課時(shí)作業(yè)8生活中的優(yōu)化問題舉例|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為()A.cmB100 cmC20 cm D.cm解析：設(shè)高為h，體積為V，則底面半徑r2202h2400h2，Vr2h(400hh3)，V(4003h2)，令V0，得h或h(舍)答案：A2某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6時(shí)到9時(shí)，車輛通過該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：yt3t236t，則在這段時(shí)間內(nèi)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是()A6時(shí) B7時(shí)C8時(shí) D9時(shí)解析：yt2t36(t12)(t8)令y0，得t8或t12(舍去)，則當(dāng)6t<8時(shí)，y>0，當(dāng)8<t9時(shí)，y<0，所以當(dāng)t8時(shí)，通過該路段所用的時(shí)間最多故選C.答案：C3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A150 B200C250 D300解析：由題意得，總利潤(rùn)P(x)令P(x)0，得x300，故選D.答案：D4某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x(萬件)的總成本C(x)1 200x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100萬件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，產(chǎn)量定為多少時(shí)總利潤(rùn)最大()A23萬件 B25萬件C50萬件 D75萬件解析：設(shè)單價(jià)為a，由題意知a2且502，k50210025104，a2，即a，總利潤(rùn)yaxC(x)x500 x31 200，y250xx2，令y0得x25，產(chǎn)量定為25萬件時(shí)總利潤(rùn)最大答案：B5用長(zhǎng)為24 m的鋼筋做成一個(gè)長(zhǎng)方體形框架，若這個(gè)長(zhǎng)方體框架的底面為正方形，則這個(gè)長(zhǎng)方體體積的最大值為()A8 m3 B12 m3C16 m3 D24 m3解析：設(shè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為x，則高為(62x)m，0<x<3，則Vx2(62x)6x22x3，V12x6x2，令V0得x2或x0(舍)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，V是增函數(shù)，當(dāng)x(2,3)時(shí)，V是減函數(shù)，當(dāng)x2時(shí)，Vmax428 (m3)答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6某公司規(guī)定：對(duì)于小于或等于150件的訂購(gòu)合同，每件售價(jià)為200元，對(duì)于多于150件的訂購(gòu)合同，每超過1件，則每件的售價(jià)比原來減少1元試問訂購(gòu)_件的合同將會(huì)使公司的收益最大解析：設(shè)x表示銷售的件數(shù)，R表示公司的收益，則R等于每件的售價(jià)銷售件數(shù)當(dāng)x>150時(shí)，則R(x)200(x150)x350xx2.為求最大收益的件數(shù)，不妨認(rèn)為R(x)連續(xù)可導(dǎo)，求R(x)3502x.令R(x)0，得x175時(shí)，R有最大值答案：1757海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/小時(shí)，當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用(無論速度如何)都是每小時(shí)400元如果甲乙兩地相距800海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為_解析：由題意設(shè)燃料費(fèi)y與航速x間滿足yax3(0x30)，又25a103，a.設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為v，費(fèi)用為y，則yav340020v2，由y40v0得v20<30.答案：20海里/小時(shí)8某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為C萬元，產(chǎn)品單價(jià)為P萬元，且滿足C1 200x3，P，則當(dāng)x_時(shí)，總利潤(rùn)最高解析：設(shè)總利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)萬元，則由題意得L(x)x1 200x3x3500 1 200(x>0)由L(x)x20，得x25.令L(x)>0，得0<x<25；令L(x)<0，得x>25，得L(x)在區(qū)間(0,25)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(25，)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x25時(shí)，總利潤(rùn)最高答案：25三、解答題(每小題10分，共20分)9某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用怎樣尺寸的頁面？解析：設(shè)所印文字區(qū)域的左右長(zhǎng)為x cm，則上下長(zhǎng)為 cm，所以紙張的左右長(zhǎng)為(x2)cm，上下長(zhǎng)為cm，所以紙張的面積S(x2)3x156.所以S3，令S0，解得x10.當(dāng)x>10時(shí)，S單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<10時(shí)，S單調(diào)遞減所以當(dāng)x10時(shí)，Smin216 (cm2)，此時(shí)紙張的左右長(zhǎng)為12 cm，上下長(zhǎng)為18 cm.故當(dāng)紙張的邊長(zhǎng)分別為12 cm,18 cm時(shí)最節(jié)約10一艘輪船在航行中燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比已知速度為每小時(shí)10千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問輪船的速度是多少時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和最少？解析：設(shè)速度為每小時(shí)v千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)p元，那么由題設(shè)知pkv3，因?yàn)関10，p6，所以k0.006.于是有p0.006v3.又設(shè)船的速度為每小時(shí)v千米時(shí)，行駛1千米所需的總費(fèi)用為q元，那么每小時(shí)所需的總費(fèi)用是(0.006v396)元，而行駛1千米所用時(shí)間為小時(shí)，所以行駛1千米的總費(fèi)用為q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.當(dāng)v<20時(shí)， q<0；當(dāng)v>20時(shí)，q>0，所以當(dāng)v20時(shí)，q取得最小值即當(dāng)速度為20千米/小時(shí)時(shí)，航行1千米所需費(fèi)用總和最少|(zhì)能力提升|(20分鐘，40分)11若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為()A2R2 BR2C4R2 D.R2解析：設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則x ，S側(cè)2xh2h 2 ，令tR2h2，則t2R2hh3，令t0，得h R(舍負(fù))或h0(舍去)，當(dāng)0<h< R時(shí)，t>0，當(dāng) R<h<2R時(shí)，t<0，所以當(dāng)h R時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大側(cè)面積的最大值為2 2R2，故應(yīng)選A.答案：A12某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貨款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x(x(0,4.8%)，則使銀行獲得最大收益的存款利率為_解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的貨款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y0.048kx2kx3(0<x<0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)當(dāng)0<x<0.032時(shí)，y>0；當(dāng)0.032<x<0.048時(shí)，y<0.因此，當(dāng)x0.032時(shí)，y取得極大值，也是最大值，即當(dāng)存款利率為3.2%時(shí)，銀行可獲得最大收益答案：3.2%13從長(zhǎng)為32 cm，寬為20 cm的矩形薄鐵皮的四角剪去四個(gè)相等的正方形，做一個(gè)無蓋的箱子，問剪去的正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？解析：設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為x cm，則箱子的容積V(x)x(322x)(202x)(0<x<10)4x3104x2640x，V(x)12x2208x6404(3x252x160)4(3x40)(x4)令V(x)0，得x1(舍去)，x24.當(dāng)0<x<4時(shí)，V(x)>0，當(dāng)4<x<10時(shí)，V(x)<0，所以V(x)在(0,4)內(nèi)為增函數(shù)，在(4,10)內(nèi)為減函數(shù)因此V(x)在(0,10)內(nèi)有唯一的極大值V(4)，且該極大值即為函數(shù)V(x)的最大值，其最大值V(4)4(328)(208)1 152(cm3)答：當(dāng)剪去的正方形邊長(zhǎng)為4 cm時(shí)，容器的容積最大，最大容積為1 152 cm3.14某公司為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬元)，可增加銷售額約為t25t(百萬元)(0t3)(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬元)，可增加的銷售額為x3x23x(百萬元)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大解析：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t<3)，所以當(dāng)t2時(shí)，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司獲得的收益最大(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3x)(百萬元)由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又當(dāng)0x<2時(shí)，g(x)>0；當(dāng)2<x3時(shí)，g(x)<0.故g(x)在0,2)上是增函數(shù)，在(2,3上是減函數(shù)，所以當(dāng)x2時(shí)，g(x)取得最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，可使該公司由此獲得的收益最大