考點(diǎn)測(cè)試36基本不等式高考概覽考綱研讀1了解基本不等式的證明過(guò)程2會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題一、基礎(chǔ)小題1“a>0且b>0”是“”成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析a>0且b>0，但a>0且b>0，只能推出a0且b02已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為()A B C D答案B解析0<x<1，x(33x)3x(1x)32當(dāng)且僅當(dāng)x1x，即x時(shí)等號(hào)成立3若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于()A1 B1 C3 D4答案C解析x2，x20，f(x)x(x2)222224，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即(x2)21時(shí)等號(hào)成立，解得x1或3又x2，x3，即a等于3時(shí)，函數(shù)f(x)在x3 處取得最小值，故選C4函數(shù)f(x)x(x<0)的值域?yàn)?)A(，0) B(，2C2，) D(，)答案B解析f(x)2 2，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)，等號(hào)成立5設(shè)0<x<2，則函數(shù)y的最大值為()A2 B C D答案D解析0<x<2，2x>0，y，當(dāng)且僅當(dāng)x2x，即x1時(shí)取等號(hào)6函數(shù)y(x>1)的圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(1，2) B(1，2) C(1，1) D(0，2)答案D解析y(x1)2，當(dāng)x0時(shí)取最小值7設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()Aa<b<< Ba<<<bCa<<b< D<a<<b答案B解析0<a<b，a<<b，A，C錯(cuò)誤；a()>0，即>a，D錯(cuò)誤故選B8已知a>0，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且mb，na，則mn的最小值是()A3 B4 C5 D6答案B解析由題意知ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào)9若2x2y1，則xy的取值范圍是()A0，2 B2，0C2，) D(，2答案D解析12x2y22當(dāng)且僅當(dāng)2x2y，即xy1時(shí)等號(hào)成立，2xy，得xy210下列函數(shù)中，最小值為4的是()AyBysinx(0x)Cyex4exDylog3x4logx3答案C解析對(duì)于A，因?yàn)?，所以y的最小值不是4，所以不滿足題意；對(duì)于B，令sinxt(0，1，則yt，y10，因此函數(shù)yt在(0，1上單調(diào)遞減，所以y5，所以不滿足題意；對(duì)于C，y24，當(dāng)且僅當(dāng)ex4ex，即xln 2時(shí)取等號(hào)，故滿足題意；對(duì)于D，當(dāng)x(0，1)時(shí)，log3x，logx3<0，所以不滿足題意11某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均存儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的存儲(chǔ)費(fèi)用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件 B80件 C100件 D120件答案B解析若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，存儲(chǔ)費(fèi)用是元，總的費(fèi)用y2 20，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得x80(件)故選B12設(shè)M，且abc1，a，b，c(0，)，則M的取值范圍是_答案8，)解析M8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)二、高考小題13(2017天津高考)已知函數(shù)f(x)設(shè)aR，若關(guān)于x的不等式f(x)a在R上恒成立，則a的取值范圍是()A，2 B，C2，2 D2，答案A解析當(dāng)x1時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)a在R上恒成立等價(jià)于x2x3ax2x3在R上恒成立，即有x2x3ax2x3在R上恒成立由yx2x3圖象的對(duì)稱軸為x1，可得在x處取得最大值；由yx2x3圖象的對(duì)稱軸為x1，可得在x處取得最小值，則a當(dāng)x>1時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)a在R上恒成立等價(jià)于xax在R上恒成立，即有xa在R上恒成立，由于x>1，所以x22，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取得最大值2；因?yàn)閤>1，所以x22，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取得最小值2，則2a2由可得a2故選A14(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，則2a的最小值為_(kāi)答案解析由已知，得2a2a23b222，當(dāng)且僅當(dāng)2a23b時(shí)等號(hào)成立，由a3b，a3b60，得a3，b1，故當(dāng)a3，b1時(shí)，2a取得最小值15(2015重慶高考)設(shè)a，b>0，ab5，則的最大值為_(kāi)答案3解析令t，則t2()2a1b329a1b318，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3時(shí)，即a，b時(shí)，等號(hào)成立，所以t的最大值為316(2017江蘇高考)某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是_答案30解析設(shè)總費(fèi)用為y萬(wàn)元，則y64x4x240，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x30時(shí)，等號(hào)成立17(2017天津高考)若a，bR，ab>0，則的最小值為_(kāi)答案4解析a44b42a22b24a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a22b2時(shí)“”成立)，4ab，由于ab0，4ab24當(dāng)且僅當(dāng)4ab時(shí)“”成立，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為4三、模擬小題18(2018廊坊一模)已知m>0，n>0，2mn1，則的最小值為()A4 B2 C