2019-2020年高三數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)考綱要求：1. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2. 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題.高考回顧：數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一 類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.基礎(chǔ)知識過關(guān)：1 數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果（1）證明起始命題 成立；（2）在假設(shè) 成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定，對一切正整數(shù)（或自然數(shù)）成立。2 數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：（1）（歸納奠定）證明當(dāng)n第一個(gè)值 時(shí)，命題成立。（2）（歸納遞推）假設(shè) 時(shí)命題成立，證明當(dāng) 時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n成立。答案：1. 2. n=k n=k+1高考題型歸納：題型1.證明代數(shù)恒等式用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式，要弄清等式兩邊的結(jié)構(gòu)，弄清等式兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)與的取值是否有關(guān)系，由n=k到n=k+1時(shí)，等式兩邊各增加了多少項(xiàng)，增加了怎樣的項(xiàng)等問題。例1.歸納法證明下述等式問題：.分析：主要注意從n=k到n=k+1左邊項(xiàng)的變化.證明 . 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，時(shí)等式成立；. 假設(shè)時(shí)等式成立，即，當(dāng)時(shí)，左邊 =右邊，即時(shí)等式成立，根據(jù)，等式對都正確.點(diǎn)評：等式問題是比較基本的問題，的證明的技巧一般都不高，而且在高考中出現(xiàn)得不多.題型2.證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，是數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是考試中的重點(diǎn)題型之一.例2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明下述不等式；分析：一般與自然數(shù)n有關(guān)的不等式問題可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明，證明過程中特別要主要項(xiàng)的變化.證明: 當(dāng)n=2時(shí)，左邊，當(dāng)n=2時(shí)，不等式正確；. 假設(shè)當(dāng)不等式正確，即，當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)不等式也正確；根據(jù)知對，且，不等式都正確.點(diǎn)評：在的證明過程中還需要熟練運(yùn)用不等式證明的一些技巧，有時(shí)有一定的難度，不過必須注意，不是所有的與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明都能用數(shù)學(xué)歸納法證明成功.題型3.證明整除問題在高考難度范圍內(nèi)，整除問題并不多見，如果與正整數(shù)n有關(guān)的整除問題，在教材的范圍內(nèi)一般只有用數(shù)學(xué)歸納法解決.例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被6 整除.分析：對于多項(xiàng)式A、B,如果A=BC，C也是多項(xiàng)式，那么A能被B整除，若A與B均能被C整除，則A+B,A-B也能被C整除.證明：.1.時(shí)，13+51=6能被6整除，命題正確；. 假設(shè)時(shí)命題正確，即能被6整除，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除，能被6整除，即當(dāng)時(shí)命題也正確，由知命題時(shí)都正確.點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，在的證明過程中應(yīng)首先考慮拼湊出“歸納假設(shè)”，然后再想辦法證明剩余部分.題型4.解決數(shù)列問題歸納猜想證明是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納法的原理實(shí)質(zhì)是一樣的，所以數(shù)列中許多問題常用到數(shù)學(xué)歸納法證明。而中學(xué)學(xué)習(xí)歸納法的主要用途就是用來解決數(shù)列問題.例4. 在數(shù)列an中，a1=1，當(dāng)n2時(shí)，an,Sn,Sn成等比數(shù)列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；分析：查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識 等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟 采用的方法是歸納、猜想、證明 求通項(xiàng)可證明是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式 解析 an,Sn,Sn成等比數(shù)列，Sn2=an(Sn)(n2) (*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得 a3=同理可得 a4=,由此可推出 an=(2)當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成立 假設(shè)n=k(k2)時(shí)，ak=成立故Sk2=(Sk)(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)由知，an=對一切nN成立 點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想史遞推思想，是用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。特別是第二步，必須要以第一步為基礎(chǔ). 過關(guān)訓(xùn)練:6.4 數(shù)學(xué)歸納法一選擇題1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意nN,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )A.30B.26C.36D.62.用數(shù)學(xué)歸納法證明3kn3(n3,nN)第一步應(yīng)驗(yàn)證( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=43滿足12+23+34+n（n+1）=3n2-3n+2的自然數(shù)等于 （ ）A1；B。1或2；C.1,2,3; D.1,2,3,4;4在數(shù)列an中, an=1-則ak+1= （ ）Aak+；B.ak+ C.ak+.D.ak+.5用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+整除”的第二步是 ( )A.假使n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3正確; B假使n=2k-時(shí)正確,再推n=2k+1正確;C. 假使n=k時(shí)正確,再推n=k+1正確;D假使nk(k1),再推n=k+2時(shí)正確(以上kZ)6在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n-3)條時(shí),第一步驗(yàn)證n等于 ( )A.1 B.2; C.3; D.0;7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明,在驗(yàn)證成立時(shí),左邊所得的項(xiàng)為( )A. 1 B. 1+ C. D. 8.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于足夠大的自然數(shù)n,總有，那么驗(yàn)證不等式成立所取的第一個(gè)n的最小值應(yīng)該是 （ ） A. 1 B.9 C.10 D. 