2.3.2平面與平面垂直的判定【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)二面角的概念及求解3,6,8,9,10面面垂直的定義及判定定理的理解1面面垂直的判定4,5綜合問(wèn)題2,7,11,12基礎(chǔ)鞏固1.下列說(shuō)法中,正確的是(B)(A)垂直于同一直線的兩條直線互相平行(B)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行(C)垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行(D)平行于同一平面的兩條直線互相平行解析:A.垂直于同一直線的兩條直線可能平行、相交或異面.B.正確.C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的兩條直線可能相交、平行或異面.只有B正確.2.(2018江西三市聯(lián)考)設(shè)a,b是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則(C)(A)若a,b,則ab(B)若a,a,則(C)若ab,a,則b(D)若a,則a解析:選項(xiàng)A.若a,b,則ab,或a,b異面或a,b相交,A錯(cuò);選項(xiàng)B.若a,a,則,或=b,B錯(cuò);選項(xiàng)C.若ab,a,則b,C正確;選項(xiàng)D.若a,則a或a或a,D錯(cuò).故選C.3.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上一點(diǎn)(不同于A,B)且PA=AC,則二面角P-BC-A的大小為(C)(A)60(B)30(C)45(D)15解析:易得BC平面PAC,所以PCA是二面角P-BC-A的平面角,在RtPAC中,PA=AC,所以PCA=45.故選C.4.如圖所示,已知PA矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平面有(D)(A)2對(duì)(B)3對(duì)(C)4對(duì)(D)5對(duì)解析:由PA矩形ABCD知,平面PAD平面ABCD,平面PAB平面ABCD;由AB平面PAD知,平面PAB平面PAD;由BC平面PAB知,平面PBC平面PAB;由DC平面PAD知,平面PDC平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對(duì).選D.5.如圖,四邊形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,構(gòu)成幾何體A-BCD,則在幾何體A-BCD中,下列結(jié)論正確的是(D)(A)平面ABD平面ABC(B)平面ADC平面BDC(C)平面ABC平面BDC(D)平面ADC平面ABC解析:由已知得BAAD,CDBD,又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD,從而CDAB,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.選D.6.如圖所示,在ABC中,ADBC,ABD的面積是ACD的面積的2倍.沿AD將ABC翻折,使翻折后BC平面ACD,此時(shí)二面角B-AD-C的大小為(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在RtBCD中,BDC=60,而ADBD,CDAD,故BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小為60.故選C.7.如圖,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,將ABC沿斜邊BC上的高AD折疊,使平面ABD平面ACD,則折疊后BC=.解析:因?yàn)樵谠瑼BC中,ADBC,所以折疊后有ADBD,ADCD,所以BDC是二面角B-AD-C的平面角.因?yàn)槠矫鍭BD平面ACD,所以BDC=90.在RtBCD中,BDC=90,BD=CD=22,所以BC=(22)2+(22)2=1.答案:18.如圖所示,=CD,P為二面角內(nèi)部一點(diǎn).PA,PB,垂足分別為A,B.(1)證明:ABCD;(2)若PAB為等邊三角形,求二面角-CD-的大小.(1)證明:因?yàn)镻APACD,PBPBCD,PAPB=P,所以CD平面PAB,所以ABCD.(2)解:如圖所示,設(shè)平面PABCD=O,則由(1)可知,OBCD,OACD,從而BOA是二面角-CD-的平面角.因?yàn)镻AOA,PBOB,所以AOB+APB=180.因?yàn)镻AB為等邊三角形,所以APB=60.故二面角-CD-的平面角為120.能力提升9.