三排序不等式課后篇鞏固探究A組1.順序和S、反序和S、亂序和S的大小關(guān)系是()A.SSSB.SSSC.SSSD.SSS解析由排序不等式可得反序和亂序和順序和.答案C2.設(shè)x,y,z均為正數(shù),P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,則P與Q的大小關(guān)系是()A.PQB.P>QC.PQD.P<Q解析不妨設(shè)xyz>0,則x2y2z2,則由排序不等式可得順序和為P,亂序和為Q,則PQ.答案A3.若a<b<c,x<y<z,則下列各式中值最大的一個是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cz解析a<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和亂序和順序和,得順序和ax+by+cz最大.故選D.答案D4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,則下列代數(shù)式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.12解析a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>12>a1b2+a2b1.又1=a1+a22a1a2,a1a214.0<a1<a2,a1a2<14.同理b1b2<14,a1a2+b1b2<14+14=12.a1b1+a2b2>12>a1a2+b1b2,a1b1+a2b2最大.答案A5.已知a,b,cR+,則a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零解析設(shè)abc>0,則a3b3c3,根據(jù)排序原理,得a3a+b3b+c3ca3b+b3c+c3a.因為abacbc,a2b2c2,所以a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0.答案B6.設(shè)a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一個排序,則a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是.解析a1+2a2+3a3+4a4的最大值為順序和12+22+32+42=30,最小值為反序和14+23+32+41=20.答案20,307.如圖所示,在矩形OPAQ中,a1a2,b1b2,若陰影部分的面積為S1,空白部分的面積之和為S2,則S1與S2的大小關(guān)系是.解析由題圖可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根據(jù)順序和反序和,得S1S2.答案S1S28.若a,b,c為正數(shù),求證a3+b3+c33abc.證明不妨設(shè)abc>0,則a2b2c2>0,由排序不等式,得a3+b3a2b+ab2,c3+b3c2b+cb2,a3+c3a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因為a2+b22ab,c2+b22cb,a2+c22ac,所以2(a3+b3+c3)6abc,即a3+b3+c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立).9.設(shè)a,b均為正數(shù),求證ab2+ba2ab+ba.證明不妨設(shè)ab>0,則a2b2>0,1b1a>0,由不等式性質(zhì),得a2bb2a>0.則由排序不等式,可得a2b1b+b2a1aa2b1a+b2a1b,即ab2+ba2ab+ba.10.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證a+b+ca4+b4+c4abc.證明由題意不妨設(shè)abc>0.由不等式的性質(zhì),知a2b2c2,abacbc.根據(jù)排序原理,得a2bc+ab2c+abc2a3c+b3a+c3b.又由不等式的性質(zhì),知a3b3c3,且abc.再根據(jù)排序原理,得a3c+b3a+c3ba4+b4+c4.由及不等式的傳遞性,得a2bc+ab2c+abc2a4+b4+c4.兩邊同除以abc,得a+b+ca4+b4+c4abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立).B組1.設(shè)a,b,c>0,則式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab與0的大小關(guān)系是()A.M0B.M0C.M與0的大小關(guān)系與a,b,c的大小有關(guān)D.不能確定解析不妨設(shè)abc>0,則a3b3c3,且a4b4c4,則a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4ac4+ba4+cb4.又a3b3c3,且abacbc,a4b+b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3caa3bc+b3ac+c3ab.a5+b5+c5a3bc+b3ac+c3ab.M0.答案A2.若0<<<<2,F=sin cos +sin cos +sin cos -12(sin 2+sin 2+sin 2),則()A.F>0B.F0C.F0D.F<0解析因為0<<<<2,所以0<sin <sin <sin ,0<cos <cos <cos ,由排序不等式可知,sin cos +sin cos +sin cos >sin cos +sin cos +sin cos ,而F=sin cos +sin cos +sin cos -12(sin 2+sin 2+sin 2)=sin cos +sin cos +sin cos -(sin cos +sin cos +sin cos )>0.答案A3.導(dǎo)學(xué)號26394057車間里有5臺機床同時出了故障,從第1臺到第5臺的修復(fù)時間依次為4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每臺機床停產(chǎn)1 min損失5元,經(jīng)合理安排損失最少為()A.420元B.400元C.450元D.570元解析設(shè)從第1臺到第5臺的修復(fù)時間依次為t1,t2,t3,t4,t5,若按照從第1臺到第5臺的順序修復(fù),則修復(fù)第一臺需要t1分鐘,則停產(chǎn)總時間為5t1,修復(fù)第2臺需要t2分鐘,則停產(chǎn)總時間為4t2,修復(fù)第5臺需要t5分鐘,則停產(chǎn)總時間為t5,因此修復(fù)5臺機床一共需要停產(chǎn)的時間為5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使損失最小,應(yīng)使停產(chǎn)時間最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,當(dāng)t1<t2<t3<t4<t5時,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值為54+45+36+28+10=84分鐘,故損失最小為845=420元.答案A4.導(dǎo)學(xué)號26394058在ABC中,A,B,C所對的邊依次為a,b,c,試比較aA+bB+cCa+b+c與3的大小關(guān)系.解不妨設(shè)abc,則有ABC.由排序不等式,可得aA+bB+cCaA+bC+cB,aA+bB+cCaB+bA+cC,aA+bB+cCaC+bB+cA.將以上三個式子兩邊分別相加,得3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c).所以aA+bB+cCa+b+c3.5.導(dǎo)學(xué)號26394059設(shè)x>0,求證1+x+x2+x2n(2n+1)xn.證明當(dāng)x1時,因為1xx2xn,所以由排序原理得11+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1,即1+x2+x4+x2n(n+1)xn.又x,x2,xn,1為序列1,x,x2,xn的一個排列,所以1x+xx2+xn-1xn+xn11xn+xxn-1+xn-1x+xn1,因此x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn,+,得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.當(dāng)0<x<1時,1>xx2xn,仍成立,故也成立.綜上,原不等式成立.