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）(n+2)（n+n）=,從k到k+1，左端需要乘的代數(shù)式為（ ）A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 10.數(shù)列an中，已知，依次計(jì)算后，猜想的表達(dá)式為（ ） A.3n-2 B. C. D.4n-311.用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（ ） A. B. C. D. 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明,能 被9整除，要利用歸納假設(shè)證n=k+1時(shí)的情況，只需展開（ ） A. B. C. D. 二、填空題13.觀察下列式子：則可歸納出_.14.已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_，由此猜想an=_.15用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+2+3+n2=則n=k+1時(shí)左端在n=k時(shí)的左端加上_16用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)為xn-yn能被x+y整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n=_時(shí),命題成立;第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成_.三、解答題17.用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中nN*.18.若n為大于1的自然數(shù)，求證：.19.已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn;(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a0且a1)記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.20設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|1,數(shù)列an滿足：a1=2,a20,anan+1=qn,求an表達(dá)式，又如果S2n3,求q的取值范圍.21. 數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+9+322求證 n能被9整除.答案與解析：一、 選擇題1.解：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k2)時(shí)，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的數(shù)整除，所求最大的m值等于36.答案：C2.解：由題意知n3，應(yīng)驗(yàn)證n=3.答案：C3解： 用排除法,將4,3依次代入,所以選C.答案：C4解：a1=1- 所以,答案：D。5.解： 因?yàn)閚為正奇數(shù),據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立,本題即假設(shè)n=2k-1正確,再推第k+1個(gè)正奇數(shù)即n=2k+1正確.答案：B6.解：因?yàn)槭亲C明凸n邊形,首先可先構(gòu)成n邊形,故選C.答案：C7.解：當(dāng)n=1時(shí)，左邊為.答案：C.8.解：因?yàn)?答案：C9.解：當(dāng)n=k時(shí)，左端的式子為（k+1）(k+2)(k+k),當(dāng)n=k+1時(shí)，左端的代數(shù)式為（k+2）(k+3)（2k+2）故應(yīng)乘的式子為=2（2k+1）答案：B.10.解：計(jì)算出，可猜出.答案：B.11.解：當(dāng)n=k時(shí)，左端=1+2+3+，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端=1+2+，故當(dāng)n=k+1時(shí)，需要增加的式子為.答案：D.12.解：假設(shè)n=k時(shí)，原式能被9整除，當(dāng)n=k+1時(shí)，為了能用上面的假設(shè)，只需將展開，讓其出現(xiàn)即可.答案：A.二、 填空題13.解：(nN*)(nN*)14. 、 15.解： n=k左端為1+2+3+k2 n=k+1時(shí)左端為1+2+3+k2+(k+1)2.答案: (k+1)216 解：因?yàn)閚為正偶數(shù),故第一值n=2,第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立,即n=2k,故應(yīng)假設(shè)成x2k-y2k能被x+y整除.答案：2. x2k-y2k能被x+y整除三、解答題17.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，421+1+31+2=91能被13整除(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由知，當(dāng)nN*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.18.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即19.(1)解：設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得,bn=3n2(2)證明：由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)(1+)與的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測：(1+1)(1+)(1+) (*)當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立.假設(shè)n=k(k1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)則當(dāng)n=k+1時(shí)，,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立由知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a1時(shí)，Snlogabn+1,當(dāng) 0a1時(shí)，Snlogabn+120.解：a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,anan+1=qn,an+1an+2=qn+1兩式相除，得,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=qn(n=1,2,3,)綜合，猜想通項(xiàng)公式為an=下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立(2)設(shè)n=2k1時(shí)，a2k1=2qk1則n=2k+1時(shí)，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.設(shè)n=2k時(shí)，a2k=qk,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=qa2k,所以a2k+2=qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.這樣所求通項(xiàng)公式為an=S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1) (q+q2+qn)由于|q|1,=依題意知3,并注意1q0,|q|1解得1q0或0q21證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左=1,右=(31-1)=1,命題成立. (2)假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即:1+3+9+3k-1=(3k-1),則當(dāng)n=k+1時(shí),1+3+9+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即n=k+1命題成立.22.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除. (2)假設(shè)n=k時(shí)成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當(dāng)k=n+1時(shí) (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27= k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被9整除 由(1),(2)可知原命題成立.