第六章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)訓(xùn)練組1(導(dǎo)學(xué)號14577597) 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n2n1對于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取( )A2B3C5 D6解析：Bn1時(shí)，212,2113,2n2n1不成立；n2時(shí)，224,2215,2n2n1不成立；n3時(shí)，238,2317,2n2n1成立n的第一個(gè)取值n03.2(導(dǎo)學(xué)號14577598)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7 B8C9 D10解析：B1>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應(yīng)取8.3(導(dǎo)學(xué)號14577599)對于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析：D在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法4(導(dǎo)學(xué)號14577600)凸n多邊形有f(n)條對角線，則凸(n1)邊形的對角線的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：C邊數(shù)增加1，頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè)，它與和它不相鄰的n2個(gè)頂點(diǎn)連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加n1條5(導(dǎo)學(xué)號14577601)用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：Bnk1時(shí)，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，應(yīng)乘2(2k1)6(導(dǎo)學(xué)號14577602)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)nk(kN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真解析：n為正奇數(shù)，假設(shè)nk成立后，需證明的應(yīng)為nk2時(shí)成立答案：k27(導(dǎo)學(xué)號14577603)若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_.解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28(導(dǎo)學(xué)號14577604)用數(shù)學(xué)歸納法證明> (k>1)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)乘上_，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是_解析：因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是，最后一個(gè)是，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有12k2k12k1項(xiàng)答案：2k19(導(dǎo)學(xué)號14577605)平面上有n個(gè)圓，每兩圓交于兩點(diǎn)，每三圓不過同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面為n2n2個(gè)部分證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，n2n21122，而一圓把平面分成兩部分，所以n1命題成立(2)設(shè)nk時(shí)，k個(gè)圓分平面為k2k2個(gè)部分，則nk1時(shí)，第k1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)分第k1個(gè)圓為2k段，每一段都將原來所在的平面一分為二，故增加了2k個(gè)平面塊，共有(k2k2)2k(k1)2(k1)2個(gè)部分對nk1也成立由(1)(2)可知，這n個(gè)圓分割平面為n2n2個(gè)部分10(導(dǎo)學(xué)號14577606)已知數(shù)列xn滿足x1，xn1，nN*.猜想數(shù)列x2n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論解：由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是說，當(dāng)nk1時(shí)命題也成立結(jié)合(1)和(2)知命題成立能力提升組11(導(dǎo)學(xué)號14577607)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()An1 B2nC. Dn2n1解析：C1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成1(123n)1個(gè)區(qū)域12(導(dǎo)學(xué)號14577608)已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為()A18 B36C48 D54解析：B由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當(dāng)n1時(shí)，可知猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，猜想成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；當(dāng)nk1時(shí)， f(k1)(2k9)3k19(2k7)3k936(k5)3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值為36.13(導(dǎo)學(xué)號14577609)用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上增添的代數(shù)式是_.解析：當(dāng)nk時(shí)，左側(cè)123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左側(cè)123k2(k21)(k22)(k1)2，當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上增添(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)214(導(dǎo)學(xué)號14577610)(2018梅州市一模)數(shù)列an滿足a1，an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，證明Snnln.解：(1)法一：an111，所以1，所以是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以n1，所以an.法二：a2，a3，a4，猜測an.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)n1時(shí)，由題目已知可知a1，命題成立； 假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)成立，即ak，那么當(dāng)nk1，ak1，也就是說，當(dāng)nk1時(shí)命題也成立綜上所述，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)證明：設(shè)F(x)ln(x1)x(x0)，則F(x)1<0(x>0)函數(shù)F(x)為(0，)上的減函數(shù)，所以F(x)F(0)0，即ln(x1)0(x0)，從而ln <，1<1ln，an1<1ln(n2)ln(n1)，Sn(1ln 3ln 2)(1ln 4ln 3)1ln (n2)ln (n1)，Sn<nln .