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點(diǎn),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(D) (A)D1O平面A1BC1(B)MO平面A1BC1(C)異面直線BC1與AC所成的角等于60(D)二面角M-AC-B等于90解:對(duì)于選項(xiàng)A,連接B1D1,交A1C1于E,連接BO,則四邊形D1OBE為平行四邊形,所以D1OBE,因?yàn)镈1O平面A1BC1,BE平面A1BC1,所以D1O平面A1BC1,故正確;對(duì)于選項(xiàng)B,連接B1D,因?yàn)镺為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點(diǎn),所以MOB1D,易證B1D平面A1BC1,所以MO平面A1BC1,故正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)锳CA1C1,所以A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角,因?yàn)锳1C1B為等邊三角形,所以A1C1B=60,故正確;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)锽OAC,MOAC,所以 MOB為二面角M-AC-B的平面角,顯然不等于90,故不正確.綜上知,選D.10.正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于.解析:設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn),因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體,所以AOBD,又AA1平面ABCD,所以AA1BD,又AOAA1=A,所以BD平面A1AO,所以BDA1O,所以A1OA為二面角A1-BD-A的平面角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,在直角A1AO中,AA1=a,AO=22a,所以tanA1OA=a22a=2.答案:211.如圖所示,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,ACBD=O.將三角形ABD沿BD折起,得到三棱錐A-BCD.(1)求證:平面AOC平面BCD,(2)若三棱錐A-BCD的體積為63,求AC的長(zhǎng).(1)證明:折疊前,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BDAO,BDCO.在折疊后的ABD和BCD中,仍有BDAO,BDCO.因?yàn)锳OCO=O,AO平面AOC,CO平面AOC,所以BD平面AOC.因?yàn)锽D平面BCD,所以平面AOC平面BCD.(2)解:設(shè)三棱錐A-BCD的高為h,由于三棱錐A-BCD的體積為63,所以13SBCDh=63.因?yàn)镾BCD=12BCCD=1222=2,所以h=62<AO=2.以下分兩種情形求AC的長(zhǎng).當(dāng)AOC為鈍角時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)A作CO的垂線AH交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,由(1)知BD平面AOC,所以BDAH.又COAH,且COBD=O,所以AH平面BCD.所以AH為三棱錐A-BCD的高,即AH=62.在RtAOH中,因?yàn)锳O=2,所以O(shè)H=AO2-AH2=(2)2-(62)2=22.在RtACH中,因?yàn)镃O=2,所以CH=CO+OH=2+22=322,所以AC=AH2+CH2=(62)2+(322)2=6.當(dāng)AOC為銳角時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)A作CO的垂線AN交CO于點(diǎn)N,由(1)知BD平面AOC,所以BDAN.又COAN,且COBD=O,CO平面BCD,BD平面BCD,所以AN平面BCD.所以AN為三棱錐A-BCD的高,即AN=62.在RtAON中,因?yàn)锳O=2,所以O(shè)N=AO2-AN2=(2)2-(62)2=22.在RtACN中,因?yàn)镃O=2,所以CN=CO-ON=2-22=22,所以AC=AN2+CN2=(62)2+(22)2=2.綜上可知,AC的長(zhǎng)為2或6.探究創(chuàng)新12.如圖所示,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1平面A1BD,D為AC的中點(diǎn).(1)求證:B1C平面A1BD;(2)求證:B1C1平面ABB1A1;(3)設(shè)E是CC1上一點(diǎn),試確定E的位置使平面A1BD平面BDE,并說(shuō)明理由.(1)證明:連接AB1,與A1B相交于M,則M為A1B的中點(diǎn),連接MD.又D為AC的中點(diǎn),所以B1CMD.又B1C平面A1BD,MD平面A1BD,所以B1C平面A1BD.(2)證明:因?yàn)锳B=B1B,所以四邊形ABB1A1為正方形.所以A1BAB1.又因?yàn)锳C1平面A1BD,所以AC1A1B.所以A1B平面AB1C1,所以A1BB1C1.又在棱柱ABC-A1B1C1中BB1B1C1,所以B1C1平面ABB1A.(3)解:當(dāng)點(diǎn)E為C1C的中點(diǎn)時(shí),平面A1BD平面BDE,因?yàn)镈,E分別為AC,C1C的中點(diǎn),所以DEAC1.因?yàn)锳C1平面A1BD,所以DE平面A1BD.又DE平面BDE,所以平面A1BD平面BDE.