新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第三章三角函數(shù)第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)考情展望1.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值.2.考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定一、角的有關(guān)概念1從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角2從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角3若與是終邊相同的角，則用表示為2k(kZ)二、弧度與角度的互化11弧度的角長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角2角的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長為l，那么，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|.3角度與弧度的換算1°rad；1 rad°.4弧長、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為(rad)，半徑為r，則lr，扇形的面積為Slrr2.角度制與弧度制不可混用角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用三、任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .2幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(為正)即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正1給出下列四個(gè)命題：是第二象限角；是第三象限角；400°是第四象限角；315°是第一象限角其中正確的命題有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【解析】中是第三象限角，故錯(cuò)誤中，從而是第三象限角正確中400°360°40°，從而正確中315°360°45°，從而正確【答案】C2已知角的終邊過點(diǎn)P(1,2)，則sin ()A. B. C D【解析】由三角函數(shù)的定義可知，sin .【答案】B3若sin 0且tan 0，則是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】由sin 0，得在第三、四象限或y軸非正半軸上，又tan 0，在第三象限【答案】C4弧長為3，圓心角為135°的扇形半徑為_，面積為_【解析】l3，135°，r4，Slr×3×46.【答案】465(2012·江西高考)下列函數(shù)中，與函數(shù)y定義域相同的函數(shù)為()Ay ByCyxex Dy【解析】函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x0，選項(xiàng)A中由sin x0xk，kZ，故A不對(duì)；選項(xiàng)B中x>0，故B不對(duì)；選項(xiàng)C中，xR，故C不對(duì)；選項(xiàng)D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域?yàn)閤|x0，故選D.【答案】D6(2011·江西高考)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.【解析】由三角函數(shù)的定義，sin ，又sin 0，y0且，解之得y8.【答案】8考向一 047角的集合表示及象限角的判定(1)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(2)已知是第三象限角，求所在的象限【思路點(diǎn)撥】(1)角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況求解(2)把寫成集合的形式，從而的集合形式也確定【嘗試解答】(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，角的集合為，當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，角的集合為，故所求角的集合為.(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，2n2n，是第二象限角，當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，2n2n，是第四象限角，綜上知，當(dāng)是第三象限角時(shí)，是第二或第四象限角規(guī)律方法11.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2k(02)(kZ)的形式，然后再根據(jù)所在的象限予以判斷.2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若k·180°45°(kZ)，則在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限【解析】當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，n·360°45°，所以在第一象限當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，n·360°225°，所以在第三象限綜上可知，在第一或第三象限【答案】A考向二 048扇形的弧長及面積公式已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長為l.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積【思路點(diǎn)撥】(1)可直接用弧長公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧長或半徑表示出扇形面積，然后確定其最大值時(shí)的半徑和弧長，進(jìn)而求出圓心角；(3)利用S弓S扇S，這樣就需要求扇形的面積和三角形的面積【嘗試解答】(1)l10×(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l10，2 rad.(3)設(shè)弓形面積為S弓由題知lcm，S弓S扇S××2×22×sin (cm2)規(guī)律方法21.利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.2.