D16答案C解析m>0，n>0，2mn1，則(2mn)2，當(dāng)且僅當(dāng)n，m時(shí)取等號(hào)故選C19(2018山東日照模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy>0，則的最大值為()A2 B2C42 D42答案D解析1111，因?yàn)閤y>0，所以>0，>0由基本不等式可知2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，所以114220(2018四川資陽(yáng)診斷)已知a>0，b>0，且2abab，則a2b的最小值為()A52 B8C5 D9答案D解析a>0，b>0，且2abab，a>0，解得b>2，即b2>0，則a2b2b12(b2)4529，當(dāng)且僅當(dāng)b3，a3時(shí)等號(hào)成立，其最小值為921(2018江西九校聯(lián)考)若正實(shí)數(shù)x，y滿足(2xy1)2(5y2)(y2)，則x的最大值為()A1 B1C1 D答案A解析由(2xy1)2(5y2)(y2)，可得(2xy1)29y2(2y2)2，即(2xy1)2(2y2)29y2，得2x2229，又2x222，當(dāng)且僅當(dāng)2x2時(shí)等號(hào)成立，所以2x2218，得2x32，所以x，所以x的最大值為1故選A22(2018南昌摸底)已知函數(shù)yx(x>2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為_(kāi)答案4解析由x>2，知x2>0，又m>0，則y(x2)22222，取等號(hào)的條件為x2從而依題意可知226，解得m423(2018邯鄲模擬)設(shè)x>0，y>0，且x2，則當(dāng)x取最小值時(shí)，x2_答案12解析x>0，y>0，當(dāng)x取最小值時(shí)，x2取得最小值，x2x2，又x2，x2，x2216，x4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x取最小值時(shí)，x2y，x216，x216，x216412一、高考大題本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型二、模擬大題1(2018河北唐山模擬)已知x，y(0，)，x2y2xy(1)求的最小值；(2)是否存在x，y滿足(x1)(y1)5？并說(shuō)明理由解(1)因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2(2)不存在理由如下：因?yàn)閤2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)又x，y(0，)，所以xy2從而有(x1)(y1)24，因此不存在x，y滿足(x1)(y1)52(2018河南駐馬店檢測(cè))某地需要修建一條大型輸油管道通過(guò)240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的費(fèi)用為400萬(wàn)元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費(fèi)用為x2x萬(wàn)元設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬(wàn)元(1)試將y表示成x的函數(shù)；(2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為多少？解(1)設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則(k1)x240，即k1所以y400k(k1)(x2x)400240x160因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0<x<240故y與x的函數(shù)關(guān)系是y240x160(0<x<240)(2)y240x1602160248001609440，當(dāng)且僅當(dāng)240x，即x20時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k1111故需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬(wàn)元3(2018保定診斷)某商人投資81萬(wàn)元建一間工作室，第一年裝修費(fèi)為1萬(wàn)元，以后每年增加2萬(wàn)元，把工作室出租，每年收入租金30萬(wàn)元(1)若扣除投資和各種裝修費(fèi)，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？(2)若干年后該商人為了投資其他項(xiàng)目，對(duì)該工作室有兩種處理方案：年平均利潤(rùn)最大時(shí)，以46萬(wàn)元出售該工作室；純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售該工作室問(wèn)該商人會(huì)選擇哪種方案？解(1)設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元n年付出的裝修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，n年付出的裝修費(fèi)之和為n12n2，又投資81萬(wàn)元，n年共收入租金30n萬(wàn)元，利潤(rùn)y30nn281(nN*)令y>0，即30nn281>0，n230n81<0，解得3<n<27(nN*)，從第4年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)(2)方案：年平均利潤(rùn)t30n3030212(當(dāng)且僅當(dāng)n，即n9時(shí)取等號(hào))，年平均利潤(rùn)最大時(shí)，以46萬(wàn)元出售該工作室共獲利潤(rùn)12946154(萬(wàn)元)方案：純利潤(rùn)總和y30nn281(n15)2144(nN*)，當(dāng)n15時(shí)，純利潤(rùn)總和最大，為144萬(wàn)元，純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售該工作室共獲利潤(rùn)14410154(萬(wàn)元)，兩種方案盈利相同，但方案時(shí)間比較短，所以選擇方案4(2018南京質(zhì)檢)為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1a4)個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值(精確到01，參考數(shù)據(jù)：取14)解(1)因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以濃度f(wàn)(x)4y則當(dāng)0x4時(shí)，由44，解得x0，所以此時(shí)0x4當(dāng)4<x10時(shí)，由202x4，解得x8，所以此時(shí)4<x8綜合得0x8，若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天(2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6x10)天，濃度g(x)2a10xa(14x)a42a48a4因?yàn)?4x4，8，而1a4，所以44，8，故當(dāng)且僅當(dāng)14x4時(shí)，y有最小值為8a4令8a44，解得2416a4，所以a的最小值為241616