考點測試34二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃高考概覽考綱研讀1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組3會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決一、基礎小題1不等式y(tǒng)(xy2)0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是()答案C解析由y(xy2)0，得或所以不等式y(tǒng)(xy2)0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域是C項2.已知點A(3，1)與點B(4，6)在直線3x2ya0的兩側，則實數a的取值范圍是()A(24，7)B(7，24)C(，24)(7，)D(，7)(24，)答案B解析(92a)(1212a)0，所以7a24.故選B.3若實數x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是()A3 B. C2 D2答案C解析因為直線xy1與xy1互相垂直，所以如圖所示的可行域為直角三角形，易得A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|，|AC|2，所以其面積為|AB|AC|2.4若變量x，y滿足約束條件則3x2y的最大值是()A0 B2 C5 D6答案C解析作不等式組的可行域，如圖：令z3x2y，則yx表示一系列平行于yx的直線，并且表示該直線的縱截距顯然，把直線yx平移至點A處，z最大由得A(1，1)所以zmax3x2y325.故選C.5已知點(a，b)是平面區(qū)域內的任意一點，則3ab的最小值為()A3 B2 C1 D0答案B解析根據題意可知(a，b)在如圖陰影中，設z3ab.則b3az，所以z可以理解為y3xt中的縱截距t.因而當y3xt過點(0，2)時，t最大為2.即z最大為2，所以z最小為2.6若x，y滿足約束條件則zx3y的取值范圍是()A(，2 B2，3C3，) D2，)答案D解析作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖平移直線x3y0到點A時，z取得最小值，由解得點A，所以zmin2，無最大值故選D.7在如圖所示的平面區(qū)域內有A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三點，若使目標函數zaxy(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數a的值是()A. B.C2 D.答案B解析由題意知，當zaxy與直線AC重合時最優(yōu)解有無窮多個因為kAC，所以a，即a.故選B.8已知實數x，y滿足約束條件則|yx|的最大值是()A2 B. C4 D3答案D解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)，計算得A(1，2)，B(4，1)，當直線zxy過點A時zmin1，過點B時zmax3，則1xy3，則|yx|3.9不等式組所表示的平面區(qū)域內的整點個數為()A2 B3 C4 D5答案C解析由不等式2xy<6，得y<62x，且x>0，y>0，則當x1時，0<y<4，則y1，2，3，此時整點有(1，1)，(1，2)，(1，3)；當x2時，0<y<2，則y1，此時整點有(2，1)；當x3時，y無解故平面區(qū)域內的整點個數為4.故選C.10某蔬菜收購點租用車輛，將100噸新鮮黃瓜運往某市銷售，可供租用的卡車和農用車分別為10輛和20輛若每輛卡車載重8噸，運費960元，每輛農用車載重2.5噸，運費360元，則蔬菜收購點運完全部黃瓜支出的最低運費為()A11280元 B12480元C10280元 D11480元答案B解析設租用的卡車和農用車分別為x輛和y輛，運完全部黃瓜支出的運費為z元，則目標函數z960x360y，此不等式組表示的可行域是ABC(其中A(10，8)，B(10，20)，C(6.25，20)內橫坐標和縱坐標均為整數的點當直線l：z960x360y經過點A(10，8)時，運費最低，且其最低運費zmin96010360812480(元)，選B.11設不等式組表示的平面區(qū)域為D，若在區(qū)域D上存在函數ylogax(a>1)的圖象上的點，則實數a的取值范圍是()A(3，) B(1，3)C3，) D(1，3答案C解析作不等式組表示的平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示由解得點A(3，1)由a>1，對數函數的圖象經過可行域，此時滿足loga31，解得a3，所以實數a的取值范圍是3，)，故選C.12已知實數x，y滿足則wx2y24x4y8的最小值為_答案解析目標函數wx2y24x4y8(x2)2(y2)2，其幾何意義是點(2，2)與可行域內的點的距離的平方由實數x，y所滿足的不等式組作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，點(2，2)到直線xy10的距離為其到可行域內點的距離的最小值，又，所以wmin.二、高考小題13(2018天津高考)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z3x5y的最大值為()A6 B19 C21 D45答案C解析由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)作出基本直線l0：3x5y0，平移直線l0，當直線經過點A(2，3)時，z取最大值，即zmax325321.故選C.14(2018全國卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_答案9解析不等式組表示的可行域是以A(5，4)，B(1，2)，C(5，0)為頂點的三角形區(qū)域，如圖所示，由圖可知目標函數zxy的最大值在頂點A處取得，即當x5，y4時，zmax9.15(2018全國卷)若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_答案6解析根據題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：由z3x2y可得yxz，畫出直線yx，將其上下移動，結合的幾何意義，可知當直線過點B時，z取得最大值，由解得B(2，0)，此時zmax3206.16(2018全國卷)若變量x，y滿足約束條件則zxy的最大值是_答案3解析作出可行域如圖陰影部分由圖可知目標函數在直線x2y40與x2的交點(2，3)處取得最大值3.17(2018浙江高考)若x，y滿足約束條件則zx3y的最小值是_，最大值是_答案28解析由約束條件得可行域是以A(1，1)，B(2，2)，C(4，2)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界)，如圖當直線yx過點C(4，2)時，zx3y取得最小值2，過點B(2，2)時，zx3y取得最大值8.18(2018北京高考)若x，y滿足x1y2x，則2yx的最小值是_答案3解析由x1y2x作出可行域，如圖中陰影部分所示設z2yx，則yxz，當直線yxz過A(1，2)時，z取得最小值3.