本題把求扇形面積最大值的問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，這是解決此類問題的常用方法.3.在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要注意合理地利用圓心角所在的三角形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10，(1)求弦AB所對(duì)的圓心角的大??；(2)求所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S.【解】(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB為等邊三角形因此弦AB所對(duì)的圓心角.(2)由扇形的弧長與扇形面積公式，得l·R×10，S扇形R·l·R2.又SAOB·OA·OB·sin 25.弓形的面積SS扇形SAOB50.考向三 049三角函數(shù)的定義(1)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m，3)，且cos ，則m等于()AB.C4D4(2)已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值【思路點(diǎn)撥】(1)求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解(2)在直線上設(shè)一點(diǎn)P(4t，3t)，求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，由于點(diǎn)P可在不同的象限內(nèi)，所以需分類討論【嘗試解答】(1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離|OP|，cos ，m4.【答案】C(2)在直線3x4y0上任取一點(diǎn)P(4t，3t)(t0)，則x4t，y3t，r|PO|5|t|，當(dāng)t0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，當(dāng)t0時(shí)，sin ，cos ，tan .當(dāng)t0時(shí)，sin ，cos ，tan .規(guī)律方法3定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)90°180°，角的終邊上一點(diǎn)為P(x，)，且cos x，求4sin 3tan 的值【解】r，cos ，從而x，解得x0或x±.90°180°，x0，因此x.則r2，sin ，tan .故4sin 3tan .易錯(cuò)易誤之六|a|a三角函數(shù)定義求值中引發(fā)的分類討論1個(gè)示范例 1個(gè)防錯(cuò)練(2014·臨沂模擬)已知角的終邊上一點(diǎn)p(3a,4a)(a0)，則sin _.【解析】x3a，y4a，r5|a|.此處在求解時(shí)，常犯r5a的錯(cuò)誤，出錯(cuò)的原因在于去絕對(duì)值時(shí)，沒有對(duì)a進(jìn)行討論.(1)當(dāng)a0時(shí)，r5a，sin .(2)當(dāng)a0時(shí)，r5a，sin sin ±.【防范措施】1.對(duì)于|a|，在去掉絕對(duì)值號(hào)后，應(yīng)分a0和a0兩種情況討論.2.已知角終邊上任意一點(diǎn)p(x，y)，求三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)用sin ，cos ，tan 求解.已知角的終邊落在直線y2x上，則sin cos _.【解析】在角的終邊上任取一點(diǎn)P(t,2t)(t0)，則r|OP|t|(1)若t0，則sin ，cos ，sin cos .(2)若t0，則sin ，cos ，sin cos .綜上所述，sin cos ±.【答案】±第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式考情展望1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求三角函數(shù)值.2.借助誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式，進(jìn)而求三角函數(shù)值一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1平方關(guān)系：sin2cos21.2商數(shù)關(guān)系：tan (k，kZ)二、六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_誘導(dǎo)公式記憶口訣對(duì)于角“±”(kZ)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”“符號(hào)看象限”是指“在的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”1已知cos()，且是第四象限角，則sin ()AB.C.D±【解析】cos()cos()cos ，cos ，又是第四象限角，sin 0，則sin .【答案】A2已知sin()cos(2)，|，則等于()A B C. D.【解析】由sin()cos(2)得sin cos ，tan ，又|，故選D.【答案】D3sin 585°的值為()A B. C D.【解析】sin 585°sin(360°225°)sin 225°sin(180°45°)sin 45°.【答案】A4若cos 且，則tan ()A. B. C D【解析】cos ，且，sin ，tan .【答案】B5(2012·遼寧高考)已知sin cos ，(0，)，則sin 2()A1 B C. D1【解析】因?yàn)閟in cos ，所以12sin cos 2，即sin 21.【答案】A6(2013·廣東高考)已知sin，那么cos ()A B C. D.【解析】sincos ，故cos ，故選C.【答案】C考向一 050同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用(1)已知5，則sin2sin cos 的值是()A.BC2D2(2)(2014·嘉興模擬)已知，tan 2，則cos _.【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)已知條件求得tan ，再把所求式變?yōu)橛胻an 表示的式子求解；(2)切化弦，結(jié)合sin2cos21求解【嘗試解答】(1)由5，得5，即tan 2.所以sin2sin cos .(2)依題意得由此解得cos2；又(，)，因此cos .【答案】(1)A(2)規(guī)律方法11.利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.2.