第2課時正弦定理和余弦定理學習目標1.熟練掌握正弦、余弦定理及其變形形式.2.掌握用兩邊夾角表示的三角形面積.3.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題知識點一正弦定理、余弦定理及常見變形1正弦定理及常見變形(1)2R(其中R是ABC外接圓的半徑)；(2)a2RsinA；(3)sinA，sinB，sinC.2余弦定理及常見變形(1)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC；(2)cosA，cosB，cosC.知識點二用兩邊夾角表示的三角形面積公式一般地，三角形面積等于兩邊及夾角正弦乘積的一半，即SABCabsin Cbcsin Aacsin B.思考1SABCabsinC中，bsinC的幾何意義是什么？答案BC邊上的高思考2如何用AB，AD，角A表示ABCD的面積？答案SABCDABADsinA.1當b2c2a2>0時，ABC為銳角三角形()2ABC中，若cos2Acos2B，則AB.()3在ABC中，恒有a2(bc)22bc(1cosA)()4ABC中，若c2a2b2>0，則角C為鈍角()5ABC的面積Sabc(其中R為ABC外接圓半徑)()題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1在ABC中，若ccosBbcosC，cosA，求sinB的值解由ccosBbcosC，結(jié)合正弦定理，得sinCcosBsinBcosC，故sin(BC)0，0<B<，0<C<，<BC<，BC0，BC，故bc.cosA，由余弦定理可知，a2b2c22bccosA2b22b2b2，得3a22b2，再由余弦定理，得cosB，故sinB.引申探究1對于本例中的條件，ccosBbcosC，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得cb.化簡得a2c2b2a2b2c2，c2b2，從而cb.2本例中的條件ccosBbcosC的幾何意義是什么？解如圖，作ADBC，垂足為D.則ccosBBD，bcosCCD.ccosBbcosC的幾何意義為邊AB，AC在BC邊上的射影相等反思感悟(1)邊、角互化是處理三角形邊、角混合條件的常用手段(2)解題時要畫出三角形，將題目條件直觀化，根據(jù)題目條件，靈活選擇公式跟蹤訓練1在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc.(1)求A的大??；(2)求的值解(1)由題意及余弦定理知，cosA，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sinBsinBsinA.題型二求三角形面積例2在ABC中，已知BC6，A30，B120，則ABC的面積為()A9B18C9D18答案C解析由正弦定理得，AC6.又C1801203030，SABCACBCsin C669.反思感悟求三角形面積，主要用兩組公式(1)底高(2)兩邊與其夾角正弦的乘積的一半選用哪組公式，要看哪組公式的條件已知或易求跟蹤訓練2在ABC中，已知tanA，當A時，ABC的面積為答案解析|cosAtanA，|，SABC|sinAtan2A.題型三利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，試判斷三角形的形狀解方法一由正弦定理知，a2Rsin A，b2Rsin B，R為ABC外接圓半徑，sin Acos Bsin Bcos Bsin Acos Bsin Acos A，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A，2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC為等腰三角形或直角三角形方法二由，得11，由余弦定理，得，.a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，a2c2a4b2c2b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟(1)要結(jié)合題目特征靈活選擇使用正弦定理還是使用余弦定理(2)變形要注意等價性，如sin2Asin2B2A2B.c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)c2a2b2.跟蹤訓練3在ABC中，若sin2Asin2B<sin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定答案C解析由正弦定理知，sinA，sinB，sinC.sin2Asin2B<sin2C可化為a2b2<c2，a2b2c2<0.cosC<0.角C為鈍角，ABC為鈍角三角形題型四利用正弦、余弦定理進行求值、化簡和證明例4在ABC中，有(1)abcosCccosB；(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA，這三個關(guān)系式也稱為射影定理，請給出證明證明方法一(1)由正弦定理，得b2RsinB，c2RsinC，bcosCccosB2RsinBcosC2RsinCcosB2R(sinBcosCcosBsinC)2Rsin(BC)2RsinAa.即abcosCccosB.同理可證(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA.方法二(1)由余弦定理，得cosB，cosC，bcosCccosBbca.abcosCccosB.同理可證(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA.反思感悟證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式，可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，正弦借助正弦定理轉(zhuǎn)化，余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化；二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系跟蹤訓練4在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a4，b5，c6，則.答案1解析由余弦定理得cosA，所以1.求三角形一角的值典例在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為()A.B.或C.D.或答案B解析cosB，a2c2b22accosB，代入已知等式得2accosBtanBac，即sinB，則B或.素養(yǎng)評析選擇運算方法是數(shù)學運算素養(yǎng)的內(nèi)涵之一運算從一點出發(fā)可以有無限個方向一個式子也可以有無限個變形，逐個試探肯定不現(xiàn)實那么如何選擇運算方向才能算得出，算得快？要點有3個：公式要熟，如本例至少應知道cos B，tan B.觀察聯(lián)想，如看到a2c2b2應聯(lián)想到a2c2b22accos B.