數(shù)形結(jié)合思想專練一、選擇題1若f(x)是偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，又f(3)0，則xf(x)<0的解集是()Ax|3<x<0或x>3Bx|x<3或0<x<3Cx|x<3或x>3Dx|3<x<0或0<x<3答案B解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，則在(，0)上是減函數(shù)而xf(x)是奇函數(shù)，畫xf(x)大致圖象如圖，由圖可知：xf(x)<0的解集為x|x<3或0<x<3故選B2如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2y23，則的最大值為()A B C D答案D解析方程(x2)2y23的幾何意義為坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為M(2，0)，半徑為r(如圖)，而，則表示圓M上的點(diǎn)A(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)的連線的斜率所以該問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)A在以M(2，0)為圓心，以為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值由圖可知當(dāng)OAM在第一象限，且直線OA與圓M相切時(shí)，OA的斜率最大，此時(shí)OM2，AM，OAAM，則OA1，tanAOM，故的最大值為故選D3已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是()A1 B2 C D答案C解析如圖，設(shè)Oa，Ob，Oc，則Cac，Cbc由題意知CC，O，A，C，B四點(diǎn)共圓當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)，|O|4(2019貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)，則下列結(jié)論正確的是()A函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱B函數(shù)f(x)在(，1)上是增函數(shù)C函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線ABx軸D函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱答案A解析由f(x)2知f(x)是y(a>0)型函數(shù)，作出其簡圖如圖所示從圖象可以看出f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2)成中心對(duì)稱；其在區(qū)間(，1)和(1，)上均是減函數(shù)；沒有能使ABx軸的點(diǎn)存在即只有A正確故選A5定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)f(4x)f(x4)，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)3xx1，則函數(shù)g(x)f(x)|log2(x1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A31 B32 C63 D64答案B解析由題意知，f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，周期是4當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)3xx1，f(x)3xln 31，則f(x)0在0，2上恒成立，由此作出函數(shù)f(x)的圖象在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y|log2(x1)|的圖象，由圖象知，兩函數(shù)圖象共有32個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g(x)f(x)|log2(x1)|共有32個(gè)零點(diǎn)，故選B二、填空題6當(dāng)x(1，2)時(shí)，(x1)2<logax恒成立，則a的取值范圍為_答案(1，2解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的圖象，若ylogax過(2，1)，則loga21，a2結(jié)合圖形，若使x(1，2)時(shí)，(x1)2<logax恒成立，則1<a27已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使APF的周長最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案2，解析因?yàn)?2)2<84，所以點(diǎn)A(2，4)在拋物線x28y的內(nèi)部，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQl于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作ABl于點(diǎn)B，連接AQ，由拋物線的定義可知，APF的周長為|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點(diǎn)共線時(shí)，APF的周長取得最小值，即|AB|AF|因?yàn)锳(2，4)，所以不妨設(shè)APF的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，8(2018北京模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x2)f(x)當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)2x若在區(qū)間2，3上方程ax2af(x)0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案，解析由題可知f(x)為周期為2的偶函數(shù)，可得圖象如右，因?yàn)樵趨^(qū)間2，3上方程ax2af(x)0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即過定點(diǎn)A(2，0)的直線yax2a在區(qū)間2，3與函數(shù)f(x)圖象恰有四個(gè)交點(diǎn)，則由圖可知直線斜率kAC<a<kAB，由A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)可得斜率kAC，kAB，即可得a的取值范圍為，三、解答題9(2018山西四校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x2|(1)求f(x)的最小值，并求出f(x)取最小值時(shí)x的取值范圍；(2)若不等式f(x)a(x1)的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取等號(hào)，f(x)min3，此時(shí)x1，2(2)f(x)那么函數(shù)f(x)的圖象如圖所示由于ya(x1)的圖象是過定點(diǎn)P(1，0)、斜率為a的直線，由圖可得不等式f(x)a(x1)的解集為空集時(shí)，a的取值范圍是kACa<kPB，即a2，1)10已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m，0)，B(m，0)(m>0)若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，求m的最大值解根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3，4)，半徑r1，且|AB|2m因?yàn)锳PB90，連接OP，易知|OP|AB|m要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離因?yàn)閨OