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2019-2020年高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的應(yīng)用舉例》3課時教學(xué)設(shè)計 教學(xué)目標(biāo)：1．了解數(shù)學(xué)建模；2．掌握根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式；3培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；4、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識 教學(xué)重點：根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式 教學(xué)難點：數(shù)學(xué)建模意識 教學(xué)方法：讀議講練法 教學(xué)過程： （I）復(fù)習(xí)回顧 前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，并要求大家在課前對本章作系統(tǒng)地歸納整理，接上來，用已學(xué)過的知識舉例說明函數(shù)的應(yīng)用。 （Ⅱ）講授新課 大家首先閱讀課本P96～P97，來了解一下數(shù)學(xué)建模的有關(guān)知識 1、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模： 簡單地說，數(shù)學(xué)模型就是把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述。 數(shù)學(xué)模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。 2、例題講解： 例1：用長為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為2，求此框架的面積與的函數(shù)式，并寫出它的定義域。 分析：所求框架面積由矩形和半圓組成，數(shù)量關(guān)系較為明確，而且題中已設(shè)出變量，所以屬于函數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用。 解：如圖設(shè)，則CD弧長=，于是AD 因此 再由 解之得 即函數(shù)式是：；定義域是： 評述：此題雖為函數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用，但應(yīng)讓學(xué)生通過此題明確應(yīng)用的能力要求及求解應(yīng)用題的基本步驟。 1． 數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力要求： （1） 閱讀理解能力； （2） 抽象概括能力 （3） 數(shù)學(xué)語言的運用能力； （4） 分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力 2． 解答應(yīng)用題的基本步驟： （1） 合理、恰當(dāng)假設(shè)； （2） 抽象概括數(shù)量關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)語言表示； （3） 分析、解決數(shù)學(xué)問題； （4） 數(shù)學(xué)問題的解向?qū)嶋H問題的還原。 有了上述說明，我們在看例2時就應(yīng)有所注意。 例2：如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形綱板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長和腰長間的函數(shù)式，并求出它的定義域。 分析：要用腰長表示周長的關(guān)系式，應(yīng)該知道等腰梯形各邊的長，下底長已知為2R，兩腰長為2，因此，只須用已知量（半徑R）和腰長的函數(shù)式。 解：如圖所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上設(shè)腰長AD=BC=，作DE⊥AB，垂足為E，墨守成規(guī)結(jié)BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE～△ABD。 ∴即 ∴ 所以， 即 再由 解得 ∴周長與腰長的函數(shù)式為：，定義域為： 評述：例2是實際應(yīng)用問題，解題過程是從問題出發(fā)，引進數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實際意義做出回答，這個過程實際上就是建立數(shù)學(xué)模型的一種最簡單的情形。 （Ⅲ）課堂練習(xí) 課本P92練習(xí)薄，2 （Ⅳ）課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家應(yīng)對數(shù)學(xué)建模有所了解，并能根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式，逐步增強解決實際問題的能力。 （V）課后作業(yè) 一、 課本P93習(xí)題2.9 1，2 二、1.、預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P91例2 2．預(yù)習(xí)提綱 （1） 例2的數(shù)學(xué)模型和哪種函數(shù)有關(guān)？ （2） 試列舉有關(guān)平均增長率的實際問題。 板書設(shè)計 2.9.1 1.應(yīng)用題要求；3.例1 4.例2 例5 學(xué)生練習(xí) 2.基本步驟 教學(xué)后記 2.9.2 函數(shù)的應(yīng)用舉例 教學(xué)目標(biāo)：1．繼續(xù)了解數(shù)學(xué)建模的方法；2．能夠建立有關(guān)增長率的數(shù)學(xué)模型；3培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識 教學(xué)重點：數(shù)學(xué)建模的方法 教學(xué)難點：數(shù)學(xué)建模意識 教學(xué)方法：引導(dǎo)式 教學(xué)過程： （I）復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)，我們了解了數(shù)學(xué)建模的方法和較簡單的情形，并總結(jié)了解答應(yīng)用題的基本步驟，這一節(jié)，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)建模的方法，加強大家的函數(shù)應(yīng)用意識。 （Ⅱ）講授新課 例3：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為元，每期利率為，設(shè)本利和為，存期為，寫出本利和隨存期變化的函數(shù)式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，試計算5期后的本利和是多少？ 分析：了解復(fù)利概念之后，利率就是本金的增長率，和大家初中所接觸的增長率問題相似。 