《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 4 弦切角的性質(zhì) Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 4 弦切角的性質(zhì) Word版含解析（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 四　弦切角的性質(zhì) 1．掌握弦切角定理，并能利用它解決有關(guān)問題．(重點(diǎn)) 2．體會(huì)分類思想，運(yùn)動(dòng)變化思想和化歸思想．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　弦切角定理 閱讀教材P33～P34，完成下列問題． 1．弦切角 頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字語言敘述： 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． (2)圖形語言敘述： 如圖2-4-1，AB與⊙O切于A點(diǎn)，則∠BAC＝∠D. 圖2-4-1 1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，則(　　) A．∠MCB＝∠B

2、　　 B．∠PAC＝∠P C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA 【解析】　由弦切角定理知∠PCA＝∠B. 【答案】　C 2．如圖2-4-2所示，MN與⊙O相切于點(diǎn)M，Q和P是⊙O上兩點(diǎn)，∠PQM＝70°，則∠NMP等于(　　) 圖2-4-2 A．20°　　　　　　 B．70° C．110° D．160° 【解析】　根據(jù)弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 利用弦切角

3、定理解決與角 有關(guān)的問題 　如圖2-4-3，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)(異于A，B)，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，垂足為D，AD交半圓于點(diǎn)E，求證：CB＝CE. 圖2-4-3 【精彩點(diǎn)撥】　解答本題的關(guān)鍵是運(yùn)用弦切角定理與圓周角定理的有關(guān)知識(shí)，進(jìn)行角度的等量替換． 【自主解答】　連接AC，BE，在DC延長線上取一點(diǎn)F，因?yàn)锳B是半圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)， 所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°. 又因?yàn)锳D⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°， 所以∠BCF＝∠DAC. 又因?yàn)橹本€l是圓O的切線，所以∠CEB＝∠BCF， 又∠

4、DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE. 則∠CEB＝∠DAC，由圓周角定理知∠DAC＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE. 1．把證明線段相等轉(zhuǎn)化為證明角的相等是弦切角定理應(yīng)用的常見題目． 2．利用弦切角定理進(jìn)行計(jì)算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時(shí)與圓的直徑所對的圓周角結(jié)合運(yùn)用，同時(shí)要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角． [再練一題] 1．如圖2-4-4，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過A作AD⊥CD，D為垂足． 圖2-4-4 (1)求證：∠DAC＝∠BAC； (2)若AC＝8，cos∠

5、BAC＝，求⊙O的直徑． 【解】　(1)證明：連接BC，OC， 因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ACB＝90°， 所以∠B＋∠BAC＝90°. 因?yàn)橹本€CD與⊙O相切于點(diǎn)C， 所以∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°. 因?yàn)锳D⊥CD， 所以∠DAC＋∠ACD＝90°. 所以∠DAC＝∠BAC. (2)因?yàn)閏os∠BAC＝，所以＝， 因?yàn)锳C＝8，所以AB＝10， 故⊙O的直徑為10. 　利用弦切角定理證明比例式 或乘積式 　如圖2-4-5，PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，求證：CD2＝CE·CF. 圖2

6、-4-5 【精彩點(diǎn)撥】　 → →→ 【自主解答】　連接CA，CB. ∵PA，PB是⊙O的切線． ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CA B. 又CD⊥AB，CE⊥PA， CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽R(shí)t△CBD， Rt△CBF∽R(shí)t△CAD， ∴＝，＝， ∴＝，即CD2＝CE·CF. 1．解答本題的難點(diǎn)在于乘積式中的線段不在兩個(gè)相似三角形中，需用中間量過渡． 2．弦切角定理經(jīng)常作為工具，進(jìn)行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進(jìn)一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理． 3．弦切角定理有時(shí)還需與圓周角定理等知識(shí)

7、綜合運(yùn)用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，通常都作為輔助工具出現(xiàn)． [再練一題] 2.如圖2-4-6，已知AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，E為垂足． 圖2-4-6 (1)求證：∠ADE＝∠B； (2)過點(diǎn)O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點(diǎn)F，求證：FD·DA＝FO·DE. 【證明】　(1)連接OD， 因?yàn)镺A＝OD， 所以∠OAD＝∠ODA. 因?yàn)锳B是⊙O的直徑， 所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又因?yàn)锳B＝AC， 所以AD平分∠BAC， 即∠OAD＝∠CAD， 所以∠ODA＝∠DAE＝∠OAD.