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為611已知a>0，函數(shù)f(x)x|xa|1(xR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求所有使f(x)x成立的x的值；(2)當(dāng)a(0，3)時(shí)，求函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間1，2上的最小值解(1)當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)閤|x1|1x，所以x1或x1(2)f(x)(其示意圖如圖所示)當(dāng)0<a1時(shí)，x1a，這時(shí)，f(x)x2ax1，對(duì)稱軸是x<1，所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，2上遞增，f(x)minf(1)2a；當(dāng)1<a2時(shí)，當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)minf(a)1；當(dāng)2<a<3時(shí)，x2<a，這時(shí)，f(x)x2ax1，對(duì)稱軸是x，f(1)a，f(2)2a3因?yàn)?2a3)aa3<0，所以函數(shù)f(x)minf(2)2a3綜上，當(dāng)0<a1時(shí)，f(x)min2a；當(dāng)1<a2時(shí)，f(x)min1；當(dāng)2<a<3時(shí)，f(x)min2a312設(shè)函數(shù)F(x)其中f(x)ax33ax，g(x)x2ln x，方程F(x)a2有且僅有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解x(0，1)時(shí)，g(x)x<0，x(1，)時(shí)，g(x)x>0，所以當(dāng)x1時(shí)，g(x)取極小值g(1)(1)當(dāng)a0時(shí)，方程F(x)a2不可能有4個(gè)解；(2)當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閒(x)3a(x21)，若x(，0時(shí)，f(x)3a(x21)，當(dāng)x(1，0時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的圖象如圖1所示，從圖象可以看出F(x)a2不可能有4個(gè)解；(3)當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(1，0時(shí)，f(x)<0，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的圖象如圖2所示，從圖象看出方程F(x)a2若有4個(gè)解，則<a2<2a，且2a>，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是分類討論思想專練一、選擇題1已知二次函數(shù)f(x)ax22ax1在區(qū)間3，2上的最大值為4，則a等于()A3 B C3 D或3答案D解析當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在3，1上單調(diào)遞減，在1，2上單調(diào)遞增，可知當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值，即8a14，解得a當(dāng)a<0時(shí)，易知f(x)在x1處取得最大值，即a14，所以a3綜上可知，a或3故選D2(2018河南洛陽一模)函數(shù)f(x)若f(1)f(a)2，則a的所有可能值為()A1 B1， C D1，答案B解析f(1)e11e01，要使f(1)f(a)2，則需f(a)1當(dāng)a0時(shí)，由f(a)ea11得a10，即a1；當(dāng)1<a<0時(shí)，由f(a)sin(a2)1得a22k(kZ)，a22k(kZ)，由1<a<0知k只能取0，此時(shí)a2，1<a<0，a綜上，a1或故選B3若關(guān)于x的方程|ax1|2a(a>0且a1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是()A(0，1)(1，) B(0，1)C(1，) D0，答案D解析方程|ax1|2a(a>0且a1)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|ax1|與y2a有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)0<a<1時(shí)，如圖1，0<2a<1，即0<a<當(dāng)a>1時(shí)，如圖2，而y2a>1不符合要求綜上0<a<故選D4(2018邯鄲摸底)已知a>0且a1，函數(shù)f(x)存在最小值，則f(2a)的取值范圍為()A3，) B2，) C(1，2 D(1，3答案A解析當(dāng)a1時(shí)，f(x)的值域?yàn)?，)(1loga2，)；當(dāng)0a1時(shí)，f(x)的值域?yàn)?，)(，1loga2)由f(x)存在最小值知a1且1loga22，所以a(1，2，因而f(2a)1loga(2a)1loga2logaa3故選A5(2018福建質(zhì)檢)已知A，B分別為橢圓C的長軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)若ABF為等腰三角形，則C的離心率為()A B C D答案A解析設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則|BF|2|OF|2|OB|2c2b2a2，|AB|2|OA|2|OB|2a2b2，所以|AB|BF|如圖，點(diǎn)F與A，B同側(cè)時(shí)|AF|ac，|BF|a，所以|AF|BF|，所以|AB|BF|AF|，所以ABF不能構(gòu)成等腰三角形如圖，點(diǎn)F與A，B異側(cè)時(shí)|AB|，|AF|ac，|BF|a，所以|AF|BF|，|AB|BF|所以|AF|AB|，故(ac)2a2b2，即(ac)22a2c2，整理得2e22e10，e又0e1，所以離心率e故選A6在約束條件下，當(dāng)3s5時(shí)，z3x2y的最大值的變化范圍是()A6，15 B7，15 C6，8 D7，8答案D解析由取點(diǎn)A(2，0)，B(4s，2s4)，C(0，s)，C(0，4)當(dāng)3s<4時(shí)，可行域是四邊形OABC(含邊界)，如圖1所示，此時(shí)，7zmax<8當(dāng)4s5時(shí)，此時(shí)可行域是OAC，如圖2所示，zmax8綜上，z3x2y最大值的變化范圍是7，8故選D二、填空題7一條直線過點(diǎn)(5，2)，且在x軸，y軸上的截距相等，則這條直線的方程為_答案xy70或2x5y0解析設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當(dāng)a0時(shí)，直線過原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為yx，即2x5y0；當(dāng)a0時(shí)，設(shè)直線方程為1，則求得a7，方程為xy708在等比數(shù)列an中，已知a3，S3，則a1_答案或6解析當(dāng)q1時(shí)，a1a2a3，S33a1，顯然成立；當(dāng)q1時(shí)，由題意，得所以可得3，即2q2q10，所以q，此時(shí)，a16綜上可知，a1或69已知f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值為10，則ab_答案7解析f(x)3x22axb，由x1時(shí)，函數(shù)取得極值10，得聯(lián)立得或當(dāng)a4，b11時(shí)，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1兩側(cè)的符號(hào)相反，符合題意當(dāng)a3，b3時(shí)，f(x)3(x1)2在x1兩側(cè)的符號(hào)相同，所以a3，b3不符合題意，舍去綜上可知a4，