5不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解不等式應(yīng)用的廣泛性.2.能用不等式解決一些生產(chǎn)及生活中的問題知識(shí)點(diǎn)一平均值不等式寫出平均值不等式(1)(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，“”號(hào)成立(2)(a，b，cR)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，“”號(hào)成立知識(shí)點(diǎn)二不等式的應(yīng)用1不等式的應(yīng)用大致分為兩類(1)利用不等式研究函數(shù)的性質(zhì)，求參數(shù)的取值范圍(2)實(shí)際問題中建立不等式(或函數(shù))模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2解不等式應(yīng)用問題的四個(gè)步驟(1)審題，必要時(shí)畫出示意圖(2)建立不等式模型，即根據(jù)題意找出常數(shù)量和變量之間的不等關(guān)系(3)利用不等式的有關(guān)知識(shí)解題，即將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)或圖形符號(hào)(4)作出問題結(jié)論類型一列不等式解實(shí)際應(yīng)用題例1某學(xué)校為提高辦學(xué)質(zhì)量，決定為各班教室配置一臺(tái)液晶電視機(jī)，經(jīng)過學(xué)校研究，決定分別從兩種質(zhì)量相當(dāng)?shù)碾娨暀C(jī)品牌中選擇功能相同的電視機(jī)型號(hào)據(jù)了解，甲型號(hào)電視機(jī)為家電下鄉(xiāng)政府補(bǔ)貼品牌，每臺(tái)享受13%政府補(bǔ)貼優(yōu)惠政策(即按原價(jià)的87%出售)，乙型號(hào)電視機(jī)的優(yōu)惠條件是：不超過20臺(tái)(含20臺(tái))時(shí)，每臺(tái)按原價(jià)出售，超過20臺(tái)時(shí)，超過的臺(tái)數(shù)，每臺(tái)按原價(jià)的77%出售如果這兩種型號(hào)的電視機(jī)原價(jià)相同，你覺得應(yīng)該選擇哪種型號(hào)的電視機(jī)更合算？解設(shè)學(xué)校要購(gòu)買x(xN)臺(tái)電視機(jī)，甲、乙兩種型號(hào)的電視機(jī)售價(jià)總額分別為y甲元、y乙元，一臺(tái)電視機(jī)的售價(jià)為a元，則y甲0.87ax，y乙當(dāng)x20時(shí)，顯然選甲型號(hào)電視機(jī)更合算當(dāng)x>20時(shí)，y甲y乙0.87ax20a(x20)0.77a0.87ax20a0.77ax15.4a0.1ax4.6a.故當(dāng)x<46時(shí)，選甲型號(hào)電視機(jī)更合算；當(dāng)x46時(shí)，兩種型號(hào)電視機(jī)售價(jià)總額相同；當(dāng)x>46時(shí)，選乙型號(hào)電視機(jī)更合算反思與感悟利用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)(1)根據(jù)題意，利用引入的變量表示出其他所涉及的變量(2)要準(zhǔn)確地使用不等號(hào)，同時(shí)注意實(shí)際情況對(duì)表示各量的字母取值范圍的限制跟蹤訓(xùn)練1某校園內(nèi)有一邊長(zhǎng)為80m，寬為60m的長(zhǎng)方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，則花卉帶寬度(單位：m)的范圍是_答案(0,10解析設(shè)花卉帶的寬度為xm，則中間草坪的長(zhǎng)為(802x)m，寬為(602x)m.根據(jù)題意知(802x)(602x)8060，即4x21402x80600，整理得x270x60100，即(x60)(x10)0，所以0<x10或x60，x60不符合題意，舍去故所求花卉帶寬度(單位：m)的范圍為(0,10類型二實(shí)際應(yīng)用問題中的最值問題例2如圖，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮(圖)的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器(圖)當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為多少時(shí)，容積最大，并求出最大容積解設(shè)正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的邊長(zhǎng)為x(0x1)，則OB1B1B2x，如圖由正六邊形A1A2A3A4A5A6的邊長(zhǎng)為1，得OA1A1A21，A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于點(diǎn)C1，在RtA1C1B1中，B1A1C160，則容器的高B1C1A1B1sin 60(1x)于是容器的容積為Vf(x)Sh(1x)x2(1x)(0x1)則f(x)x2(1x)xx(22x)3，當(dāng)且僅當(dāng)xx22x，即x時(shí)，Vmax.故當(dāng)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為時(shí)，最大容積為.反思與感悟利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式解決應(yīng)用問題的一般步驟(1)理解題意，設(shè)變量設(shè)變量時(shí)一般要把所求最大值或最小值的變量定為函數(shù)(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為求函數(shù)的最大值或最小值問題(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值(4)驗(yàn)證相等條件，得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2已知球的半徑為R，球內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，求當(dāng)r和h為何值時(shí)，內(nèi)接圓柱的體積最大？