第2講數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入考綱解讀1.理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件(重點)2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義，能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點或向量表示，并能將復(fù)平面上的點或向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示3.能進行復(fù)數(shù)形式的四則運算，并了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義(重點、難點)考向預(yù)測 從近三年高考情況來看，本講在高考中屬于必考內(nèi)容. 預(yù)測2020年將會考查：復(fù)數(shù)的基本概念與四則運算；復(fù)數(shù)模的計算；復(fù)數(shù)的幾何意義. 題型為客觀題，難度一般不大，屬于基礎(chǔ)題型.1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，bR)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) 平面向量.3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算(1)運算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)復(fù)數(shù)乘法的運算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.(4)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義復(fù)數(shù)加法的幾何意義：若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量，不共線，則復(fù)數(shù)z1z2是所對應(yīng)的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1z2是即所對應(yīng)的復(fù)數(shù)4模的運算性質(zhì)：|z|2|2z；|z1z2|z1|z2|；.1概念辨析(1)關(guān)于x的方程ax2bxc0(a，b，cR且a0)一定有兩個根()(2)若復(fù)數(shù)abi中a0，則此復(fù)數(shù)必是純虛數(shù)()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小()(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)(2017全國卷)()A12i B12i C2i D2i答案D解析2i.故選D.(2)(2018北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析設(shè)復(fù)數(shù)zi，所以z的共軛復(fù)數(shù)i，對應(yīng)的點為，位于第四象限(3)(2018華南師大附中一模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zcos3isin3(i為虛數(shù)單位)，則|z|為()A4 B3 C2 D1答案D解析|z|1.(4)設(shè)復(fù)數(shù)z12i，z2a2i(i為虛數(shù)單位，aR)，若z1z2R，則a_.答案4解析因為z1z2(2i)(a2i)2a2(4a)i，且z1z2是實數(shù)，所以4a0即a4.題型 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1設(shè)mR，m2m2(m21)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m()A1 B1 C2 D2答案C解析因為m2m2(m21)i是純虛數(shù)，所以解得m2.2若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A3，2 B3,2 C3，3 D1,4答案A解析因為(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2.3(2018合肥一檢)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的虛部是()A. B C1 D1答案B解析復(fù)數(shù)zi，則z的虛部為.4(2018全國卷)設(shè)z2i，則|z|()A0 B. C1 D.答案C解析因為z2i2i2ii，所以|z|1，故選C.有關(guān)處理復(fù)數(shù)基本概念問題的關(guān)鍵因為復(fù)數(shù)的分類、相等、模、共軛復(fù)數(shù)等問題都與實部與虛部有關(guān)，所以處理復(fù)數(shù)有關(guān)基本概念問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實部和虛部，即轉(zhuǎn)化為abi(a，bR)的形式，再從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實數(shù)問題來處理.1(2019安徽安慶模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，那么實數(shù)a的值為()A. B C3 D3答案C解析，由題意知2a1a2，解得a3.故選C.2已知集合AN，BxR|z3xi，且|z|5(i為虛數(shù)單位)，則AB_.答案4解析因為|z|5，所以x4，所以B4,4，所以AB43(2017浙江高考)已知a，bR，(abi)234i(i是虛數(shù)單位)，則a2b2_，ab_.答案52解析因為(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.題型 復(fù)數(shù)的幾何意義1(2019福州質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，z12i，則()A1i B.iC1i D1i答案B解析因為復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，z12i，所以z22i，所以i，故選B.2若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線yx上，則z()A1 B2 C1 D2答案B解析因為zi，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線yx上，所以1，a2，所以z(1i)(1i)1i22.3若復(fù)數(shù)z滿足|z|1；|zi|12i|，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為_答案4解析設(shè)zxyi(x，yR)，由|z|1及|zi|12i|易得x2y21及x2(y1)25知z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)圖形的面積為54.條件探究1把舉例說明1中的“實軸”改為“虛軸”，求z1z2.解因為復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，z12i，所以z22i.所以z1z2(2i)(2i)i2225.條件探究2將舉例說明1中z1對應(yīng)的向量繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90，得z2對應(yīng)的向量，試求.解如圖所示，z12i，z212i，所以i.復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用1復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即zabi(a，bR)Z(a，b).2由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀提醒：|z|的幾何意義：令zxyi(x，yR)，則|z|，由此可知表示復(fù)數(shù)z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義；|z1z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點之間的距離.1在復(fù)平面內(nèi)，若O(0,0)，A(2，1)，B(0,3)，則在OACB中，點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A22i B22i C1i D1i答案A解析在OACB中，(2，1)(0,3)(2,2)，所以點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為22i.2如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長是1，復(fù)平面內(nèi)點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足(z1i)z1，則復(fù)數(shù)z1()AiB.iC.iDi答案B解析由圖可知z2i，因為(z1i)z1，所以z1iiii.題型 復(fù)數(shù)的四則運算角度1復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算1(1)(2018天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_；(2)已知i是虛數(shù)單位，82018_.答案(1)4i(2)1i解析(1)4i.(2)原式81009i81009i8i10091i425211i.角度2復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用2若復(fù)數(shù)(1i)(cosisin)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是_答案，kZ解析(1i)(cosisin)(cossin)(sincos)i，此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(cossin，sincos)由題意得角終邊所在的區(qū)域如圖所示所以2k<<2k，kZ.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加減法在進行復(fù)數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可(2)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可(3)復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式2記住以下結(jié)論，可提高運算速度(1)(1i)22i；(2)i；(3)i；(4)bai；(5)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).1(2018太原二模)()A2 B2 C. D答案A解析2.2若復(fù)數(shù)z滿足(12i)z1i，則|()A. B. C. D.答案C解析z，|z|.3復(fù)數(shù)zcos75isin75(i是虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)，z2對應(yīng)的點位于第_象限答案二解析z2(cos75isin75)2(cos275sin275)(2sin75cos75)icos150isin150i，其對應(yīng)的點位于第二象限