《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件3.8正余弦定理的應(yīng)用.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件3.8正余弦定理的應(yīng)用.ppt（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

能夠運(yùn)用正弦定理 余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題 第8課時正弦定理 余弦定理的應(yīng)用 1 利用正弦定理 余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題 2 高考題型主要考查與距離 角度 高度 幾何等有關(guān)的實際問題 近幾年主要是以解答題形式出現(xiàn) 難度不高 所以 在備考中 重在熟練對正 余弦定理的運(yùn)用 命題預(yù)測 1 解與三角形有關(guān)的實際問題時 要注意對仰角 俯角 方位角 方向角 鉛直平面等術(shù)語的理解 與角度有關(guān)的實際問題 除了仍要合理應(yīng)用正 余弦定理和三角形知識外 還要注意弄清仰角 俯角 方向角 方位角等有關(guān)術(shù)語 解決這類問題的基本步驟 1 弄清題意 作出示意圖 標(biāo)明相關(guān)角度和長度 2 選用正確的定理或三角公式求解 3 作答 應(yīng)試對策 2 解決與高度有關(guān)的實際問題的基本步驟 1 準(zhǔn)確理解題意和相關(guān)名詞 術(shù)語 2 畫出示意圖 標(biāo)出已知條件 3 分析與問題有關(guān)的一個或幾個三角形 結(jié)合直角三角形的知識和正 余弦定理正確求解 射影定理 在 ABC中 a bcosC ccosB b acosC ccosA c bcosA acosB 知識拓展 1 實際問題中的常用角 1 仰角和俯角在視線和水平線所成的角中 視線在水平線的角叫仰角 在水平線的角叫俯角 如圖 2 方位角 從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角 如B點(diǎn)的方位角為 如圖 上方 下方 2 ABC的面積公式有 1 S a ha ha表示a邊上的高 2 S absinC R為外接圓半徑 3 S r a b c r為內(nèi)切圓半徑 1 在 ABC中 若 A 120 AB 5 BC 7 則 ABC的面積S 解析 由余弦定理BC2 AB2 AC2 2AB AC cos120 解得AC 3 因此 ABC的面積S AB AC sin120 答案 2如圖 A B兩點(diǎn)間隔有一小山 現(xiàn)選定能直接到達(dá)點(diǎn)A B的C點(diǎn) 并測得AC 60m BC 160m ACB 60 則A B兩點(diǎn)間的距離為 m 解析 AB 140 m 答案 140 3 2010 濟(jì)寧一中調(diào)研 某人坐在火車上看風(fēng)景 他看見遠(yuǎn)處有一座寶塔在與火車前進(jìn)方向成30 角的直線上 1分鐘后 他看這寶塔在與火車前進(jìn)方向成45 角的直線上 設(shè)火車的速度是100km h 則寶塔到鐵路線的垂直距離等于 km 解析 如圖 BCA 45 30 15 AB km AC sin ABC km 所以寶塔到鐵路線的垂直距離 AC sin30 km 答案 4 某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來 他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差 則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的大小關(guān)系為 解析 由正弦定理 在 BCP中 在 DCP中 由于 BCP DCP 得 又PB PD d1 d2 答案 d1 d2 5 在 ABC中 若 A 60 b 1 S ABC 則的值為 解析 S ABC 即bcsinA c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 13 a 答案 例1 要測量河對岸兩點(diǎn)A B之間的距離 選取相距km的C D兩點(diǎn) 并測得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 求A B之間的距離 思路點(diǎn)撥 作出草圖 綜合運(yùn)用正 余弦定理 解 如圖所示 在 ACD中 ACD 120 CAD ADC 30 AC CD km 在 BCD中 BCD 45 BDC 75 CBD 60 BC ABC中 由余弦定理 得AB2 3 2 5 AB km A