8、 因?yàn)椤螦DE＋∠DAE＝90°， 所以∠ADE＋∠ODA＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥EF. 因?yàn)镺D是⊙O的半徑，所以EF是⊙O的切線． 所以∠ADE＝∠B. (2)因?yàn)镺F∥AD，所以∠F＝∠ADE. 又因?yàn)椤螪EA＝∠FDO(已證)，所以△FDO∽△DEA. 所以FD∶DE＝FO∶DA，即FD·DA＝FO·DE. [構(gòu)建·體系] 1．如圖2-4-7，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上的兩點(diǎn)，半圓O的切線PC交AB的延長線于點(diǎn)P，∠PCB＝25°，則∠ADC為(　　) 圖2-4-7 A．105°　　　　 B．115° C．120° D．125°

9、【解析】　連接AC，構(gòu)造出夾圓周角∠ADC所對弧的弦切角，即∠PCA，而∠PCA顯然等于∠PCB加上一個(gè)直角，由此即得結(jié)果． 【答案】　B 2.如圖2-4-8，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，MN是切圓于C點(diǎn)的切線，若∠BCM＝38°，則∠B＝(　　) 圖2-4-8 A．32°　　　　 B．42° C．52° D．48° 【解析】　如圖，連接AC. ∵∠BCM＝38°，MN是⊙O的切線， ∴∠BAC＝38°. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠B＝90°－38°＝52°. 【答案】　C 3．如圖2-4-9，A，B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是⊙O的切線，∠B＝65°

10、，則∠BAC＝________. 圖2-4-9 【解析】　∵OA＝OB， ∠B＝65°， ∴∠OAB＝65°， ∴∠O＝50°， ∴∠BAC＝∠O＝25°. 【答案】　25° 4．如圖2-4-10，已知AB為圓的直徑，弦AC與AB成30°角，DC切圓于點(diǎn)C，AB＝5 cm，則BD等于________cm. 圖2-4-10 【解析】　如圖，連接BC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°. ∵∠A＝30°，AB＝5 cm， ∴BC＝ cm，∠CBA＝60°. ∵CD切⊙O于C， ∴∠DCB＝∠A＝30°， ∴∠D＝30°， ∴BD＝BC＝ cm

11、. 【答案】　 5.如圖2-4-11，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D. 圖2-4-11 (1)證明：DB＝DC； (2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑． 【解】　(1)證明：如圖，連接DE，交BC于點(diǎn)G. 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE， 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE. 又因?yàn)镈B⊥BE，所以DE為圓的直徑，∠DCE＝90°. 又因?yàn)镈E＝DE，所以△DBE≌△DCE， 所以DB＝DC. (2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE

12、，DB＝DC， 故DG是BC邊的中垂線，所以BG＝. 設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連接BO，則∠BOG＝60°，從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(九) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2-4-12所示，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點(diǎn)C，AC＝BC，則sin∠MCA＝(　　) 圖2-4-12 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.

13、 ∵sin∠ABC＝＝＝＝，故選D. 【答案】　D 2．如圖2-4-13，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點(diǎn)，那么圖中與∠DCF相等的角的個(gè)數(shù)是(　　) 圖2-4-13 A．4　　 B．5 C．6 D．7 【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE， ∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC. 【答案】　B 3.如圖2-4-14所示，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為(　　) 圖2-4-14 A．2 B．3 C．2 D．4 【解析】　連接BC.∵AB是⊙O

14、的直徑， ∴AC⊥BC，由弦切角定理可知， ∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD， ∴＝， ∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12， ∴AC＝2，故選C. 【答案】　C 4．如圖2-4-15，PC與⊙O相切于C點(diǎn)，割線PAB過圓心O，∠P＝40°，則∠ACP等于(　　) 圖2-4-15 A．20° B．25° C．30° D．40° 【解析】　如圖，連接OC，BC， ∵PC切⊙O于C點(diǎn)， ∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°. ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠POC＝25°， ∴∠ACP＝∠B＝25°. 【答案】　B 5．如圖2-4-16所