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2014·汕頭模擬)若tan 2，則的值為()A0B.C1D.(2)若，且sin ，則tan _.【解析】(1)tan 2，.(2)，sin ，cos ，tan .【答案】(1)B(2)考向二 051誘導(dǎo)公式的應(yīng)用(1)sin 600°tan 240°的值等于()AB.C.D.(2)若sin，則cos等于()A B C. D.(3)(2014·濰坊模擬)已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2xy0上，則()A2 B2 C0 D.【思路點(diǎn)撥】(1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡(2)分析角“”與“”間的關(guān)系(3)先求tan 的值，再對(duì)原式化簡，代入求值便可【嘗試解答】(1)sin 600°tan 240°sin(360°240°)tan(180°60°)sin(180°60°)tan 60°sin 60°tan 60°.(2)coscossin.(3)由題意可知tan 2.故2.【答案】(1)B(2)C(3)B規(guī)律方法21.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓?，向所求角和三角函?shù)進(jìn)行化歸.2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值.考向三 052sin ±cos 與sin ·cos 的關(guān)系(2014·昌平模擬)已知x0，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值【思路點(diǎn)撥】(1)利用平方關(guān)系，設(shè)法溝通sin xcos x與sin xcos x的關(guān)系；(2)先利用倍角公式、商數(shù)關(guān)系式化為角x的弦函數(shù)，再設(shè)法將所求式子用已知表示出來【嘗試解答】(1)法一：由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，又sin xcos x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.所以sin xcos x法二：由法一可知sin xcos x0，又x0，所以sin x0，cos x0，聯(lián)立得.(2).規(guī)律方法31.第(1)問應(yīng)注意x的范圍對(duì)sin xcos x的符號(hào)的影響.事實(shí)上根據(jù)條件可進(jìn)一步判定x.2.對(duì)于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求，轉(zhuǎn)化公式為(sin ±cos )21±2sin cos ，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2014·威海模擬)已知(0，)，sin cos ，則tan 的值為()A或BC D【解析】法一由sin cos 兩邊平方得，sin cos ，由sin ·cos ，解得tan 或tan ，(0，)，0sin cos (1)1，|sin |cos |，|tan |1，即.tan 1，tan 舍去，故tan .法二：由sin cos ，兩邊平方得sin ·cos ，(sin cos )212sin ·cos 12.(0，)，sin cos (1)1，sin cos 0，sin cos .由解得tan .【答案】C易錯(cuò)易誤之七撥云見日三角函數(shù)式中“角范圍”的信息提取1個(gè)示范例 1個(gè)防錯(cuò)練(2012·大綱全國卷)已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2()ABC.D.【解析】sin cos ，(sin cos )2，2sin cos ，即sin 2.又為第二象限角且sin cos >0，此處在求解中，分析不出“sin cos 0”這個(gè)隱含信息，導(dǎo)致后面的“”范圍無法確定，進(jìn)而影響后面的解答.2k<<2k(kZ)，4k<2<4k(kZ)，2為第三象限角，cos 2.【防范措施】(1)由sin cos ，隱含著sin cos 0，即sin cos ，結(jié)合為第二象限角可進(jìn)一步約束角的范圍.(2)利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值，開方時(shí)應(yīng)注意三角函數(shù)值符號(hào)的判斷.若sin ，cos 是關(guān)于x的方程5x2xa0(a是常數(shù))的兩根，(0，)，則cos 2的值為_【解析】由題意可知，sin cos ，(sin cos )2，sin 2.即2sin cos 0，則sin 與cos 異號(hào)，又sin cos 0，.2，故cos 2.【答案】第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情展望1.考查三角函數(shù)圖象的識(shí)別.2.考查三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性).3.考查三角函數(shù)的值域(最值)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域xRxRxR且xk，kZ值域1,11,1R單調(diào)性遞增區(qū)間是2k，2k (kZ)，遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)遞增區(qū)間是（k，k）(kZ)最值ymax1；ymin1ymax1；ymin1無最大值和最小值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心(k，0)，kZ，kZ，kZ對(duì)稱軸xk，kZxk，kZ無對(duì)稱軸最小正周期22三角函數(shù)奇偶性的判斷技巧1若f(x)Asin(x)(A，0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)2若f(x)Acos(x)(A，0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)1函數(shù)ytan 3x的定義域?yàn)?)A.B.C.D.【解析】由3xk，kZ得x，kZ，故選D.【答案】D2函數(shù)f(x)2cos是()A最小正周期為2的奇函數(shù)B最小正周期為2的偶函數(shù)C最小正周期為2的非奇非偶函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)【解析】f(x)2cos2cos2sin x，故f(x)是最小正周期為2的奇函數(shù)【答案】A3函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對(duì)稱軸是()AxBxCx Dx【解析】法一正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，則x.