解：已知本金為元 1期后的本利和為； 2期后的本利和為； 3期后的本利和為； …… 期后的本利和為 將（元），=2.25%, 代入上式得 由計算器算得（元） 答：復(fù)利函數(shù)式為，5期后的本利和為1117.68元 評述：此題解答的過程體現(xiàn)了解題的思路，再現(xiàn)了探究問題的過程，容易被學(xué)生接受。 例4：某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%，糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%，那么年后若人均一年占有千克糧食，求出函數(shù)關(guān)于的解析式。 分析：此題解決的關(guān)鍵在于恰當(dāng)引入變量，抓準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達式，具體解答可以依照例子。 解：設(shè)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人口量為M，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在一年的糧食總產(chǎn)量為360M。 經(jīng)過1年后該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產(chǎn)量為360M（1+4%），人口量為M（1+1.2%），則人均占有糧食為； 經(jīng)過2年后人均占有糧食為 …… 經(jīng)過年后人均占有糧食 即所求函數(shù)式為： 評述：例4是一個有關(guān)平均增長率的問題，如果原來的產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為P，則對于時間的總產(chǎn)值可以用下面的公式，即 解決平均增長率的問題，常用這個函數(shù)式。 （Ⅲ）課堂練習(xí) 課本P92練習(xí)3，4 （Ⅳ）課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要掌握有關(guān)增長率的數(shù)學(xué)模型，如產(chǎn)量、產(chǎn)值、糧食、人口等增長問題就常用增長率的數(shù)學(xué)模型。 （V）課后作業(yè) 一、課本P93習(xí)題2.9 3，4 二、1．預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P91例3 2．預(yù)習(xí)提綱： （1） 例3中的數(shù)學(xué)模型是什么？ （2） 例3解決的是一個什么數(shù)學(xué)問題？ 板書設(shè)計 2.9.2 例3 例4 課時小結(jié) 學(xué)生練習(xí) 解答 解答 教學(xué)后記 2.9.3 函數(shù)的應(yīng)用舉例 教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生適應(yīng)各學(xué)科時的橫向聯(lián)系；2．能夠建立一些物理問題的數(shù)學(xué)模型；3．培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力 教學(xué)重點：數(shù)學(xué)建模的方法 教學(xué)難點：實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題 教學(xué)方法：自學(xué)輔導(dǎo)法 教學(xué)過程： （I）復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)課，我們主要學(xué)習(xí)了有關(guān)增長率的數(shù)學(xué)模型，這種模型在有關(guān)產(chǎn)量、產(chǎn)值、糧食、人口等等增長問題常被用到，這一節(jié)，我們學(xué)習(xí)有關(guān)物理問題的數(shù)學(xué)模型。 （Ⅱ）講授新課 例5：設(shè)在海拔m處的大氣壓強是Pa，與之間的函數(shù)關(guān)系式是，其中c,k為常量。已知某地某天在海平面的大氣壓為1.01105Pa，1000m高空的大氣壓為0.90105Pa，求600m高空的大氣壓強（結(jié)果保留3個有效數(shù)字）。 分析：解決此題，應(yīng)排除題中專業(yè)術(shù)語的干擾，抽象概括出數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達式。 解：將分別代入函數(shù)式，得 解之得 ∴函數(shù)式 將=600代入上述函數(shù)式得 由計算器算得 答：在600m高空的大氣壓約為0.943105Pa 評述： （1） 此題利用數(shù)學(xué)橫型解決物理問題； （2） 需由已知條件先確定函數(shù)式； （3） 此題實質(zhì)為已知處變量的值，求對應(yīng)的函數(shù)值的數(shù)學(xué)問題； （4） 此題要求學(xué)生能借助計算器進行比較復(fù)雜的運算。 例6：在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測量的物理量的“最佳近似值”是這樣一個量：與其他近似值比較與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，從推出的= 。 分析：此題應(yīng)排除物理因素的干擾，抓準(zhǔn)題中的數(shù)量關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題。 解：由題意可知，所求應(yīng)使最小 由于，若把看作自變量，則是關(guān)于的二次函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值。 因為n>0，所以二次函數(shù)圖象開口方向向上。 當(dāng)時，有最小值，所以即為所求 評述：此題在高考中是具有導(dǎo)向意義的試題，它以物理知識和簡單數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，并以物理學(xué)科中的統(tǒng)計問題為背景，給出一個新的定義，要求學(xué)生讀懂題目，抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，即 然后運用函數(shù)的思想、方法去解決問題，解題關(guān)鍵是將函數(shù)式化成以為自變量的二次函數(shù)形式，這是函數(shù)思想在解決實際問題中的應(yīng)用。 （Ⅲ）課堂練習(xí) 課本P93習(xí)題2.9 5 (Ⅳ)課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，進一步熟悉數(shù)學(xué)建模的方法，能運用數(shù)學(xué)模型解決一定的關(guān)于物理的實際問題，提高解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的應(yīng)變能力。 （V）課后作業(yè) 一、課本P93習(xí)題2.9 6 二、1．預(yù)習(xí)內(nèi)容：P94～P95 2．預(yù)習(xí)提綱： （1） 實習(xí)作業(yè)的要求； （2） 實習(xí)報告的內(nèi)容。 板書設(shè)計 2.9.3 例5 例6 評述 評述 學(xué)生練習(xí) 解答 解答 教學(xué)后記