權(quán)衡選擇，如本例也可把所有的邊都化為相應角的正弦，但權(quán)衡運算繁簡，不如整體把a2c2b2化為2accos B簡單.1在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a4，b3，C60，則ABC的面積為()A3B3C6D6答案B解析SABCabsinC43sin603.2在ABC中，若b2a2c2ac，則B等于()A60B45或135C120D30答案C解析b2a2c22accosBa2c2ac，ac2accosB，cosB，又0<B<180，B120.3在ABC中，角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c，若asinAbsinB<csinC，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定答案C解析根據(jù)正弦定理可得a2b2<c2.由余弦定理得cosC<0，故C是鈍角，ABC是鈍角三角形4在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosAacosC2c，若ab，則sinB等于()A.B.C.D.答案A解析ccos Aacos C2c，由正弦定理可得sin Ccos Asin Acos C2sin C，sin(AC)2sin C，sin B2sin C，b2c，又ab，a2c.cos B，B(0，)，sin B.1熟悉正弦、余弦定理的各種變形，注意觀察題目條件的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)這些特征盡量使用正弦、余弦定理各種變形整體代換，可以有效減少計算量2對所給條件進行變形，主要有兩種方向(1)化邊為角(2)化角為邊3(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化一、選擇題1若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段()A能組成直角三角形B能組成銳角三角形C能組成鈍角三角形D不能組成三角形答案B解析設最大角為，則最大邊對應的角的余弦值為cos>0，所以能組成銳角三角形2已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b22a2ac2c2，則sinB等于()A.B.C.D.答案A解析由2b22a2ac2c2，得2(a2c2b2)ac0.由余弦定理，得a2c2b22accosB，4accosBac0.ac0，4cosB10，cosB，又B(0，)，sinB.3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b3，A60，則邊c等于()A1B2C4D6答案C解析a2c2b22cbcos A，13c292c3cos 60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)4若ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足(ab)2c24，且C60，則ab的值為()A.B84C1D.答案A解析由余弦定理c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC，(ab)2c22ab(1cosC)2ab(1cos60)3ab4，ab.5已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c2b2ab，C，則的值為()A.B1C2D3答案C解析由余弦定理得c2b2a22abcosCa2abab，所以a2b，所以由正弦定理得2.6在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bc2a，3sinA5sinB，則C等于()A.B.C.D.答案C解析由正弦定理和3sinA5sinB，得3a5b，即ba，又bc2a，ca，由余弦定理得cosC，C.7在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A.B.C.D3答案C解析由題意得c2a2b22ab6，由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b2ab，2ab6ab，即ab6.SABCabsinC.8在ABC中，ABC，AB，BC3，則sinBAC等于()A.B.C.D.答案C解析在ABC中，由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcosABC()23223cos5.AC，由正弦定理，得sinBAC.二、填空題9若ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinAcsinCasinCbsinB，則B.答案45解析由正弦定理，得a2c2acb2，由余弦定理，得b2a2c22accosB，故cosB.又因為B為三角形的內(nèi)角，所以B45.10在ABC中，角A，B，C的對邊a，b，c滿足b2c2a2bc，且bc8，則ABC的面積為答案2解析因為b2c2a2bc，所以cosA，所以A，三角形面積SbcsinA82.11在ABC中，a2b2bc，sinC2sinB，則A.答案30解析由sinC2sinB及正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc，得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cosA，又0<A<180，所以A30.三、解答題12.如圖，在ABC中，D是邊AC上的點且ABAD，2ABBD，BC2BD，求sin C的值解設ABa，則ADa，BD，BC2BD，cosA，A，sinA.由正弦定理，得sinCsinA.13已知在ABC中，BC15，ABAC78，sinB，求BC邊上的高AD的長解在ABC中，設AB7x，則AC8x，由正弦定理，得，則sinC，因為0<C<180，AB<AC，所以C60或C120(舍去)再由余弦定理，得(7x)2(8x)215228x15cos60，即x28x150，解得x3或x5，所以AB21或AB35.當AB21時，AC24，當AB35時，AC40，均可與BC15構(gòu)成三角形在ABD中，ADABsinBAB，所以AD12或AD20.14在ABC中，關(guān)于x的方程(1x2)sinA2xsinB(1x2)sinC0有兩個不等的實根，則A為()A銳角B直角C鈍角D不存在答案A解析由方程可得(sinAsinC)x22xsinBsinAsinC0.方程有兩個不等的實根，4sin2B4(sin2Asin2C)0.由正弦定理，代入不等式中得b2a2c20，再由余弦定理，有2bccosAb2c2a20.0<A<90，A為銳角15在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大??；(2)若sinBsinC，試判斷ABC的形狀解(1)2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A.0<A<180，A60.(2)ABC180，BC18060120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B，sin Bcos B，即sin(B30)1.又0<B<120，30<B30<150，B3090，即B60，ABC60，ABC為正三角形