法二x時(shí)，ysin0，不合題意，排除A；x時(shí)，ysin，不合題意，排除B；x時(shí)，ysin1，符合題意，C項(xiàng)正確；而x時(shí)，ysin，不合題意，故D項(xiàng)也不正確【答案】C4比較大?。簊in_sin.【解析】0，sinsin.【答案】5(2013·天津高考)函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC. D0【解析】x0，2x，當(dāng)2x時(shí)，f(x)sin(2x)有最小值.【答案】B6(2013·江蘇高考)函數(shù)y3sin的最小正周期為_【解析】函數(shù)y3sin的最小正周期T.【答案】 考向一 053三角函數(shù)的定義域和值域(1)函數(shù)y的定義域?yàn)開(2)求下列函數(shù)的值域：y2cos2 x2cos x；y3cos xsin x，x0，；ysin xcos xsin xcos x.【思路點(diǎn)撥】(1)由tan x10，且xk，kZ解得(2)令cos xt，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解，注意t的范圍借助輔助角公式，化原式成yAsin(x)的形式，借助函數(shù)的單調(diào)性求解令sin xcos xt，則sin xcos x，從而轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域【嘗試解答】(1)要使函數(shù)有意義，必需有即故函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】(2)y2cos2x2cos x22.當(dāng)且僅當(dāng)cos x1時(shí)，得ymax4，當(dāng)且僅當(dāng)cos x時(shí)，得ymin，故函數(shù)值域?yàn)?y3cos xsin x22cos.x0，x，1cos，22cos3.y3cos xsin x的值域?yàn)?，3法一：ysin xcos xsin xcos xsinsin2sin21，所以當(dāng)sin1時(shí)，y取最大值1.當(dāng)sin時(shí)，y取最小值1，該函數(shù)值域?yàn)?法二：設(shè)tsin xcos x，則sin xcos x(t)，ytt2(t1)21，當(dāng)t時(shí)，y取最大值為，當(dāng)t1時(shí)，y取最小值為1.函數(shù)值域?yàn)?規(guī)律方法11.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.2.求解三角函數(shù)的值域(最值)的常見類型及方法.,(1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解.考向二 054三角函數(shù)的單調(diào)性求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)ysin；(2)y|tan x|.【思路點(diǎn)撥】(1)ysin，再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解；(2)由ytan x的圖象y|tan x|的圖象求單調(diào)區(qū)間【嘗試解答】(1)ysin，它的增區(qū)間是ysin的減區(qū)間，它的減區(qū)間是ysin的增區(qū)間由2k3x2k，kZ，得x，kZ.由2k3x2k，kZ.得x，kZ.故所給函數(shù)的減區(qū)間為，kZ；增區(qū)間為，kZ.(2)觀察圖象可知，y|tan x|的增區(qū)間是，kZ，減區(qū)間是，kZ.規(guī)律方法21.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.2.求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“x”為一個(gè)整體，通過解不等式求解.但如果0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2014·常州模擬)已知函數(shù)ysin，求：(1)函數(shù)的周期；(2)求函數(shù)在，0上的單調(diào)遞減區(qū)間【解】由ysin可化為ysin.(1)周期T.(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以xR時(shí)，ysin的減區(qū)間為，kZ.取k1,0可得函數(shù)在，0上的單調(diào)遞減區(qū)間為和.考向三 055三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性(1)已知函數(shù)f(x)sin(x)1，則下列說法正確的是()Af(x)是周期為1的奇函數(shù)Bf(x)是周期為2的偶函數(shù)Cf(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)Df(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)(2)已知f(x)cos(x)sin(x)為偶函數(shù)，則可以取的一個(gè)值為()A.B.C D(3)設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)，給出以下四個(gè)論斷：它的最小正周期為；它的圖象關(guān)于直線x成軸對(duì)稱圖形；它的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；在區(qū)間上是增函數(shù)以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題_(用序號(hào)表示即可)【思路點(diǎn)撥】(1)借助誘導(dǎo)公式對(duì)f(x)先化簡，再判斷(2)化f(x)為Asin(x)的形式，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解(3)本題是一個(gè)開放性題目，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱性逐一判斷【嘗試解答】(1)周期T2，f(x)sin1cos x1，因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故選B.(2)f(x)22cos2cos，由f(x)為偶函數(shù)，知k(kZ)，即k(kZ)，由所給選項(xiàng)知只有D適合(3)若、成立，則2；令2·k，kZ，且|，故k0，.