解設(shè)內(nèi)接圓柱的體積為V，又R2r2，r2R2，Vr2hh(4R2h2)hR3，當(dāng)且僅當(dāng)4R2h22h2，即hR時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)rR.當(dāng)hR，rR時(shí)，內(nèi)接圓柱的體積最大，為R3.1現(xiàn)有甲、乙兩人相約爬山，若甲上山的速度為v1，下山(原路返回)的速度為v2(v1v2)，乙上下山的速度都是(v1v2)(兩人途中不停歇)，則甲、乙兩人上下山所用時(shí)間t1，t2的關(guān)系為()At1>t2Bt1<t2Ct1t2D不能確定答案A解析設(shè)s為上山路程，則下山路程也為s.t1>2，t2<，t1>t2.2某城市為控制用水計(jì)劃提高水價(jià)，現(xiàn)有四種方案，其中提價(jià)最多的方案是(已知0<q<p<1)()A先提價(jià)p%，再提價(jià)q%B先提價(jià)q%，再提價(jià)p%C兩次都提價(jià)%D兩次都提價(jià)%答案C解析由題可知，A，B提價(jià)均為(1p%)(1q%)1，C提價(jià)21，D提價(jià)21.由<<(1p%)(1q%)1<21<21，故提價(jià)最多的方案是C.3汽車上坡時(shí)的速度為a，原路返回時(shí)的速度為b，且0<a<b，則汽車全程的平均速度比a，b的平均值()A大B小C相等D不能確定答案B解析設(shè)單程為s，則上坡時(shí)間t1，下坡時(shí)間t2，平均速度為v<.4設(shè)甲、乙兩地的距離為s，船在流水中在甲地和乙地來回行駛一次的平均速度為v1(v1>0)，已知船在靜水中的速度為v2(v2>0)，試比較v1和v2的大小解設(shè)水流速度為v(v>0)，則船在流水中在甲、乙間來回行駛一次的時(shí)間t，平均速度v1.v1>0，v2>0，12<1，v1<v2.利用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)應(yīng)注意：(1)要仔細(xì)閱讀題目，弄清要解決的實(shí)際問題，確定是求什么量的最值(2)分析題目中給出的條件，建立y的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)f(x)(x一般為題目中最后所要求的量或不等式)(3)利用不等式的有關(guān)知識(shí)解題求解過程中要注意實(shí)際問題對(duì)變量x取值范圍的制約一、選擇題1某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0<t30)的關(guān)系大致滿足f(t)t210t16，則該商場(chǎng)前t天平均銷售量(如前10天的平均銷售量為)的月餅最少為()A18B27C20D16答案A解析平均銷售量yt1018.當(dāng)且僅當(dāng)t，即t41,30時(shí)等號(hào)成立，即平均銷售量的最小值為18.2已知圓柱的軸截面周長(zhǎng)為6，體積為V，則下列總成立的是()AVBVCVDV答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則高h(yuǎn)32r.Vr2(32r)rr(32r)3.3某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高，當(dāng)住第n層樓時(shí)，上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨樓層升高，環(huán)境不滿意程度降低，設(shè)住第n層樓時(shí)，環(huán)境不滿意程度為，則此人應(yīng)選()A1樓B2樓C3樓D4樓答案C解析此人不滿意程度越小，樓層越好設(shè)yn，易知函數(shù)yx的遞減區(qū)間為(0,2)，遞增區(qū)間為2，)當(dāng)n2時(shí)，y6；當(dāng)n3時(shí)，y5.因此選3樓不滿意度最小4若a>0，b>0，a，b的等差中項(xiàng)是，且a，b，則的最小值為()A2B3C4D5答案D解析因?yàn)閍b1，所以ab11115，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)“”成立，故選D.5若關(guān)于x的方程9x(4a)3x40有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，80，) B(，4C8,4) D(，8答案D解析由9x(4a)3x40可得出a4248，當(dāng)且僅當(dāng)3x2時(shí)“”成立，a(，86設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為()A0B1C.D3答案B解析由題意1，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z2y2，211，當(dāng)且僅當(dāng)y1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1.二、填空題7周長(zhǎng)為1的直角三角形面積的最大值為_答案解析設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，則1ab2.解得ab.