (180°OCD)sin (OCD)，即，所以n，m，所以mn3.法二由tan 7可得cos ，sin ，則，由cosBOC可得，cos AOBcos (45°)cos cos 45°sin sin 45°××，則·，則mn，mn1，則mn，則mn3.2(20xx·江蘇高考)如圖42，在ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，·4，·1，則·的值是_圖42由題意，得·()·()()·()22|2|21，·()·()(3)·(3)9229|2|24.由得|2，|2.·()·()(2)·(2)4224|2|24×.3(20xx·江蘇高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_3manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.4(20xx·江蘇高考)設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_由題意()，于是1，2，故12.5(20xx·江蘇高考) 如圖43，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，則·的值是_. 【導學號：56394021】圖4322由3，得，.因為·2，所以·2，即2·22.又因為25，64，所以·22.命題規(guī)律平面向量的命題以客觀題為主，主要考查平面向量的基本概念、向量的線性運算、向量的平行與垂直、向量的數(shù)量積，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，在解答題中常與三角函數(shù)相結合，或作為解題工具應用到解析幾何問題中主干整合·歸納拓展(對應學生用書第12頁)第1步 核心知識再整合1平面向量的兩個重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù)，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底2平面向量的兩個充要條件若兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)ababx1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.3平面向量的三個性質(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .第2步 高頻考點細突破平面向量的線性運算【例1】(江蘇省南通市如東高中高三上學期第二次調研)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點若·，則AB的長為_解析根據(jù)條件：·()·()()·2·2|2|1.16|28|10，解得|.故答案為.答案規(guī)律方法向量加法：“尾首相接，首尾相連”，向量減法：“共起點，連終點，指向被減向量”舉一反三 (江蘇省南通中學高三上學期期中考試)如圖44，在正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么_.(用和表示)圖44.向量共線的充要條件【例2】(南京市高三年級學情調研)設向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b，若ac，則實數(shù)x的值是_. 【導學號：56394022】解析由題意得(1，4)(2，43x)843xx4.答案4規(guī)律方法向量a，b(a0)共線的充要條件是ba，R，用坐標表示就是a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的充要條件是x1y2x2y10.舉一反三 (高三七校聯(lián)考期中考試)如圖45，梯形ABCD中，ABCD，AB6，ADDC2，若·14，則·_.圖452·()·()·()··()···，·6×214·2.平面向量的數(shù)量積【例3】(南京市高三年級學情調研)在ABC中，已知AB3，BC2，D在AB上，若·3，則AC的長是_解析|1，|2；·3cos ，所以22222|.答案規(guī)律方法向量a·b|a|b|cosa，b，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.舉一反三(江蘇省泰州中學高三上學期第二次月考)設平面向量a(x,4)，b(y，2)，c(2,1)(其中x0，y0)，若(ac)(bc)，則|ab|的最小值為_2a(x,4)，b(y，2)，c(2,1)，ac(x2,3)，bc(y2，3)，由(ac)(bc)，得(x2)(y2)90，即xy2(xy)50.又x0，y0，2(xy)5xy，解得xy2(舍)，或xy10.|ab|2.求兩向量的夾角【例4】(高三七校聯(lián)考期中考試)如圖46，在2×4的方格紙中，若a和b是起點和終點均在格點的向量，則向量2ab與ab的夾角余弦值是_圖46解析a(2，1)，b(3,2)，所以2ab(7,0)，ab(1，3)，因此向量2ab與ab的夾角余弦值是.