此時(shí)f(x)sin，當(dāng)x時(shí)，sinsin 0，f(x)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱；又f(x)在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，因此，用類似的分析可得.因此填或.【答案】(1)B(2)D(3)或規(guī)律方法31.判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時(shí)，一般先將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解.2.求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：(1)周期定義；(2)利用正(余)弦型函數(shù)周期公式；(3)借助函數(shù)的圖象.思想方法之九研究三角函數(shù)性質(zhì)的一大“法寶”整體思想所謂整體思想就是研究問題時(shí)從整體出發(fā)，對(duì)問題的整體形式、結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行綜合分析、整體處理的思想方法在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用“整體思想”可以解決以下幾類問題(1)三角函數(shù)的化簡求值；(2)研究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如定義域、值域、單調(diào)性等)；(3)解三角不等式或求含參變量的取值范圍問題1個(gè)示范例 1個(gè)對(duì)點(diǎn)練(2012·課標(biāo)全國卷)已知>0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A.B.C. D(0,2【解析】由x得x，由題意知，故選A.已知函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，則的取值范圍是()A.6，)B.C(，26，)D(，2【解析】當(dāng)0時(shí)，由x得x，由題意知，當(dāng)0時(shí)，由x得x，由題意知，2，綜上知(，2.【答案】D第四節(jié)函數(shù)yAsin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的應(yīng)用考情展望1.考查函數(shù)yAsin(x)的圖象變換.2.考查函數(shù)yAsin(x)的圖象畫法或解析式的求法.3.以新問題新情景為切入點(diǎn)，考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用一、yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相ATfx二、用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0 三、由ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)(其中A0，0)的圖象(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移兩種變換的差異先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個(gè)單位原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的1已知簡諧運(yùn)動(dòng)f(x)2sin的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則該簡諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相分別為()AT6，BT6，CT6， DT6，【解析】由題意知f(0)2sin 1，sin ，又|，又T6，故選A.【答案】A2函數(shù)ysin在區(qū)間上的簡圖是下列選項(xiàng)中的()【解析】當(dāng)x時(shí)，ysin0；當(dāng)x時(shí)，ysin，從而排除B、C、D，選A.【答案】A3將函數(shù)ysin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位，得到圖象的函數(shù)解析式為()Aysin BysinCysin Dysin【解析】將ysin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象解析式為ysin x，再把所得圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖象解析式為ysin sin.【答案】D圖3414已知函數(shù)yAsin(x)(0，|)的部分圖象如圖341所示，則()A1，B1，C2，D2，【解析】由圖象知A1，T4，2，排除A，B，再由2×，得.【答案】D5(2012·安徽高考)要得到函數(shù)ycos(2x1)的圖象，只要將函數(shù)ycos 2x的圖象()A向左平移1個(gè)單位 B向右平移1個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位【解析】ycos(2x1)cos 2，只要將函數(shù)ycos 2x的圖象向左平移個(gè)單位即可，故選C.【答案】C6(2013·四川高考)函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖342所示，則，的值分別是()圖342A2， B2，C4， D4，【解析】，T.又T(>0)，2.由五點(diǎn)作圖法可知當(dāng)x時(shí)，x，即2×，.故選A.【答案】A考向一 056作函數(shù)yAsin(x)的圖象已知函數(shù)f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.(1)將f(x)化為yAcos(x)的形式；(2)用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)中，作出函數(shù)f(x)在0，上的圖象【思路點(diǎn)撥】(1)運(yùn)用二倍角公式及兩角和與差的余弦公式化為yAcos(x)的形式；(2)在表中列出0，上的特殊點(diǎn)及兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)，根據(jù)變化趨勢(shì)畫出圖象【嘗試解答】(1)f(x)cos2xsin2x2sin xcos xcos 2xsin 2xcos.(2)列表：2x2x0f(x)1001圖象為：規(guī)律方法11.尋找0，上的特殊點(diǎn)時(shí)，可先求出2x的范圍，在此范圍內(nèi)找出特殊點(diǎn)，再求出對(duì)應(yīng)的x值.2.