所以直角三角形面積Sab.8天文臺(tái)用3.2萬元買一臺(tái)觀測(cè)儀，已知這臺(tái)觀測(cè)儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(nN)，使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的日平均耗資最少)為止，一共使用了_天答案800解析日平均耗資為280，當(dāng)且僅當(dāng)，即n800時(shí)取等號(hào)9某產(chǎn)品的總成本c(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間滿足的關(guān)系式為c30020xx2，其中0<x<240，若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量為_臺(tái)答案15解析由題意可知30020xx225x，解得x15或x20(舍去)10周長(zhǎng)為20的矩形繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱的側(cè)面積的最大值為_答案50解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，則寬為10x，則圓柱的側(cè)面積S2x(10x)(0<x<10)x>0,10x>0，S2x(10x)2222550，當(dāng)且僅當(dāng)x10x，即x5時(shí)取等號(hào)11制造一個(gè)容積為立方米的無蓋圓柱形桶，用來做底面的金屬板的價(jià)格為每平方米30元，做側(cè)面的金屬板的價(jià)格為每平方米20元，當(dāng)圓柱形桶的底面半徑為_米，高為_米時(shí)，所使用的材料成本最低答案解析設(shè)此圓柱形桶的底面半徑為r米，高為h米，則底面面積為r2，側(cè)面積為2rh，設(shè)原料成本為y元，則y30r240rh.桶的容積為，r2h，rh，y30r210103，當(dāng)且僅當(dāng)3r2，即r時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)h.三、解答題12某小區(qū)要建一座八邊形的休閑區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域，計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4 200元，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)角上鋪草坪，造價(jià)為每平方米80元(1)設(shè)總造價(jià)為S元，AD長(zhǎng)為x米，試建立S關(guān)于x的關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值解(1)設(shè)DQ長(zhǎng)為y米，則x24xy200，y，S4200x22104xy802y2380004000x2.(2)x>0，S380002118000，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，等號(hào)成立，Smin118000.13某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元1000萬元的投資收益現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且資金不超過9萬元，同時(shí)資金不超過投資收益的20%.(1)若建立函數(shù)f(x)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f(x)模型的基本要求；(2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：f(x)2；f(x)4lgx3.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？解(1)公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)x10,1 000時(shí)，f(x)是增函數(shù)；f(x)恒成立；f(x)9恒成立(2)對(duì)于函數(shù)模型f(x)2，當(dāng)x10,1 000時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(x)maxf(1000)22<9，所以f(x)9恒成立因?yàn)楹瘮?shù)在10,1 000上是減函數(shù)，所以max>，即f(x)不恒成立，故該函數(shù)模型不符合公司要求對(duì)于函數(shù)模型f(x)4lgx3，當(dāng)x10,1 000時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(x)maxf(1000)4lg100039，所以f(x)9恒成立設(shè)g(x)4lgx3，則g(x).當(dāng)x10時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在10,1 000上是減函數(shù)，從而g(x)g(10)1<0，所以4lgx3<0，即4lgx3<，所以f(x)恒成立，故該函數(shù)模型符合公司要求四、探究與拓展14已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a1|)f()，則a的取值范圍是_答案解析由題意知函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又f(x)是偶函數(shù)，所以由f(2|a1|)f()f()知，2|a1|，即|a1|，解得a.15等差數(shù)列an各項(xiàng)均為正整數(shù)，a13，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn中，b11，且b2S264，是公比為64的等比數(shù)列(1)求an與bn；(2)證明：<.(1)解設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數(shù)，an3(n1)d，bnqn1.依題意有由(6d)q64知，q為正有理數(shù)，又由q知，d為6的因數(shù)1,2,3,6之一，解得d2，q8.故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)證明Sn35(2n1)n(n2)所以(1)(1)<.