b11，所以ab7三、解答題10(2018廣東三校聯(lián)考)設(shè)各項(xiàng)不為0的數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，且a129，2Snanan1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn的最小值解(1)a129，2Snanan1，2Sn1an1an2，得2an1an1(an2an)，an0，an2an2，數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，又a129，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ana12n30；在中，令n1，得2S12a1a1a2，a22，又?jǐn)?shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，ana22n；an(2)由(1)可知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，ann>0，要使Sn最小，其中n必然是奇數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn，且yx229x30的圖象的對(duì)稱軸為x145，nN*，且n是奇數(shù)，當(dāng)n15時(shí)，SminS1512011如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)在ABC中，AB2，ACBC，等邊三角形ADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動(dòng)(1)當(dāng)平面ADB平面ABC時(shí)，求CD；(2)當(dāng)ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有ABCD？證明你的結(jié)論解(1)取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，ADB是等邊三角形，DEAB當(dāng)平面ADB平面ABC時(shí)，平面ADB平面ABCAB，DE平面ABC，可得DECE由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2(2)當(dāng)ADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有ABCD證明：當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，ACBC，ADBD，C，D都在線段AB的垂直平分線上，則ABCD當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由知ABDE又ACBC，ABCE又DE，CE為相交直線，AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD綜上所述，總有ABCD12(2018湖南六校聯(lián)考)已知拋物線C：y22px(p>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(t，2)到焦點(diǎn)F的距離為，且向量在向量上的投影為正數(shù)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)若M，0，過點(diǎn)M，P的直線l1與拋物線相交于另一點(diǎn)Q，求的值；(2)若直線l2與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，與圓M：(xa)2y21相交于D，E兩點(diǎn)，OAOB，試問：是否存在實(shí)數(shù)a，使得|DE|的長為定值？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)將點(diǎn)P(t，2)代入y22px得t，由點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為及拋物線的定義，得，解得p1或4當(dāng)p1時(shí)，y22x，F(xiàn)，0，P(2，2)滿足向量在向量上的投影為正數(shù)；當(dāng)p4時(shí)，y28x，F(xiàn)(2，0)，P，2，此時(shí)向量在向量上的投影為負(fù)數(shù)，舍去故拋物線C的方程為y22x，F(xiàn)，0，P(2，2)直線l1的方程為yx，聯(lián)立y22x，可得xQ，又|QF|xQ，|PF|xP，(2)設(shè)直線l2的方程為xtym(m0)，代入拋物線方程可得y22ty2m0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22t，y1y22m，由OAOB得x1x2y1y2(ty1m)(ty2m)y1y20，整理得(t21)y1y2tm(y1y2)m20，將代入解得m2，直線l2：xty2，圓心M(a，0)到直線l2的距離為d，|DE|2，顯然當(dāng)a2時(shí)，|DE|2，|DE|的長為定值13(2018廣東華師大附中測試二)已知函數(shù)f(x)2(a1)xb(1)討論函數(shù)g(x)exf(x)在區(qū)間0，1上的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)h(x)exxf1，若h(1)0，且函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)由題意得g(x)ex2(a1)xb，所以g(x)ex2(a1)當(dāng)a時(shí)，g(x)0，所以g(x)在0，1上單調(diào)遞增；當(dāng)a1時(shí)，g(x)0，所以g(x)在0，1上單調(diào)遞減；當(dāng)<a<1時(shí)，令g(x)0，得xln (2a2)(0，1)，所以函數(shù)g(x)在0，ln (2a2)上單調(diào)遞減，在(ln (2a2)，1上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)g(x)在0，1上單調(diào)遞增；當(dāng)<a<1時(shí)，函數(shù)g(x)在0，ln (2a2)上單調(diào)遞減，在(ln (2a2)，1上單調(diào)遞增；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)g(x)在0，1上單調(diào)遞減(2)h(x)exxf1ex(a1)x2bx1，h(x)ex2(a1)xbg(x)，設(shè)x0為h(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由h(0)h(x0)0，可知h(x)在區(qū)間(0，x0)上不單調(diào)，則g(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)存在零點(diǎn)x1，同理，g(x)在區(qū)間(x0，1)內(nèi)存在零點(diǎn)x2，所以g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)由(1)知，當(dāng)a時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞增，故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)a1時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞減，故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意當(dāng)<a<1時(shí)，g(x)在0，ln (2a2)上單調(diào)遞減，在(ln (2a2)，1上單調(diào)遞增因此x1(0，ln (2a2)，x2(ln (2a2)，1)，必有g(shù)(0)1b>0，g(1)e2a2b>0，由h(1)0，得abe，g1e<0又g(0)ae1>0，g(1)2a>0，解得e1<a<2，所以a的取值范圍是(e1，2)