用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)注意四點(diǎn)：(1)將原函數(shù)化為yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的形式；(2)求出周期T；(3)求出振幅A；(4)列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)sin.畫出函數(shù)yf(x)在區(qū)間0，上的圖象【解】0x，2x.列表如下：2x2x0y1010畫出圖象如圖所示考向二 057函數(shù)yAsin(x)的圖象變換(1)(2012·浙江高考)把函數(shù)ycos 2x1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的圖象是()(2)(2013·課標(biāo)全國卷)函數(shù)ycos(2x)()的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)ysin的圖象重合，則_.【思路點(diǎn)撥】(1)寫出變換后的函數(shù)解析式，再根據(jù)圖象變換找圖象；(2)先進(jìn)行平移，得出的三角函數(shù)與所給的三角函數(shù)進(jìn)行比較，求出的值. 【嘗試解答】(1)ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1ycos(x1)結(jié)合選項(xiàng)可知應(yīng)選A.(2)ycos(2x)的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)cos的圖象，整理得ycos(2x)其圖象與ysin(2x)的圖象重合，2k，2k，即2k.又，.【答案】(1)A(2)規(guī)律方法2對(duì)yAsin(x)進(jìn)行圖象變換時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)平移變換時(shí)，x變?yōu)閤±a(a0)，變換后的函數(shù)解析式為yAsin(x±a)；(2)伸縮變換時(shí)，x變?yōu)?橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍)，變換后的函數(shù)解析式為yAsin(x).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2014·濟(jì)南一中等四校聯(lián)考)為了得到函數(shù)ysin 2x的圖象，只需把函數(shù)ysin的圖象()A向左平移個(gè)單位B向左平移個(gè)單位C向右平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位【解析】ysinsin 2，故只需把該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位便可得到函數(shù)ysin 2x的圖象【答案】D考向三 058求函數(shù)yAsin(x)的解析式(1)如圖343是函數(shù)yAsin(x)2(A0，0)的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()圖343AA3，T，BA1，T，CA1，T， DA1，T，(2)如圖344是函數(shù)yAsin(x)(A0，0，|)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式為_圖344【思路點(diǎn)撥】(1)利用求A，借助T求，利用點(diǎn)求.(2)借助圖象特征求A及T，進(jìn)而求出，利用點(diǎn)或(，0)，等條件確定的值【嘗試解答】(1)由圖象知，A1，T，由×2k，得2k，kZ，令k0得，故選C.【答案】C(2)由圖知A5，由，得T3，此時(shí)y5sin.下面求初相.法一(單調(diào)性法)：點(diǎn)(，0)在遞減的那段曲線上，(kZ)由sin0得2k(kZ)，2k(kZ)|，.該函數(shù)的解析式為y5sin.法二(最值點(diǎn)法)：將最高點(diǎn)坐標(biāo)代入y5sin，得5sin5，2k(kZ)，2k(kZ)又|，.該函數(shù)的解析式為y5sin.法三(起始點(diǎn)法)：函數(shù)yAsin(x)的圖象一般由“五點(diǎn)法”作出，而起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)x正是由x0解得的故只需找出起始點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，就可以迅速求得.由圖象易得x0，x0×.該函數(shù)的解析式為y5sin.法四(平移法)：由圖象知，將y5sin的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，就得到本題圖象，故所求函數(shù)解析式為y5sin.規(guī)律方法31.求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時(shí)，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn).2.用五點(diǎn)法求值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)為突破口.“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x0.“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)，x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)x；“第五點(diǎn)”時(shí)x2.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2013·大綱全國卷)若函數(shù)ysin(x)(0)的部分圖象如圖345，則()圖345A5B4C3D2【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由函數(shù)圖象可知x0，所以T.又因?yàn)門，可解得4.【答案】B考向四 059三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用圖346如圖346為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m,60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h.(1)求h與間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？