3.1二維形式的柯西不等式一、教學(xué)目標(biāo)1認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義2通過(guò)運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題二、課時(shí)安排1課時(shí)三、教學(xué)重點(diǎn)認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義四、教學(xué)難點(diǎn)通過(guò)運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題五、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)基本不等式。（二）講授新課教材整理二維形式的柯西不等式內(nèi)容等號(hào)成立的條件代數(shù)形式若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立向量形式設(shè)，是兩個(gè)向量，則|當(dāng)且僅當(dāng) ，或，等號(hào)成立三角形式設(shè)x1，y1，x2，y2R，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（三）重難點(diǎn)精講題型一、二維柯西不等式的向量形式及應(yīng)例1已知p，q均為正數(shù)，且p3q32.求證：pq2.【精彩點(diǎn)撥】為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構(gòu)造兩個(gè)向量【自主解答】設(shè)mp，q，n(p，q)，則p2q2ppqq|mn|m|n|.又(pq)22(p2q2)，p2q2，則(pq)48(pq)又pq>0，(pq)38，故pq2.規(guī)律總結(jié)：使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關(guān)鍵是合理構(gòu)造出兩個(gè)向量同時(shí)，要注意向量模的計(jì)算公式|a|對(duì)數(shù)學(xué)式子變形的影響再練一題1若本例的條件中，把“p3q32”改為“p2q22”，試判斷結(jié)論是否仍然成立？【解】設(shè)m(p，q)，n(1,1)，則pqp1q1|mn|m|n|.又p2q22.pq2.故仍有結(jié)論pq2成立.題型二、運(yùn)用柯西不等式求最值例2若2x3y1，求4x29y2的最小值【精彩點(diǎn)撥】由2x3y1以及4x29y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過(guò)構(gòu)造(1212)作為一個(gè)因式而解決問(wèn)題【自主解答】由柯西不等式得(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2，當(dāng)且僅當(dāng)2x13y1，即x，y時(shí)取等號(hào)4x29y2的最小值為.規(guī)律總結(jié)：1利用柯西不等式求最值，不但要注意等號(hào)成立的條件，而且要善于配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果2常用的配湊的技巧有：巧拆常數(shù)；重新安排某些項(xiàng)的次序；適當(dāng)添項(xiàng)；適當(dāng)改變結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到運(yùn)用柯西不等式求最值的目的再練一題2若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點(diǎn).【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4.所以x2y2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立為求最小值點(diǎn)，需解方程組因此，當(dāng)x，y時(shí)，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為.題型三、二維柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用例3已知|3x4y|5，求證：x2y21.【精彩點(diǎn)撥】探求已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造柯西不等式進(jìn)行證明【自主解答】由柯西不等式可知(x2y2)(3242)(3x4y)2，所以(x2y2).又因?yàn)閨3x4y|5，所以1，即x2y21.規(guī)律總結(jié)：1利用二維形式的柯西不等式證明時(shí)，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時(shí)，需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形2變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到突破口再練一題3設(shè)a，bR且ab2.求證：2.【證明】根據(jù)柯西不等式，有(2a)(2b)()2()2(ab)24.2，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab1時(shí)等號(hào)成立2.（四）歸納小結(jié)二維柯西不等式（五）隨堂檢測(cè)1設(shè)x，yR，且2x3y13，則x2y2的最小值為()A. B169 C13 D.0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2已知a，bR，且ab1，則()2的最大值是()A2 B. C6 D.12【解析】()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)等號(hào)成立故選D.【答案】D3平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且ab5，則向量b_.【解析】|a|5，且 |b|1，ab|a|b|，因此，b與a共線，且方向相同，b.【答案】六、板書(shū)設(shè)計(jì)3.1二維形式的柯西不等式教材整理二維形式的柯西不等式例1：例2：例3：學(xué)生板演練習(xí)七、作業(yè)布置同步練習(xí)：3.1二維形式的柯西不等式八、教學(xué)反思