答案規(guī)律方法cosa，b，a2|a|2.舉一反三(泰州中學高三上學期期中考試)在ABC中，(3)·0，則角A的最大值為_由題設可得accos B3abcos C0，即ccos B3bcos C，也即sin Ccos B3sin Bcos C，故tan C3tan B，由于tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，因此3tan Atan2B2tan Btan A0，故412tan2A0，所以tan A，所以Amax.平面向量和平面幾何的綜合問題【例5】(江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高中高三下學期期中)已知點A(2,3)，點B(6，3)，點P在直線3x4y30上，若滿足等式·20的點P有兩個，則實數(shù)的取值范圍是_. 【導學號：56394023】解析由點P在直線3x4y30上，設P，則，·(x2)(x6)29(25x2110x57)，又·20，(25x2110x57)20，化簡得25x2110x57320，根據(jù)題意(110)24×25×(5732)0，解得2，實數(shù)的取值范圍是(，2)答案 (，2)規(guī)律方法平面向量本身就具有代數(shù)和幾何的雙重特征，與平面幾何的綜合問題是最自然最常見的問題，在解題過程中要抓住圖形的幾何特征，充分利用幾何元素的幾何性質解決問題舉一反三(泰州中學20xx度第一學期第一 次質量檢測文科)已知點O為ABC內(nèi)一點，且230，則AOB，AOC，BOC的面積之比等于_321230，所以C為AB三等分點(靠近B)，如圖，所以SAOCSAOC；SBOCSBOC；SAOC2SBOC；SAOBSAOCSBOC，即AOB，AOC，BOC的面積之比等于3SBOC2SBOCSBOC321.第3步 高考易錯明辨析1誤把兩向量數(shù)量積大于(小于)0當作兩向量夾角為銳角(鈍角)的充要條件已知|a|，|b|3，a，b的夾角為45°，當向量ab與ab的夾角為銳角時，求實數(shù)的取值范圍錯解a·b|a|b|cos 45°3，因為向量ab與ab的夾角為銳角，所以(ab)·(ab)0，由(ab)·(ab)a2(1)a·bb21250，得，所以的取值范圍是.正解a·b|a|b|cos 45°3，因為向量ab與ab的夾角為銳角，所以(ab)·(ab)0，由(ab)·(ab)a2(1)a·bb21250，得，當向量ab與ab方向相同時，1，即當1時，雖然(ab)·(ab)0，但向量ab與ab夾角為0°，所以的取值范圍是(1，)2忽視兩向量夾角的概念導致錯誤在ABC中，(1，)，(3,0)，則角B的大小為_錯解因為cos B，且B(0，)，所以B.正解根據(jù)向量的夾角的定義，向量與的夾角應是角B補角，所以cos(B)，又B(0，)，所以B，從而B.3忽視變量取值范圍導致錯誤如圖47，在ABC中，BAC120°，AB1，AC2，D為BC邊上一點，則·的取值范圍為_圖47錯解·|cosBAC1，·22·2，因為，所以0,1，當0時，2取最大值5，當1時，2，所以·的取值范圍為.正解·|cosBAC1，·22·2，因為，所以0，)，當0時，2取最大值5，當時，22取最小值，所以·的取值范圍為(2,5專家預測·鞏固提升(對應學生用書第14頁)1(改編題)已知A，B，C為圓O上的三點，若()，則與的夾角為_90°由()，故O，A，C三點共線，且O是線段AC中點，故AC是圓O的直徑，從而ABC90°，因此與的夾角為90°.2(改編題)ABC中，|AB|10，|AC|15，BAC，點M是邊AB的中點，點N在直線AC上，且3，直線CM與BN相交于點P，則線段AP的長為_. 【導學號：56394024】法一如圖，()(1)，()(1)，于是解得即，|2(4×|22×2·|2)37，故|.法二因為B、P、N三點共線，有x(1x)x，同理，因為C、P、M三點共線，有y(1y)(1y)，根據(jù)向量相等的充要條件，有解得：x，y，于是，.(下同法一)法三以A 為原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系：由已知可得：C(15,0)，N(5,0)，B(5,5)，M，于是BN所在直線方程為x5，CM所在直線方程為y (x15)，解得P(5,2)，故|AP|.3(新穎題)已知曲線C：x，直線l：x6.若對于點A(m,0)，存在C上的點P和l上的點Q使得0，則m的取值范圍為_2,3由0知A是PQ的中點，設P(x，y)，則Q(2mx，y)，由題意2x0，2mx6，解得2m3.4(原創(chuàng)題)ABC中，BAC120°，AB2，AC1，D是邊BC 上的一點(包括端點)，則·的取值范圍是_5,2D是邊BC上的一點(包括端點)，可設(1)，(01)BAC120°，AB2，AC1，·2×1×cos 120°1.·(1)·()(21)·2(1)2(21)4172.01，(72)5,2·的取值范圍是5,2