【思路點(diǎn)撥】【嘗試解答】(1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為.故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，h5.64.8sin.(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，h5.64.8sin，t0，)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h10.4 m.由sin1且用時(shí)最少得t，t30，纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間最少為30秒規(guī)律方法41.三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是已知三角函數(shù)模型，準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題，其關(guān)鍵是合理建模2建模的方法是，認(rèn)真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模的過程對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練圖347(2014·鄭州模擬)如圖347所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0(，)，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為()【解析】P0(，)，P0Ox.按逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)間t后，得POP0t，POxt.由三角函數(shù)定義，知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin，因此d2.當(dāng)點(diǎn)P在P0處時(shí)，t0，d，排除A、D；當(dāng)t時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，此時(shí)d0，排除B.【答案】C規(guī)范解答之四三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及平移變換1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)(2012·山東高考)已知向量m(sin x,1)，n(A>0)，函數(shù)f(x)m·n的最大值為6.(1)求A；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的值域【規(guī)范解答】(1)f(x)m·nAsin xcos xcos 2xAAsin.4分因?yàn)锳>0，由題意知A6.6分(2)由(1)得f(x)6sin.將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)6sin6sin的圖象；8分再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)6sin的圖象.10分因此g(x)6sin.因?yàn)閤，所以4x，故g(x)在上的值域?yàn)?,6.12分【名師寄語】(1)伸縮變換時(shí)，只是x的系數(shù)發(fā)生變化，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，則x變?yōu)?x，其他量不變.(2)求yAsin(x)的值域問題，應(yīng)先根據(jù)x的范圍，確定x的范圍，再數(shù)形結(jié)合求值域.(2013·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不畫圖，說明函數(shù)yf(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到【解】(1)因?yàn)閒(x)sin xsin xcos xsin xcos xsin(x)，所以當(dāng)x2k(kZ)，即x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最小值.此時(shí)x的取值集合為.(2)先將ysin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得ysin x的圖象；再將ysin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得yf(x)的圖象第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考情展望1.利用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡與求值.2.利用二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡與求值.3.與三角函數(shù)yAsin(x)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合，考查學(xué)生的綜合能力一、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1六個(gè)公式：sin(±)sin_cos_±cos_sin_；cos(±)cos_cos_sin_sin_；tan(±).2公式T(±)的變形：tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1三個(gè)公式：sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.2公式S2、C2的變形：sin cos sin 2；sin2(1cos 2)；cos2(1cos 2)1sin 34°sin 26°cos 34°cos 26°的值是()A. B. C D【解析】sin 34°sin 26°cos 34°cos 26°(cos 34°cos 26°sin 34°sin 26°)cos 60°.【答案】C2下列各式中，值為的是()A2sin 15°cos 15° Bcos215°sin215°C2sin215°1 Dsin215°cos215°【解析】2sin 15°cos 15°sin 30°，cos215°sin215°cos 30°，2sin215°1cos 30°，sin215°cos215°1.故選B.【答案】B3已知tan()3，tan()5，則tan 2()A. B C. D【解析】tan 2tan()().【答案】D4若cos ，是第三象限角，則sin()A B. C D.【解析】由題意知sin ，sinsin cos cos sin ××.【答案】A5(2013·江西高考)若sin ，則cos ()A B C. D.【解析