B之間的距離為km 變式1 如圖所示 設(shè)A B兩點(diǎn)在河的兩岸 一測量者在A的同側(cè) 在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C 測出AC的距離為50m ACB 45 CAB 105 后 就可以計算A B兩點(diǎn)的距離為m 解析 由題意知 ABC 30 由正弦定理 AB m 答案 50 例2 某人在塔的正東沿著南偏西60 的方向前進(jìn)40米后 望見塔在東北方向 若沿途測得塔的最大仰角為30 求塔高 思路點(diǎn)撥 依題意畫圖 某人在C處 AB為塔高 他沿CD前進(jìn) CD 40米 此時 DBF 45 從C到D沿途測塔的仰角 只有B到測試點(diǎn)的距離最短時 仰角才最大 這是因為tan AEB AB為定值 BE最小時 仰角最大 要求出塔高AB 必須先求BE 而要求BE 須先求BD 或BC 解 由上圖所示 過B作BE CD于點(diǎn)E 由題意知在E點(diǎn)測得塔的最大仰角30 在 BCD中 CD 40 BCD 30 DBC 135 由正弦定理 得 BD 在Rt BED中 BDE 180 135 30 15 BE BDsin15 在Rt ABE中 AEB 30 AB BEtan30 米 故所求的塔高為米 變式2 如圖所示 測量河對岸的塔高AB時 可以選定塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D 現(xiàn)測得 BCD BDC CD s 并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為 求塔高AB 解 在 BCD中 CBD 由正弦定理得所以BC 在Rt ABC中 AB BCtan ACB 當(dāng)我們將所求距離或角度的問題轉(zhuǎn)化為一個求三角形的邊和角的問題時 若選擇的三角形條件不夠 這時 我們通常尋找其他的三角形作為解這個三角形的支持 為我們解這個三角形提供必要的條件 也就是需要我們聯(lián)合幾個三角形多次應(yīng)用兩個定理解決問題 這需要我們首先畫出簡要的示意圖 分析所求和條件的關(guān)系 尋求它們直接或間接的聯(lián)系 例3 在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45 方向 距A處 1 海里的B處有一艘走私船 在A處北偏西75 方向 距A處2海里的C處的我方緝私船 奉命以10海里 小時的速度追截走私船 此時走私船正以10海里 小時的速度 從B處向北偏東30 方向逃竄 問 緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船 并求出所需時間 思路點(diǎn)撥 求方向的問題可以考慮轉(zhuǎn)化為解三角形的求角問題 分析條件可以選擇 ABC 解 設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時 才能最快截獲 在D點(diǎn) 走私船 則CD 10t海里 BD 10t海里 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 1 2 22 2 1 2 cos120 6 BC 海里 又 sin ABC ABC 45 B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上 CBD 90 30 120 在 BCD中 由正弦定理 得 sin BCD BCD 30 緝私船應(yīng)沿北偏東60 的方向行駛 又在 BCD中 CBD 120 BCD 30 D 30 BD BC 即10t t 小時 15分鐘 緝私船應(yīng)沿北偏東60 的方向行駛 才能最快截獲走私船 大約需要15分鐘 變式3 江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷 如圖 一船由西向東航行 測得某島的方位角為 前進(jìn)5km后測得此島的方位角為 已知該島的周圍3km內(nèi)有暗礁 現(xiàn)該船繼續(xù)東行 1 若 2 60 問該船有無觸礁的危險 2 當(dāng) 與 滿足什么條件時 該船沒有觸礁的危險 解 1 如題中圖 設(shè)海島M到直線AB的距離MC為d 則由題意有 AC dtan BC dtan 由AC BC AB得dtan dtan 5 d 當(dāng) 2 60 時 d 3 所以此時沒有觸礁的危險 2 要使船沒有觸礁的危險 只要使d 3 即 3成立即可 00 tan tan 所以當(dāng) 與 滿足0 tan tan 時 該船沒有觸礁的危險 在不同的已知條件下 求三角形面積的問題與解三角形有密切的關(guān)系 通常我們要根據(jù)已知條件 利用正弦定理 余弦定理求出需要的元素 從而求出三角形的面積 在Rt ABC中 