三、模擬小題19(2018山西太原模擬)已知實數x，y滿足則z2x2y1的取值范圍是()A.，5 B0，5C.，5 D，5答案D解析作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，可知221z<222(1)1，即z的取值范圍是，5.20(2018南昌一模)設不等式組表示的平面區(qū)域為M，若直線ykx經過區(qū)域M內的點，則實數k的取值范圍為()A.，2 B.，C.，2 D.，2答案C解析作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：由得A(1，2)，由得B(2，1)，平面區(qū)域M即為圖中陰影部分ABC，直線ykx經過區(qū)域M內的點A時，k2，直線ykx經過區(qū)域M內的點B時，k，故k2，故選C.21(2018長沙統(tǒng)考)已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a()A2 B. C2 D答案A解析作不等式組表示的平面區(qū)域如圖當直線l：yaxz經過AOB區(qū)域時，l在y軸上的最大截距為4，則點B(2，0)為最優(yōu)解，所以z2a4，即a2，故選A.22(2018太原模擬)已知不等式ax2by2在平面區(qū)域(x，y)|x|1且|y|1上恒成立，則動點P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為()A4 B8 C16 D32答案A解析作平面區(qū)域(x，y)|x|1且|y|1，如圖1所示該平面區(qū)域表示正方形ABCD內部(含邊界)令zax2by，因為ax2by2恒成立，則函數zax2by在該平面區(qū)域要求的條件下，zmax2恒成立當直線ax2byz0過點A(1，1)或B(1，1)或C(1，1)或D(1，1)時，有再作該不等式組表示的可行域，即菱形EFGH內部(含邊界)如圖2所示其中H(2，0)，F(2，0)，E(0，1)，G(0，1)，所以動點P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為424.故選A.23(2018湖北八市聯考)已知x，y滿足若zx2y有最大值4，則實數m的值為()A4 B2 C1 D1答案B解析可行域所表示區(qū)域為三條直線所封閉的三角形區(qū)域(含邊界)，如圖陰影部分所示依題意，有直線yx的縱截距有最大值2，則結合圖形可知需滿足直線2xym過點(0，2)，從而m2022，故選B.24(2018河北石家莊質檢)在平面直角坐標系中，不等式組(r為常數)表示的平面區(qū)域的面積為，若x，y滿足上述約束條件，則z的最小值為()A1 BC. D答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意知r2，解得r2.z1，易知表示可行域內的點(x，y)與點P(3，2)的連線的斜率，由圖可知當點(x，y)與點P的連線與圓x2y2r2相切時斜率最小設切線方程為y2k(x3)，即kxy3k20，則有2，解得k或k0(舍)，所以zmin1.故選D.25(2018河北石家莊質檢)設變量x，y滿足約束條件則的最大值為_答案3解析題設中的約束條件如圖中陰影部分所表示的區(qū)域，則表示可行域內點P(x，y)與B(0，1)的連線的斜率，由圖知，當P位于A(1，2)時，取得最大值3.26(2018福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩個工種，已知生產一把椅子需要木工4個工作時，漆工2個工作時；生產一張桌子需要木工8個工作時，漆工1個工作時生產一把椅子的利潤為1500元，生產一張桌子的利潤為2000元，該廠每個月木工最多完成8000個工作時，漆工最多完成1300個工作時，根據以上條件，該廠安排生產每個月所能獲得的最大利潤是_元答案2100000解析依題意，設每個月生產x把椅子、y張桌子，那么利潤t1500x2000y.其中x，y滿足約束條件可行域如圖中陰影部分所示，對于不同的t值，t1500x2000y表示一組斜率為的平行線，且t越大，相應的直線位置越高；t越小，相應的直線位置越低依題意，要求t的最大值，需把直線t1500x2000y盡量地往上平移，又考慮到x，y的允許范圍，顯然當直線通過點B時，處在這組平行線的最高位置，此時t取最大值由得點B(200，900)，從而tmax150020020009002100000(元)，即生產200把椅子、900張桌子可獲得最大利潤2100000元一、高考大題1(2017天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數不多于乙連續(xù)劇播放次數的2倍分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(1)用x，y列出滿足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解(1)由已知，x，y滿足的數學關系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數點(2)設總收視人次為z萬，則目標函數為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值就最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z60x25y經過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得則點M的坐標為(6，3)所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多二、模擬大題2(2018廣東佛山月考)若x，y滿足約束條件(1)求目標函數zxy的最值；(2)若目標函數zax2y僅在點(1，0)處取得最小值，求a的取值范圍解(1)作出可行域如圖，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)平移初始直線xy0，過A(3，4)取最小值2，過C(1，0)取最大值1.z的最大值為1，最小值為2.(2)直線ax2yz僅在點(1，0)處取得最小值，由圖象可知1<<2，解得4<a<2.故所求a的取值范圍是(4，2)3(2018福建泉州質檢)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問題：(1)指出x，y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內有多少個整點？解(1)不等式xy50表示直線xy50上及右下方的點的集合xy0表示直線xy0上及右上方的點的集合，x3表示直線x3上及左方的點的集合所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示結合圖中可行域得x，y3，8(2)由圖形及不等式組知當x3時，3y8，有12個整點；當x2時，2y7，有10個整點；當x1時，1y6，有8個整點；當x0時，0y5，有6個整點；當x1時，1y4，有4個整點；當x2時，2y3，有2個整點所以平面區(qū)域內的整點共有2468101242(個)