15、示，已知AB，AC與⊙O相切于B，C，∠A＝50°，點(diǎn)P是⊙O上異于B，C的一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是(　　) 圖2-4-16 A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50° 【解析】　當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)， 由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°. ∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC＝∠BPC＝65°. 當(dāng)P點(diǎn)在劣弧上時(shí)，∠BPC＝115°. 故選C. 【答案】　C 二、填空題 6.如圖2-4-17所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________. 　圖2-4-17

16、【解析】　∵PB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ∴△ABD∽△ACB. ∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn， ∴AB＝. 【答案】　 7．如圖2-4-18，已知△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在OC的延長線上．AD是⊙O的切線，若∠B＝30°，AC＝2，則OD的長為__________． 圖2-4-18 【解析】　連接OA， 則∠COA＝2∠CBA＝60°， 且由OC＝OA知△COA為正三角形，所以O(shè)A＝2. 又因?yàn)锳D是⊙O的切線，即OA⊥AD， 所以O(shè)D＝2OA＝4. 【答案】　4 8.如圖2-4-19，點(diǎn)P在圓O直

17、徑AB的延長線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝________. 圖2-4-19 【解析】　連接OC，∵PC切⊙O于點(diǎn)C， ∴OC⊥PC， ∵PB＝OB＝2，OC＝2， ∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD， ∴CD＝＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2-4-20所示，△ABT內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)T的切線交AB的延長線于點(diǎn)P，∠APT的平分線交BT，AT于C，D. 圖2-4-20 求證：△CTD為等腰三角形． 【證明】　∵PD是∠APT的平分線，∴∠APD＝∠DPT. 又∵PT是圓的切線，∴∠BTP＝∠A. 又∵∠TDC

18、＝∠A＋∠APD， ∠TCD＝∠BTP＋∠DPT， ∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD為等腰三角形． 10．如圖2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M的切線與分別以A，B為垂足的直線AD，BC交于D，C兩點(diǎn)，過M點(diǎn)作NM⊥CD交AB于點(diǎn)N，求證：MN2＝AD·BC. 圖2-4-21 【證明】　連接AM，MB， 因?yàn)镈A⊥AB，MN⊥CD， 所以∠MDA＋∠MNA＝180°. 又因?yàn)椤螹NA＋∠MNB＝180°， 所以∠MDA＝∠MNB， 又因?yàn)镃D為⊙O的切線，所以∠1＝∠2， 所以△ADM∽△MNB， 所以＝，同理＝， 所以＝，即有MN2＝AD·B

19、C. [能力提升] 1．在圓O的直徑CB的延長線上取一點(diǎn)A，AP與圓O切于點(diǎn)P，且∠APB＝30°，AP＝，則CP＝(　　) A.　 B．2 C．2－1 D．2＋1 【解析】　如圖，連接OP，則OP⊥PA， 又∠APB＝30°， ∴∠POB＝60°， 在Rt△OPA中，由AP＝， 易知，PB＝OP＝1， 在Rt△PCB中， 由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝. 【答案】　A 2．如圖2-4-22，AB是⊙O直徑，P在AB的延長線上，PD切⊙O于C點(diǎn)，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為(　　) 圖2-4-22 A．1 B．2 C．3 D

20、．4 【解析】　連接BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P， ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP，得 PC2＝PB·PA， 即AC2＝PB·PA. 而AC2＝AB2－BC2， 設(shè)⊙O半徑為r， 則4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1. 【答案】　A 3．如圖2-4-23，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝__________. 圖2-4-23 【解析】　由PA為⊙O的切線，BA為弦， 得∠PAB＝∠BCA. 又∠BAC＝∠APB，

21、于是△APB∽△CAB， 所以＝. 而PB＝7，BC＝5， 故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝. 【答案】　 4．如圖2-4-24，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE. 圖2-4-24 證明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 【證明】　(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝. 從而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC. 最新精品資料