新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和 來源:考點一等比數(shù)列的判定與證明 例1已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求證：bn是等比數(shù)列自主解答an2Sn2Sn14an124an24an14an.2，S2a1a24a12，a25.b1a22a13.數(shù)列bn是首項為3，公比為2的等比數(shù)列【互動探究】保持本例條件不變，若cn，證明：cn是等比數(shù)列證明：由例題知，bn3·2n1an12an，3.數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列2(n1)×33n1，an(3n1)·2n2，cn2n2.2.數(shù)列cn為等比數(shù)列【方法規(guī)律】等比數(shù)列的判定方法證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可已知等比數(shù)列an的公比為q，記bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1·am(n1)2··am(n1)m(m，nN*)，則以下結(jié)論一定正確的是()A數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為qmB數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為q2mC數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qm2D數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qmm解析：選Cbnam(n1)1·(1qq2qm1)，qm，故數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為qm，選項A、B均錯誤；cna·q12(m1)，m(qm)mqm2，故數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qm2，D錯誤，故選C.高頻考點考點二 等比數(shù)列的基本運算來源:1等比數(shù)列的基本運算是高考的常考內(nèi)容，題型既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中低檔題2高考對等比數(shù)列的基本運算的考查常有以下幾個命題角度：(1)化基本量求通項；(2)化基本量求特定項；(3)化基本量求公比；(4)化基本量求和例2(1)(2013·新課標全國卷)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A. B C. D(2)(2012·浙江高考)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S23a22，S43a42，則q_.(3)(2013·湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2a3a418.求數(shù)列an的通項公式；是否存在正整數(shù)n，使得Sn2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由自主解答(1)由已知條件及S3a1a2a3，得a39a1，設(shè)數(shù)列an的公比為q，則q29.所以a59a1·q481a1，得a1.(2)由S23a22，S43a42作差，可得a3a43a43a2，即2a4a33a20，所以2q2q30，解得q或q1(舍)(3)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則a10，q0.由題意得即解得故數(shù)列an的通項公式為an3×(2)n1.由有Sn1(2)n.來源:若存在n，使得Sn2 013，則1(2)n2 013，即(2)n2 012.當n為偶數(shù)時，(2)n>0，上式不成立；當n為奇數(shù)時，(2)n2n2 012，即2n2 012，則n11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n|n2k1，kN，k5答案(1)C(2)等比數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略(1)化基本量求通項求等比數(shù)列的兩個基本元素a1和q，通項便可求出，或利用知三求二，用方程求解(2)化基本量求特定項利用通項公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解(3)化基本量求公比利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，建立方程組求解(4)化基本量求和直接將基本量代入前n項和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解1(2013·新課標全國卷)設(shè)首項為1，公比的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an解析：選D因為a11，公比q，所以ann1，Sn332n132an.2(2014·寧波模擬)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項公式an_.解析：設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公比為q，aa10,2(anan2)5an1，由得a1q，由知q2或q，又數(shù)列an為遞增數(shù)列，a1q2，從而an2n.答案：2n3等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解：(1)S1，S3，S2成等差數(shù)列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0，又q0，從而q.(2)由已知可得a1a123，故a14，從而Sn.考點三等比數(shù)列的性質(zhì) 例3(1)已知等比數(shù)列an中，a1a2a340，a4a5a620，則前9項之和等于()A50 B70 C80 D90(2)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7 B5 C5 D7來源:自主解答(1)S3，S6S3，S9S6成等比數(shù)列，S3·(S9S6)(S6S3)2，又S340，S6402060，40(S960)202，故S970.(2)由已知得解得或當a44，a72時，易得a18，a101，從而a1a107；來源:當a42，a74時，易得a108，a11，從而a1a107.答案(1)B(2)D【方法規(guī)律】等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項公式的變形；(2)等比中項的變形；(3)前n項和公式的變形根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口1記等比數(shù)列an的前n項積為Tn(nN*)，已知am1·am12am0，且T2m1128，則m的值為()A4 B7 C10 D12解析：選A因為an是等比數(shù)列，所以am1am1a，又由am1am12am0，可知am2.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前(2m1)項積T2m1a，即22m1128，故m4.2在等比數(shù)列an中，若a1·a2·a3·a41，a13·a14·a15·a168，則a41·a42·a43·a44_.解析：法一：a1·a2·a3·a4a1·a1q·a1q2·a1q3a·q61，a13·a14·a15·a16a1q12·a1q13·a1q14·a1q15a·q548，由÷，得q488q162，又a41·a42·a43·a44a1q40·a1q41·a1q42·a1q43a·q166a·q6·q160(a·q6)·(q16)101×2101 024.法二：由性質(zhì)可知，依次4項的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，T1a1·a2·a3·a41，T4a13·a14·a168，T4T1·q31·q38，即q2.T11a41·a42·a43·a44T1·q102101 024.答案：1 024課堂歸納通法領(lǐng)悟2個注意點應(yīng)用等比數(shù)列的公比應(yīng)注意的問題(1)由an1qan(q0)，并不能斷言an為等比數(shù)列，還要驗證a10.(2)在應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1和q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情況而導(dǎo)致錯誤4種方法等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2)，則an是等比數(shù)列；(2)等比中項法：在數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列；(4)前n項和公式法：若數(shù)列an的前n項和Snk·qnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列注意：前兩種方法也可用來證明一個數(shù)列為等比數(shù)列