C 90 則 ABC的面積S ab 對于任意 ABC 已知a b及C 則 ABC的面積S absinC 同理三角形的面積還有S acsinB S bcsinA 例4 在 ABC中 若B 30 AB 2 AC 2 則 ABC的面積是多少 思路點(diǎn)撥 已知兩邊及一邊的對角解三角形時 要注意分類討論 解 由正弦定理得 sinC AB AC C 60 或120 當(dāng)C 60 時 S ABC AC ABsinA 2 2sin90 2 當(dāng)C 120 時 S ABC AC ABsinA 2 2sin30 4 如圖 ABC是簡易遮陽棚 A B是南北方向上兩個定點(diǎn) 正東方向射出的太陽光線與地面成40 角 為了使陰影面ABD面積最大 遮陽棚ABC與地面所成的角為 解析 作CE 平面ABD于E 則 CDE是太陽光線與地面所成的角 即 CDE 40 延長DE交直線AB于F 連結(jié)CF 則 CFD是遮陽棚與地面所成的角 設(shè)為 要使S ABD最大 只需DF最大 在 CFD中 CF為定值 當(dāng) 50 時 DF最大 答案 50 1 正弦定理 余弦定理在實際生活中 有著廣泛的應(yīng)用 常見題型有距離問題 高度問題 角度問題以及平面圖形的面積問題等 2 解實際應(yīng)用問題 要準(zhǔn)確找出仰角 俯角 方位角 同時要注意與平面幾何結(jié)合 運(yùn)用正弦定理 余弦定理 發(fā)揮題目的隱含條件 從而順利解決問題 3 解實際問題時 要注意題目中給出的精確度 合理取近似值 規(guī)律方法總結(jié) 例5 2009 北京卷 在 ABC中 角A B C的對邊分別為a b c B cosA b 1 求sinC的值 2 求 ABC的面積 高考真題 分析 1 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 A C B 即C A 只要再根據(jù)cosA 求出sinA的值 根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出sinC的值 2 相當(dāng)于知道了三角形三個內(nèi)角以及一條邊長 只要再求出一條邊長就可以根據(jù)三角形面積公式求出 ABC的面積 規(guī)范解答 1 因為角A B C為 ABC的內(nèi)角 且B cosA 所以C A sinA 于是sinC sin 2 由 1 知sinA sinC 又因為B b 所以在 ABC中 由正弦定理得a 于是 ABC的面積S absinC 本題初看像是一道純粹的解三角形的題目 實際上是以考查三角恒等變換為主的一道試題 我們在求出第 1 問后就可以根據(jù)正弦定理和三角形面積公式解決問題了 知識鏈接 三角形內(nèi)角間的三角函數(shù)關(guān)系在 ABC中 sinA sin B C cosA cos B C 我們在解題時 要注意這些關(guān)系在解決三角形問題中的應(yīng)用 命題探究 全解密 在三角形中 當(dāng)已知兩個內(nèi)角的大小或是已知兩個內(nèi)角的三角函數(shù)值時 一定能根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式 余弦公式求出第三個內(nèi)角的大小或其三角函數(shù)值 方法探究 本題第 1 問也可以根據(jù)sinC sin A B 求解 由于cosA sinA B 所以sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 第 2 問也可以根據(jù)正弦定理 2R R為 ABC的外接圓半徑 得R 1 S absinC 2RsinA 2RsinB sinC sinAsinBsinC 只要將第 1 問的結(jié)果代入即可 發(fā)散思維 1 在 ABC中 角A B C所對的邊分別為a b c 證明 分析 此題主要考查正 余弦定理在證明恒等式中的應(yīng)用 由等號左邊的a2 b2 c2 運(yùn)用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 由等號右邊的正弦值 想到運(yùn)用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 證明 由余弦定理 知a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB 兩式相減 得a2 b2 b2 a2 2bccosA 2cacosB 由正弦定理 知 2 如圖 在 ABC中 BAC 120 AB 2 AC 1 D是邊BC上一點(diǎn) DC 2BD 則 分析 利用余弦定理求出BC邊的長 再利用其變式求出角B的余弦值 結(jié)合向量的數(shù)量積求值 解 由余弦定理得BC2 22 12 2 2 1 7 可得BC 又因為cosB